特训05 圆的基本性质 选填压轴题（浙江期中期末）（解析版）

特训05圆的基本性质选填压轴题（浙江期中期末精选）

一、单选题

1.（2022秋•浙江宁波•九年级校联考期中）如图，人8是0。的直径，点C,点。是半圆上两点，连结AC,

BD相交于点P,连结A。，OC.已知于点E,AB=2.下列结论：

①ZCAD+NOBC=90°:

②若点尸为AC的中点，则CE=2OE.

③若AC=BD,则CE=OE：

@BC2+BD2=4；

A.ffi®®B.®®®C.®@®D.®®®

【答案】A

【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，依次分析判断,

即可解决问题.

【解析】解：①.OCLHD,

BC=CD，

/.NC4O=NG44,

Afi是一。的直径，

:.ZACB=9（r,

:.ZCAB+ZABC=^rt

.1.ZC4D+ZABC=90°

故①止确，符合题意；

②点。为AC的中点，

AP=CP

A月为直径,

ZADP=90°=ZCEP,

ZAPD=ZCPE,

・•・_"*CPE(AAS),

AD=CE,

OA=OB,ED=EB,

:.AD=2OE,

：.CE=2OE,

故②正确，符合题意；

③连接。。，

AC=RD,RC=CD，

:.AD=BC=CD，

ZAOD=/COD=ZBOC=60°,

OB=OC,

为等边三角形，

BDLOC,

..CE=OE，

故③正确，符合题意；

④乙4。8=9()。，

AD2+BD2=AB2=4^

当BCwAD时，AC2+BD2^4,

故④错误，不符合题意：

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，

解题关键是掌握并熟练应用以上知识点.

2.(2022秋•浙江宁波•九年级校联考期末)某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O.八，B

是舞台边缘上两个固定位置，由线段.48及优弧48围成的区域是表演区.若在4处安装一台某种型号的灯

光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在4处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表

演区，如图2中阴影所示

若将灯光装置改放在如图3所示的点M,N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（）

①在M处放置2台该型号的灯光装置

②在M,N处各放置1台该型号的灯光装置

③在P处放置2分该型号的灯光装置

A.①B.①②C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.

【解析】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

13在八、5两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区,

国/645+/。84=优弧八8所对例周角

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为NEW广，且ZEMF=ZAMB

0ZAMB为优弧AB所对圆周角

0ZAMB=ZCAB+ZCBA,即①方案成立：

在朋，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接八M、BM、AN、BN、CM.CN,如下图,

12N/WC=NABC,NBMC=NBAC,

回②方案成立；

在厂处放置2台该型号的灯光装置，如下图，EF和。相切于点?

MN

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总NEP/=180。

根据题意，ZC4fi+ZCBA<180°,即两台灯光照亮角度总和<180。

团③方案不成立；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解.

3.（2023秋•浙江温州•九年级期末）如图，点。，E,尸分别在的三边上，AB=AC,ZA=/EDF=90°,

ZEFD=30°,45=1,下列结论正确的是（）

A.3。可求，BE不可求B.4。不可求，BE可求

C.BD,昭均可求D.RD,BE均不可求

【答案】A

【分析】连接从。，根据如果一个四运形的对角互补，那么这个四边形口勺四个顶点共圆，得出AED"四点共

圆，再根据在同圆或等恻中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出/"4。=/屏7）=30°,进而得出点。固

定，即3。可求；当刀所绕点。旋转时，保持NEQF=90°不变，根据如果一个四边形的对角互补，那么

这个四边形的四个顶点共圆，得出入红厂四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等,得出N8AD=NEFD=30。，进而得出点上可以在A8上任何地方，即可得出答案.

【解析】解：连接4。，

HZA=ZEDF=90%

0ZA+ZEDF=18O°,

田八百）尸四点共圆，

国NBAD-Z.EFD-30°,

由点。固定,即皿可求:

当J）所绕点/）旋转时，保持N£3P=90°不变，则47/四点共画,

0ZHAO=AEFD=300依旧不变，即点E可以在AB上任何地方，

13座不可求，

综上可得：BD可求,跖不可求.

故选:A.

【点睛】本题考查了内接四边形的判定定理、圆周角定理、旋转的性质，解本题的关键在得出AEDF四点

共圆.

