2027届江苏省海门区高三上学期调研测试数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．已知平面，，直线，满足，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个高为的圆锥被平行于底面的平面所截，截得的上半部分圆锥的底面半径为1、高为，则截去该圆锥后，所得圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．7．在中，，点在边上，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数及其导函数的定义域为，若，，为奇函数，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．的图象关于对称B．在上单调递增C．的图象向右平移个单位得到的图象D．与的图象有3个不同的交点10．在正方体中，为的中点，点满足，，则（

）A．当时， B．当时，平面C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体的截面可为五边形11．已知函数，（，，），则下列说法正确的是（

）A．的图象关于对称B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则的最小值为_____．13．设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____．14．已知一个底面边长为5的正四棱柱容器内能完全放入半径分别为1和2的两个小球，则这个容器的高的最小值为_____．（容器壁的厚度忽略不计）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知．(1)求的值；(2)若，求的值．16．已知函数是奇函数，．(1)求的值；(2)若对于任意，都有，求实数的取值范围．17．已知的内角，，的对边分别为，，，，．(1)求；(2)点是的中点，延长至点，连接，，．（i）若，，求的长度；（ii）若，求面积的最大值．18．如图，等腰梯形中，，，．，为垂足，将沿折起，记点翻折后对应的点为，为的中点．(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积的最大值；(3)当四棱锥的体积最大时，（ⅰ）求平面和平面夹角的余弦值；（ⅱ）设，分别是直线，上的动点，求线段长度的最小值．19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合．(1)设，求集合；(2)设，集合，试判断“对任意，”是“为奇函数”的_____条件（从下面选择一个），并说明理由；①充分不必要