4.（2022秋•浙江宁波•九年级校考期中）如图，在给定的锐角三角形A8C中，SBAC=60°,。是边8（7上的

一个动点，以A。为直径作田。分别交边A8,AC于点E,F,连接EF,当点。从点8运动到点。的过程中，

线段EF的长度的大小变化情况是（）

A.一直不变B.一直减少C.先减小后增大D,先增大后减小

【答案】C

【分析】EF为。的弦，且NE4尸=/84C=60'，故连接。反OF,过0做ONJ.EF,结合NE4尸=60°和

垂径定理，则可知OE、EF的数量关系，从而可知A。、的关系，最后由线段A。的长度变化即可求解线

段EF的长度变化.

【解析】连接。E、OF,过O做ON1EF

Z£AF=ZBAC=60

/.ZEOF=60x2=120°

OE-OF,ONLBF

Z.OEF=/OFE,/ONE=90°即Z.OEF=AOFE=30°

•••在含30°的用AOEN中，有EN=@OE

2

.EN=-EF

2

:.EF=43OE

AD为圆的直径，OE为圆的半径

OE=-AD,EF=43X-AD

22

:.EF=­AD

2

由图可知，当点。从点B运动到点。的过程中，线段八。的长度先减小后增大

••・线段“歹的长度先减小后增大

故答案是：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、含特殊角度的直角三角形、动点问题等知识点，属于几何

综合题，具有一定难度.解题的关键是根据垂径定理画出辅助线，并找到半径与线段E尸的关系.

5.（2023秋•浙江温州•九年级期末）如图，等腰RtZSABC内接于圆O,直径AB=20，。是圆上一动点，

连接AD,8,8。，且C。交4B于点G.下列结论:①。。平分^ADB：②ZDAC=NAGC：③当AO=CD,

四边形AO3C的面积为86：④当BD=2时，四边形453C的周长最大，正确的有（）

c

C.①②④D.①③④

【答案】c

【分析】证明AC=A8AC=A3,由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确：作

交“延长线于M,证明4D=（及-1）"）,利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明③错误；当AO=BQ

时，四边形AO8C的周长最大，据此求解即可.

【解析】解：12等腰RtZX/^C内接于圜O,且为直径，

^AC^AB,AC=ABf

^ZADC=ABDC,即。C平分NADS：故①正确:

团AC=AB，

HZADC=ZC4«.

0ADAC=ZCAB+ZDAB,Z4GC=N4DC+ND®

t3ZZ)AC=Z4GC；故②正确；

作MC_L8,交ZM延长线于M,

c

0Z1+Z3=9O°=Z1+Z2,

0/2=/3,

朋、C、8、。四点共圆,

HZ4+ZC4D=180°,NC4D+NCBO=180°,

0Z4=ZCBD,

0/XCBZ运△CNW(ASA),

⑦AM=BD,CM=CD,

438=900,

^△AfS是等腰直角三角形，

由勾股定理得：DM=41CD»

BDM=DA+AM=DA+BD,

^BD+AD=y/2CDt

^AD=CD,

0BD=(V2-1)AD：

回直径48=2及，AD2+BD2=AB2>AC2+BC2=AB\

HADJ+[(>/2-1)4D]'=(2x/2)SAC=BC=2,

4

团A加2（2+及），

~2-42

四边形AOBC的面积为：xACxBC+lxAOxBO

22

=2+-x/\Dx(V2-l)AD

2

=2/x2(2+扬(&-1)

2

=2心故③错误；

13AC=8C=2,要使四边形AO8C的周长最大，AD+8Q要最大,

田当AO=8Q时，四边形AO8C的周长最大，

此时，人0=80=2,故④正确；

综匕①②④正确：

故选：C

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角

三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大.

6.（2021秋•浙江台州•九年级台州市书生.中学校考期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形

纸片左右对折、折痕为A&将圆形纸片上下折叠使A、3两点重合，折痕。与AB相交于M,将圆形纸片

沿E.F折叠使8、例两点重合，折痕“与48相交于M连结4E、AF,经过以上操作小芳得到了以下结论:

①CD〃EF；②四边形ME斯是菱形：③胡政为等边三角形④5诋：见=36:4万.以上结论正确的有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据折叠的性质得N8A〃)=NAVb,则CZ)〃即，故①正确；根据垂径定理，垂直平分E凡根

据折叠的性质得5W、E尸互相垂直平分，即可得四边形厂是菱形，故②正确：连接ME,MF,则

ME=MB=2MN,M"=MA=2MV,根据直角三角形的性质得NM£7V=3O。，NMFN=30。，则NEA/N=60),

Z™v=60°,根据三角形内角和定理得NAFE=60。，即可得△AM是等边三角形，故③正确；设圆的半

径为r,则="EN当r,即即=2硒=技，A/V=r+1r=|r,即可得S曲岛=3任4兀，故④正

确；即可得.