②必要不充分

③充分必要

④既不充分也不必要(3)设，，若对任意，，，都有，求实数的值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】由可得，即，所以，则.2．D【分析】由不等式的性质即可求解.【详解】因为，所以，对于A选项，若，则，故A错误；对于B选项，若，则，故B错误；对于C选项，若，，且，则，，故，故C错误；对于D选项，因为，且函数在上单调递增，所以，故D正确.3．A【分析】根据题意，由线面关系分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】因为，由面面垂直的判定定理可知“”“”，故充分性满足；由“”，且，不一定得到“”，有可能线面平行或者直线在平面内，故必要性不满足；则“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．B【分析】先根据相似比求解圆台上下底面半径，再利用勾股定理求解圆台的母线长，最后根据圆台的侧面积公式求解．【详解】平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原大圆锥为相似几何体，对应线段成比例．已知小圆锥底面半径，高，原大圆锥高，设大圆锥底面半径为，则相似比为：，代入，解得，即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2．小圆锥母线长为：，大圆锥母线长为：，因此圆台的母线长．由圆台侧面积公式为，可得．故所得圆台的侧面积为5．C【详解】化简已知：，分子分母分别用诱导公式化简：，，，，原式：，分子分母同除以：，代入，.6．C【分析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数零点与方程解的对应关系，重点是过点的切线方程的构造，将切线条数问题转化为函数图像交点个数问题.【详解】解：设切点坐标为对函数进行求导得，因此在切点处的斜率为，切线方程为因为切线过点，所以令则与有两个交点.令单调递减，令单调递增，当时，有极大值，即最大值，当时，当时，要使有两个不同的实数根，则所以选C.7．B【详解】设，则，，由，得，三角形面积公式：，，由得，约去，，代入得，化简得，又，所以，所以，即.8．C【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性，结合简单复合函数的导函数推导求解即可.【详解】令，则，即，所以，A正确.由，得，所以，即的周期.，B正确.因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，所以.对求导得，，即，则，所以，故的周期.令，则，所以，D正确.可知，，无法得到，故C不一定成立.9．ABD【分析】代入检验可判断A；由正弦函数性质计算可判断B；根据图象平移变换可判断C；作出函数图象，通过图象可判断D.【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，故A正确；对于B，令，，解得，，因为，所以在上单调递增，故B正确；对于C，的图象是由的图象向右平移个单位得到，故C错误；对于D，令，因为，，，，，所以在同一坐标系下作出函数在区间的图象以及的图象如下：由图象可知，与的图象有3个不同的交点，故D正确.10．BCD【分析】建立空间直角坐标系，通过方向向量与法向量分析平行与垂直，使用三棱锥的体积公式求解.【详解】设正方体棱长为2，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，故，当时，，，，故与不垂直，选项A错误；当时，，设平面的一个法向量为，，，则，令，得，，，因为，所以，又平面，故平面，选项B正确；因为，平面，平面，所以平面，点在线段上，则点到平面的距离是定值，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，选项正确；当为中点时，平面截正方体的截面为五边形，选项正确.11．ABD【分析】A求证；B作差法求证；C结合B选项证明；D利用并结合B选项.【详解】因为，且的定义域为，所以的图象关于对称，故A正确；因为，所以，因为，所以，所以，所以，故，故B正确；不妨设，若，，则，则，故C错误；不妨设，若，，则，故，则由C选项可知，，故，故D正确.12．【分析】根据题意，由换底公式以及对数的运算可得，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得且，由换底公式可得，则，即，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.13．【分析】结合函数图象得到最小正周期的范围，进而求出，代入特殊点后得到，解不等式，得到的取值范围，进而求出的值，求出最小正周期.【详解】由图知，即，所以，解得，，即，所以，即，又因为，所以，，所以，，因为，所以，此时，所以.14．4【分析】由题知，当两球的球心都在体对角线上，且两球分别与对应的三个面相切，两球外切时，容器的高最小，结合球心所在平面的截面图即可求出此时容器的高.【详解】设正四棱柱为，由题知，当两球的球心，都在体对角线上，且球与过点的三个面相切，球与过点的三个面相切，球与球外切时，容器的高最小，如图一所示；，设球与相切于点，球与相切于点，、分别等于球、球的半径，、.底面是边长为5的正方形，，在和中得出、.由图一可得平面的平面图如图二所示；连接、，过点作的垂线交于点，，在中，这个容器的高的最小值为.15．(1)(2)【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及辅助角公式求解即可.（2）根据同角的三角函数关系、诱导公式及二倍角公式求解即可.【详解】（1）由，得，整理得，即，所以.（2）因为，所以，所以.故.16．(1)(2)【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可；（2）首先要判断函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式进行转化，再根据函数的单调性转化为代数不等式组，最后求解恒成立问题，综合得到参数范围.【详解】（1）是奇函数，则可得或当时，对数无意义，舍去；当时，定义域为，关于原点对称，符合题意，所以.（2）由（1）可得，定义域为，在上单调递减，且为增函数，在上单调递减，又是奇函数，由，可得，，；由，可得，在上单调递增，则，；由可得，而在上单调递减，在上单调递增，则.综上所述，，则实数的取值范围为.17．(1)(2)（i）（ii）面积的最大值为【分析】（1）由三角形的内角和性质，诱导公式以及两角和与两角差的余弦公式即可求解；（2）（i）由点是的中点，，余弦定理以及三角形全等即可求解；（ii）由正弦定理，三角形的面积公式化简，再由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以，故.（2）（i）由余弦定理可得，在中，，将，，代入可得，解得（），即，因为，点是的中点，，，，所以，所以.（ii）因为，即，因此，在中，由正弦定理，可得，，的面积为，化简可得，即，由辅助角公式可得，，当时，即，取得最大值，因此.18．(1)证明：作于点，取中点，连接因为,,,所以四边形为矩形，故,又，所以为等腰直角三角形，且，所以，因为分别为中点，所以且,又且,所以且，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面,所以平面.(2)(3)（i）;(ii)【分析】（1）作于点，利用梯形为等腰梯形可得，，取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，从而证得平面；（2）设点到平面距离为，那么，在翻折过程中，由于，，所以平面，又平面，所以平面平面，故点到平面的距离即为中DE边上的高，当时，取最大值，,进而求得四棱锥的体积的最大值；（3）当四棱锥的体积最大时，，又，故平面，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，(i)求出平面和平面的法向量，再求出夹角的余弦值；（ii）直线，为异面直线，线段长度取最小值时，线段为直线，的公垂线段，易证为直线，的公垂线段，故线段长度取最小值为1.【详解】（1）略（2）设点到平面距离为，那么，在翻折过程中，由于，，所以平面，又平面，所以平面平面，故点到平面的距离即为中DE边上的高，当时，取最大值，，所以四棱锥的体积的最大值为.（3）当四棱锥的体积最大时，，又，故平面，由（2）得，平面，那么以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则,（i）设平面法向量为，那么，取，则为平面的一个法向量，取为平面法向量，设平面和平面夹角为，则，所以平面和平面夹角的余弦值为；（ii）直线，为异面直线，线段长度取最小值时，线段为直线，的公垂线段，由（i）得，平面，平面，所以，又，故平面，又平面，所以，又，所以，故为直线，的公垂线段，所以线段长度取最小值为.19．(1)(2)②必要不充分(3)【分析】(1)利用的定义可知，求解出不等式即求出集合；（2）由函数奇偶性可知，若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，结合的定义即可判断；（3）若对任意，，，都有即，那么即，故导函数在上单调递减，构造函数，利用导数即可求解实数的值.