【解析】解：回纸片上下A、8两点重合，

0ZftWD=9O0,

13纸片沿折叠，B、M两点重合，

@Z»VF=90°,

RZBMD=ZBNF,

ECD//EF,故①正确：

根据垂径定理，8M垂直平分

13纸片沿EF折叠，从M两点重合,

12BM、E尸互相垂直平分，

回四边形是菱形，故②正确;

如图，连接ME,MF,

A

贝|JME=M8=2A//V,MF=MB=2MN,

0ZA/£yV=3O°,ZMFN=30°,

HZB^=18(r-ZA^?-ZA^VE=180o-90o-30o=60o,

NMV=180°—ZA/EV—NMTV/=18(F—90°—30°=609,

0AM=ME,AM=MF,

0ZAEW=ZE4M,Z4BW=N£4M，

回NAEM==/EMN=-i-x60°=30°,

22

Z.AFM=-ZFMN=1x60°=30°,

22

0ZAEF=Z4EM+ZAfE7V=3Oo+3O°=6Oo,

么所=ZAfM+3招=30。+300=60。，

[3N£4尸=1800-NAEF-NA尸E=180°-60°-60°=60°,

◎△/IE尸是等边三角形，故③正确：

设圆的半径为3则MN=《r,EN=cos^MEN»r=—r,

22

0EF=2EN=6r,AN=r+-r=-r,

22

Sg：如=(；xx/5rx；r):；r/=36：47r,故④正确：

综上，结论正确的是①②③④正确共4个，

故选D.

【点睛】本题考查了折经的性质，垂径定理，等边三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握并灵活

运用这些知识点.

7.（2021春・浙江杭州•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，半径为2的。与x轴的

4

负半轴交于点A,点6是上一动点，点。为弦48的中点，直线），=-〒1+4与X轴、V轴分别交于点C,

【答案】D

【分析】连接OF,根据点尸为弦八台的中点，可得点尸在以0A为直径的圆上，以04为直径作cN,过N

点作直线冲_LCK于",交eN于用，则eN上到直线CE上最短的距离是MF,则可得△也（花即

的面积最小，根据一次函数的性质，求得OE=4,OC=3根据勾股定理可得CE=5,再根据。。的

半径为2,可知04=2,NM=NO=\,NC=4,由等积法可求得心建，MF=NF-NM*,根据

SVK=^CE^fF可求得面积最小是，.

【解析】解：连接。P,如图，

..OP1AB,

:.ZAPO=9^,

・・•点—在以04为直径的圆上，

以OA为直径作eN,过N点作直线N/_LCE于"，交eN于M,

则eN上到直线CE上最短的距离是“产，

此时，即/CE的面积最小，

4

当x=0时，y=--x+4=4,则£（0,4）,

4

当）,=0时，--x+4=0,

解得x=3,则。（3,0）,

:.OE=4,OC=3

\CE=>/OC2+0E2=V32+42=5，

0.。的半径为2,

130A=2,

\NM=NO=1,NC=ON^OC=3+1=4

由等积法可知：；NC竣E=；ECM

EC55

0MF=NF-NM=—-1=—,

55

0SvMO：=gcEgA*=:创5y=-y,

即.R*的面积最小是?，

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的

关键.

8.（2020秋•浙江杭州•九年级期末）如图，圆。的半径为R,正“3C内接于圆O,将按逆时针方向

旋转90。后得到二A'B'C,它的两边与人B相交于点£）、E,则以下说法正确的个数是（）

D

w

@AD=A,D;②S£=3A'£:③aWC'=3(T：@R=y/3DE

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据圆内接正三角形和旋转的性质得到4MC=N*A'C=60",NCAO=NO4B=30°,则

加7)=450=15。，于是可得到A'O=AO:在以124。£中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到

DA=2A'E,O£=GA£,AE=(2+6WE,再利用"A4S"可证明团A4，E三团A8E,则A£=ME,所以

方七=(2+石)4£：：根据对顶角相等可得到ZADC=30°；在心田/WE中利月勾股定理可得到AA=&(6+"E,

而A/V=>^A,则(G+1)/V£=R,把。E=7LVE代入得到/?=(6+1)惇。£=^^。£.

【解析】解：连接A'O,AO,AA',BB,如图，

一ABC是正角三角形，AABC按逆时针方向旋转90。后得到国A&C,

.••团才夕。为等边三角形，

:.ZBAC=ZlfAC=ar,

而点。为1348。的内心，

..ZCA'O=ZOAB=3(r,

又〃。4=90°,AO=A'O,

・•.EM'OA是等腰直角三角形，

,

：.ZAAO=ZA:AO=45°t

:.ZAA:D=ZAAD=\50,

：.SD=AD,所以①正确；

/.ZADE=ZAAD+ZAfAD=3(T,

而NDA'E=60。，

:.ZAED=9(y>,

：.DA=2AE,DE=>/3A'E,

...AE^AD+DE=DA'+DE=(2+s/3)A'E,

AB=A1^,

八6=48'，

/W=B*，

:.AA=Blf,

在©A4，£和团88E中，

&AE=/BBE

ZAEA=NBEB：

AA=B'B

•••田人/¥七三团&BE(AAS),

:.AE=B'E,

二方£=(2+如八上，所以②错误：

•.NADU=447羽=30°,所以③正确；

在R/I3/V¥E中，AE=(2+s/3)A'E,

:.AA'2=AE2+A'E2=(8+4y/3)A'E2,

A4,=72(73+1)4E,

而AT=>/2R,

:.(y/3+\)A,E=R,

：.R=(旧+DE=^^DE，所以④错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质：会运用勾股定理和含30

度的直角三角形三边的关系进行几何运算.

9.（2022秋•浙江•九年级期末）点4C为半径是6的。O上两点，点B为弧4c的中点，以线段8A8C为

邻边作菱形4BCQ,使点Q落在「。内(不含圆周上)，则下歹ij结论：①直线30必过圆心。；②菱形A8CD

的边长。的取值范围是0<“<10：③若点。与圆心0重合，则/ABC=I2()。：④若。0=2,则菱形A8C。

的边长为2面或4人.其中正确的是()

A.①③④B.②③④C.①③D.①②③④

【答案】C

【分析】①根据垂径定理的推论即可解决问题：②当8。是直径时，边长最大，最大值为6夜，故②错误；

③如图2中，当点。与点。重合时，易如MOC都是等边二角形，由此即可解决问题；④分两种

情形分别求解即可判定；

【解析】解：如图1中，连接47、8。交于点K.

四边形A3C。是菱形，

.•・8。垂直平分线段AC,

・••直线8。经过圆心。，设直线交O于〃.故①正确，

当3。是直径时，边长最大，最大值为6&,故②错误，

如图2中，当点。与点0重合时，易知AA3O,A£?OC都是等边三角形,

."60="60=60°,

：.ZABC=\2()°.故③正确，

如图3中，当点。在80的延长线上时,

图3

OD=2,08=6,

..80=8,

：.BK=DK=4,OK=2,

:.AK2=OA2-OK2=32,

AB=>]AK2+BK2=732+16=4G，

当点。在线段。B上时，同法可得A8=2而，

.,.AB=46或2而，故④错误;

故选：C.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、乖径定理、解宜角三角形、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题.

10.（2020秋•浙江•九年级期末）如图，味B、C、D、后是0。上的5等分点，连接AC、CE、EB.BD、DA,

得到•个五角星图形和五边形MVFG”.有下列3个结论：@AO1BE,(2)ZCGD=ZCOD+ZCAD,

③BM=MN=NE.其中正确的结论是()

C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】根据圆的性质得到八O38E,故①正确；由A、B、C、D、E是团。上的5等分点，得到弧CO的度

数，求得团COQ=72°,根据圆周角定理得至gCA£>=36。：连接CO求得I3CG£>=：IO8。，于是得到taCG£>=[2COD+[3C4Q,

故②正确；连接AH,AE,根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解析】解：A、B、C、D、E是。。上的5等分点，

一AB=AE,

：.A01BE,故①正确：

A、B、C、D、E是加上的5等分点,

CD的度数=亭=72。，

.1.ZCOD=72°,

,ZCOD=2^CAD,

NC4O=36°；

连接。。

A、B、C、D、E是CO上的5等分点,

aB=DE=BC=UD，

NRDC=NDCE=ZCAD=36。，

/.ZCGD=108°,

:.ZCGD=/COD+Z.CAD,故②正确：

连接AB,AE,

则ZBAM=ZABM=/EAN=ZAEN=36°,

AB=AE，

三/\AEN(ASA),

:.BM=EN=AM=AN,

ZA£4/V=36。，

：.AM^MN,③错误.

故选：B.

【点睛】本题考查/正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

11.(2023春・浙江台州•九年级校考期中)如图，抛物线产小-入-3与x轴交于4、A两点，抛物线的顶点

为D,点C为A3的中点，以。为圆心，AC长为半径在工轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连

接QE,取QE的中点F,当点E沿着半圆从点4运动至点B的过程中，线段的最小值为()

A.75-1B.26-1C.272-1D.272-2

【答案】C

【分析】如图，连接CD,交；C于G,连接Gb,CE,求解抛物线的顶点坐标坐标为：D(1T),即CQ=4,

再求解A(—1,0),8(3,0),可得CG=AC=8C=1A8=2,证明GF=；CE=1,可得”在以G为圆心，半

径为1的半圆周上运动，则当A,F,G三点共线时，A尸最短,从而可得答案.

【解析】解：如图，连接交。于G,连接G/，CE,

=x2-2x-3=(x-l)2-4,

同抛物线的顶点坐标坐标为：。(1,-4)，即C/)=4,

但当产一2%一3=0时，

解得：为=-1,与=3,

13A(-1,0),8(3,0),

0CG=AC=BC=—AB=2,

2

田6为8的中点，而尸为OE的中点，

^GF=-CE=\,

2

B

D

团尸五以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，

当A,F,G三点共线时，AF最短，

此时AG=Jz=Z?=2拉，

团4’的最小值为：2&-1，

故选C.

【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，

确定产在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动是解本题的关键.

12.12023秋•浙江温州•九年级期末）如图，.58。中，AB=BCfZ4BC=120°,AC=2x/5,回。是./BC

的外接圆，。是优弧AmC上任意一点（不包括A,C）,记四边形ABCD的周长为y,BD的长为x,则y关于

【答案】A

【分析】作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明RtglAGBBR画CFB得：AG=CF,根据30。角的性质表

示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长即可.

【解析】解：连接OB交AC于E,连接OC、OB,

过B作BGMD,BF0CD,交DA的延长线于G,交CD于F,

B

13弧AB=jMBC

EBBDA=[3BDC,

OBG=BF,

在RtQAGB和RtECFB中，

[BG=BF

AB=BC

回Rt回AGBMt团CFB(HL),

0AG=FC,

[3弧AB=MBC,

田0B8AC,EC=；AC=；x26=6,

在E1A0B和EICOB中，

AO=OC

OB=OB,

AB=BC

0BAOB03COB(SSS),

WBO=e)OBC=y121ABe=；xl20o=60%

EOB=OC,

[3(3OBC是等边三角形，

00BOC=6O°,

E0BDC=0ADB=3O\

Rt田BDF中,BD=x,

@DF=—x,

2

同理得：DG=@x,

2

用AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=9x+9:<=6x,

22

RtBBEC中,0BCA=3O°,

0BE=1,BC=2,

0AB=BC=2,

0y=AB+BC+AD+DC=2+2+Gx=&x+4,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是

关键，利用直角三角形30。角的性质解决问题.

13.12018秋•浙江杭州•九年级统考期末）如图，AB是田。的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），

D,E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①D3=QE，②DC伺AB,③FB=FD中的两个作为题设，余下的

一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D,3

【答案】D

【分析】连接0E、0D,

⑴当DB=DE，DC12AB时，由圆周角定理可得既0DWD0B,根据等腰三角形的性质可得0F团BE,由CD3AB

可得Z）OFB=（3OCD=9Cr,利用AAS可证明△OCDOOFB,可得13ODC=[3OBF,根据等腰三角形的性质可得团OBD=（3ODB,

利用角的和差关系可得13FBDWFDB,即可证明FB=FD：

（2）当DB=DE，FB=FD时，同（1）可得0地BE,根据等腰三角形的性质可得回0BDW0DB,13FBD=0FDB,

利用角的和差关系可得由ODC=[EOBF,利用ASA可证明△OCD0OFB,可得团OFBWOCD=90°,可得DC0AB；

（3）当DQ2AB,FB=FD时，同（2）可得△OCD0OFB,由DC0AB可得团OFB=（2OCD=90。，根据垂径定理可得DB=DE，

综上即可得答案.

【解析】如图，连接0E、0D,

（1）当DB=DE，DQ3AB时，

⑦DB=DE，0D为半径，

00ECD=12DOB,

0OE=OB,

0OFQBE,

00OFB=9O0,

0DC0AB,

00DCB=SOFB=9O0,

ZOCD=ZOFB

在AOCD和AOFB中,ZDOC=ZBOF.

OD=OB

laaoccmoFB,

胴ODC北OBF,

0OD=OB,

00ODB=0OBD,

00OBD-0OBF=(7)ODB-[?1ODC,U|)0FDB=3FBD,

0FB=FD.

(2)当BB=t)E，FB=FD时，

国DB=DE，OD为半径，

00ECD=0DOB,

0OE=OB,

HOF0BE,

0HOFB=9O0,

0OD=OB,FB=FD,

00ODB=0OBD,0FDB=SFBD,

0EODC=EOBF,

ZODC=ZOBF

在AOCD和AOFB中，OD=OB,

ZDOC=ZBOF

00OCD00OFB,

00OCD=@OFB=9O°,

0DCGAB.

(3)当DC田AB,FB=FD时,

HDCQAB,

0[aOCD=9O%

0OD=OB,FB=FD,

B0ODB=0OBD,0FDB=0FBD,

00ODC=EOBF,

ZODC=ZOBF

在AOCD和△OFB中,OD=OB

ZDOC=ZBOF

00OCD03OFB,

B0OFB=0OCD=9O°,

0OD0BE,

田OD是半径,

^DB=DE-

综上所述，组成其命题的个数为3,

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、孤、弦、圆心角之间的相等关系及垂径定理，同圆或等圆中，

两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等：熟练掌握相关定理是

解题关键.

14.（2019•浙江杭州•九年级统考期中；如图，在平面直角坐标系中有一半径为5的OO和点42,1）,B、D为

0。夹在两坐标轴正半轴之间的劣弧（含交点）上的两点，且/3八。=9。°,以A3,为边作矩形八BCD,

则对角线AC的最小值是（）

A.2GB.2后C.5D.4

【答案】B

【分析】连接8。，根据矩形的性质可得：AC=BD,ED=EB,连接O£如图1,由垂径定理得：0E工DE,

则OE的大小决定的大小，即AC的大小，所以如图2中当O、4、E共线时，此时0E最大，。月最小，

即AC最小，然后设在直角△OOE中根据勾股定理即可列出关于。的方程，解方程即可求出“，进

而可求出AC的长.

【解析】解：如图1，连接8。，交AC丁E,•.•四边形A8CO是矩形，，斗仁二??。，E是8。的中点，

连接OE,：.OE1BD,

在中，,.・OO=5,的大小决定DE的大小，即3。的大小，AC的大小，

・••当OE最大时，OE最小，即AC最小，

如图2,当O、A、E共线时，此时OE最大，最小，即AC最小，

:A(2,1),：,OA=«,

,/AC_L8。，・•.矩形A8CO是正方形，

/.ZDAE=45",：.AE=DE,

设OE=a,则0£：=石+小在RtZXODE中,由勾股定理得：0a=DE+0E2,

52=a2+(\/5+6/),即。2+逐“-10=0,解得：a=-2y/5(舍去)或逐，

:・AC=BD=2a=2也.

故选:B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、垂役定理、坐标与图形的性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识,

熟练掌握矩形的性质和垂径定理、明逸当O、A、E共线时AC最小是解题的关键.

15.(2022秋•浙江丽水•九年级校考期中)如怪抛物线)，=：/一4与x轴交于A、8两点，P是以点C(0,3)

4

为圆心，2为半径的圆上的动点，。是线段始的中点，连结仇?则线段发的最大值是()

【答案】C

【分析】根据抛物线解析式可求得点A(-4,0),B(4,0),故。点为A8的中点，又。是AP上的中点可知

OQ=：BP,故。。最大即为8〃最大，即连接8c并延长交圆于点P时8/,最大，进而即可求得OQ的最

大值.

【解析】解：连结8P,

田抛物线)，=，*2_4与刀轴交于A、8两点，

4

当y=0时，—x2-4=0,

4

解得x=±4,

0A(-4,0),B(4,0),即04=4,

在直角^COB中，

BC70c="+42=5,

13。是AP上的中点，O是八8的中点，

团0。为AABP中位线，HPOQ=^BP,

又同尸在圆C上，且半径为2,

13当8、C、P共线时8P最大，即OQ最大,

此时8P=BC+CP=5+2=7,

OQ弓BP=a.

【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到网上最长的

距离，解本题的关键是将求0Q最大转化为求BP最长时的情况.

16.（2019秋•浙江湖州•九年级统考期中）如图,已知在正方形八8c。中，连结八C,在AC上截取AE=AD,

作西。E的外接圆交A3于点R连结。尸交AC于点M,连结£凡下列选项不正确的是（）

B.AM=EC

C.^EFB=^AFD

D.S河道那BCMF=S2透彤ADEF

【答案】D

【分析】连接尸G,根据正方形的性质得到回。财。C=90。，由圆周角定理得到回。G尸=90。，推出四边形

是矩形，得到QG=A凡求得OG=A〃，故4正确：根据等腰三角形的性质得到S4/）E=a4EQ,等

量代换得到（3EFB=M。，故C正确：推出12。£”是等腰直角三角形，得到。E=ER根据全等三角形的性

质得至崛AEF=MDF=g）CDE,再证明0ADM2ECDE即可得到，故B正确；连接BE,求得SMW

=S^ADE+S^CDE=SAACD=S^ABC,由于S^.BCMFVS4A8C,得到SW.BCMFVS2.ADEF,故。错

误.

【解析】解：连接尸G,

13四边形A8C。是正方形，

W)AF=^ADC=90°,

团。尸是圆的直径，

能OG”=90°,

国四边形是矩形，

^DG=AF,

◎OG=A"，故A正确：

^AD=AE,

01MDE=E1A£D,

^FD=^AED,^BFE=^ADE,

mEFB-^AFD,故C正确；

由。尸是圆的直径，

^DEF=90°,

00DFE=0DAC=45°,

皿。EF是等腰直角三角形，

^DE=EF,

^CDE+^ADE=^AEF+^AED=90°,

00CD£=[3E4F,

^CDEmEF(SAS),

00AEF=aADF=0CDE,

又团AD=CD,0DAM=(3ECD=45O,

团团ADM总团CDE,

0AM=CE,故8正确；

连接BE,

^AE=BC=AD,CE=AF,0CAF=13BCE=45O,

豳AE侬1CBE(SAS),

团Sxi迨出ADEF二S“\DE+S9EF=SMDE+S^CDESR\CD=S/ABC,

05N穴BCMFVS^ABC,

13sN叱BCMFVSN.ADEF,故。错误，

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形

的性质，圆周角定理，正确的作出正方形是解题的关键.

二、填空题

17.（2022秋•浙江衢州•九年级校联考期中）如图，J3C中，回=26，ZACB=15°,ZABC=60°,。是

线段BC上的一个动点，以A。为直径画0O,分别交AB,AC于E,F,连接石产，贝l]N84C=：

Eb的最小值为.

【分析】根据三角形内角和定理求得/B4C,连接OE、OF,作OM_LEF于M,作AN_L8C于N,如

图，根据圆周角定理得到/反加=90"再计算出£/=0OE，则OE最小时，E尸的长度最小，此时圆

的直径的长最小，利用垂线段最短得到AO的长度最小值为AN的长，接着计算出4N,从而得到OE的最小

值，然后确定所长度的最小值.

【解析】解：田以中，ZACB=75°,ZABC=60°,

0Z^C=18O0-75O-6O0=45O

连接OE、OF,作OM_LEF于M,作AN_L8C于N,如图,

A

-/EOF=243AC=2x45°=90°,

而OE=O尸，OM±EF,

.,.407=45。，EM=FM,

在RQEM中,EF=五OE,

当OE最小时，族的氏度最小，此时圆的直径的长最小，即AO的长最小，

•二4）的长度最小值为AN的长，

AN=—AH=--^2^3=3

22

3

OE的最小值为—»

所长度的最小值为'及，

乙

故答案为：T应,

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理和解直角三角形，推出七?=也。足是解题的关键.

18.（2022秋•浙江•九年级期末）如图，边长为2的正方形人BC。中，动点尸在边CD上，射线M上取一点

G,使ZAG4=3（尸，当动点尸从点C出发向终点。运动时，点G的运动路径长为,线段5G的最大道

【分析】以A8为边在正方形A8CQ内作等边三角形A8。，点。为圆心，为半径作圆，可知圆的半径为

2,延长A。，8C交于点K,延长8。，AO交于点〃，连接BO并延长交。于■点M,连接QM,可知G点

的运动路径为KM，根据弧长公式求解，8G的最大值为8〃，根据圆的直角即可求解.

【解析】解：如图，以43为边在正方形ABCQ内作等边三角形A8O,点O为圆心，为半径作圆，

则点G在。上，延长AO,BC交丁点、K,延长80,AQ交于点“，连接8。并延长交O丁点M,连接

OM.

四边形ABC。是正方形，

.­.Z/1BC=ZB4D=9O°,

•.点K、H、M在。O上，

/.ABKA=ZAilB=ZAGB=ZAMIi=30°,

厂从点C运动到点。，则G点从K运动到历，

即G点的运动路径为疯，

四边形A8CO是正方形，

ZMBK=4DBK=45°,ZMOK=90°,

•.,90〃x2

'KM的l长zM为］80=兀'

圆内最长的弦为直径，由图可知8G最大值为3”，

YBH为。的直径，即期/=2r=4,

/.BG最大值为4.

故答案为：①4；②4.

【点睛】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题

的关键.

19.12023秋•浙江台州•九年级统考期末）如图,在4ABe中,ZABC=115°,AB=BC=6cm,将绕

点4颗时针旋转得到一。踮，过点C作CF上BE干点F,当点E、B、人在同一直线上时停止旋转.在这一

旋转过程中，点厂所经过的路径长为.

【分析】通过添加辅助圆，找到点尸的运动轨迹，求出圆弧对应的圆心角与半径长，然后根据弧长公式计

算即可.

【解析】解：如图1，取中点。，连接。尸，

CFLBE于点,F,

:.ZBFC=9(r,

：.OF=OB=OC=-BC,

2

・・•点产在以8c为直径的圆上运动，

如图2,点E、B、4在同一直线上,

Z.COF=2NEBC=130°,

,I30°X^X313

:.t=---------=—几,

a18006

■1•点F所经过的路径长为一13点cm,

故答案为：;乃cm.

O

【点睛】本题考查了求图形旋转过程中，弧形运动路径长度问题，添加辅助圆并掌握图形旋转过程中弧形

运动轨迹是解题关键.

20.（2023秋•浙江温州•九年级期末）如图，.JSC内接手半径为石的半C。，45为直径，点“是AC的

中点，连接BM交AC于点E,AD平分/C48交于点。，且。为BM的中点，则8C的长为.

【答案】逑

5

【分析】如图作于〃，连接AM,OM,0M交AC于”.解直角三角形求出OH,利用全等三角

形的性质证明Ob=O〃，再利用三角形的中位线定理求出3c即可.

【解析】如图，作于”，连接AW,OM,0M交AC于F.

.-.ZAA/B=90°,Z4cB=90°,

NC48+NCBA=900,

,/点M是4c的中点，

团CM=AM

:.NCBM=ZABM,

ZCAD=ZBAD,

ZDAB+NDBA=-(ZCAB+Z.CBA)=45°,

2

/.ZADB=180。一(ND44+/DBA)=135°,

ZADM=180°-ZADB=45°，

DM=DR，

:.BM=2AM,设则8W=2x,

QAB=2x^,

:.X2+4X2=20,

.'.A-2（负根已经舍弃）,

:.AM=2,3M=4,

•・•-AMBM=-ABMH,

22

2x4_4x/5

MH=

OH=ylOM2-MH2=^(V5)2-(警)2=手

CM=AM，

：.OM±AC,

OA=OB,

:.BC=2OF,

.NOHM=NOFA=90。，/AOF=4MOH,OA=OM,

ta-OAFMOW〃(AAS),

-1R

OF=OH=—,

5

/.BC=2OF=—

5

故答案为：竽.

【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识,

解题的关犍是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.（2022秋•浙江宁波•九年级校考期中）如图，正方形A3CO的边长为4.点E,尸分别在BC,BD上，且巫=1,

过三点C,E,b作。交C。于点G.在点厂整个运动过程中，当即，FG,CG中满足某两条线段相等时,

林的长为.

AD

【答案】g或20或显普

【分析】分：M=RZEF=CG/G=CG三种情况进行讨论，根据圆周角定理以及正方形的性质和勾股定

理进行计算即可.

【解析】①当=时：连接aC”,

BNFCE=NFCG

回四边形A8CQ为正方形，

则：ZC=90°,ZACB=45°,AC=BD=4五;

HZfCE=ZFCG=45°,

⑦NFCE=ZACB,

田A£C三点共线，

又团点尸分别在5。上，

团尸为正方形对角线的交点，

JSBF=-AC=2s/2；

2