5.3 第4课时 方案选择问题-2026-2027学年人教版数学七年级上册

#人教版七年级上册数学5.3第4课时方案选择问题专项练习##一、知识梳理###核心思路方案选择问题：先写出**每种方案的费用表达式**，再列方程求出**费用相等时的临界点**；再分范围讨论，判断不同区间哪个方案更省钱。等量关系：$\boldsymbol{方案A费用=方案B费用}$，求临界点。1.设变量（如通话时间、购买数量）；2.分别列出两种方案费用的代数式；3.列方程求费用相等时的自变量值；4.分情况讨论：大于临界点、小于临界点，分别选哪个方案；5.检验，写出结论。>典型题型：电话计费、租车、购书、购物优惠。>易错提醒1.分段计费：超过部分单独算，不要全部按高价计算；2.解方程求出临界点之后，**一定要分情况讨论**，不能只算相等这一种情况；3.自变量有实际限制（通话时长、数量不能为负数）；4.读题分清：月租费、套餐内免费额度、超出单价。##二、基础巩固（填空题）1.方案A：月租20元，通话每分钟0.1元。通话$x$分钟，总费用：____________。2.方案B：无月租，通话每分钟0.3元。通话$x$分钟，总费用：____________。3.两种费用相等，列方程：________________。4.某租车方案：甲车起步100元，每多1千米加收2元；行驶$x$千米，费用=____________。5.书店优惠：方案一办卡20元，购书打8折；购书原价$x$元，总花费：____________。6.电话套餐：月租30元，包含100分钟，超出部分0.2元/分。通话$x$分钟（$\(x>100\)$），费用=________________。##三、判断题（对打√，错打×）1.方案选择问题，只需要算出两种方案费用相等的解，不用分类讨论。（）2.分段计费，没有超出套餐额度时，只收月租。（）3.通话时间越长，有月租的套餐一定更贵。（）4.当$x$大于临界点，选方案A省钱；小于临界点，选方案B省钱。（）5.办卡购书，当书的总原价足够高时，办卡更划算。（）6.费用代数式，要注意自变量取值范围（如$\(x>100\)$）。（）##四、选择题1.方案1：月租15元，0.2元/分钟；方案2：无月租，0.3元/分钟，费用相等时通话（）分钟A.100B.150C.200D.2502.租车A：固定费80元，每公里1元；租车B：无固定费，每公里3元。费用相等时路程（）A.30kmB.40kmC.50kmD.60km3.套餐月租25元，含80分钟，超出0.2元/分。通话120分钟，总话费（）A.29元B.33元C.49元D.50元4.书店：办卡30元，全部7折；不办卡9折。原价多少元时，两种花费相同（）A.100B.150C.200D.2505.两种方案，临界点是$\(\(\boldsymbol{x=20}\)0\)$；当$\(x\(>20\)0\)$，选A划算；$\(x<200\)$选B划算。若$\(x=180\)$，选（）A.方案AB.方案BC.一样D.无法确定##五、列方程求解1.电话套餐A：月租18元，0.15元/分钟；套餐B：无月租，0.3元/分钟。通话多少分钟，两种费用相同？2.租车方案：甲固定120元，每公里加收1.5元；乙无固定费，每公里2.5元。行驶多少千米，费用一样？3.书店：方案一：花25元办会员卡，买书8折；方案二：不办卡9.5折。书原价多少元，两种花钱相同？4.套餐月租40元，含150分钟，超出0.2元/分，通话$x$分钟（$\(x>150\)$），话费70元，求$x$。##六、解答题1.移动有两种计费方式：方式一：月租30元，主叫0.2元/分；方式二：无月租，主叫0.4元/分。主叫时间为$x$分钟，（1）写出两种方式费用代数式；（2）求什么时候两种计费费用相等；（3）分析：通话多久选方式一更省钱，多久选方式二省钱。2.学校组织外出，有两种客车：A车：租金200元，另外每人收5元；B车：无基础租金，每人收15元。人数为$x$人。（1）写出A、B两种总费用；（2）多少人时费用相等；（3）人数超过这个数，选哪种更省钱？3.某商场促销：方案①，全场9折；方案②，交100元办VIP卡，全场7折。购买原价多少元时，两种方案花费相同？怎样选择更划算？##七、能力提升1.电话套餐：月租28元，包含120分钟，超出部分0.2元/分；套餐B无月租，0.4元/分。求通话多久，话费相等。2.某游泳馆，方案A：办卡80元，每次门票5元；方案B：不办卡，每次15元。一年去多少次，两种花费相同？一年去12次，选哪个方案？##八、参考答案###一、基础巩固1.$\(20+0.1x\)$2.$\(0.3x\)$3.$\(20+0.1x\)=\(0.3x\)$4.$\(100+2x\)$5.$\(20+0.8x\)$6.$30+0.2(x-100)$###二、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√###三、选择题1.B2.B3.B4.C5.B###五、列方程求解1.解：$18+0.15x=\(0.3x\)$$\(0.15x=18\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(x=120\)}\)}$答：通话120分钟费用相同。2.解：$\(120+1.5x=2.5x\)$$\(\boldsymbol{\(x=120\)}\)$答：行驶120千米费用相同。3.解：$\(25+0.8x=0.95x\)$$\(0.15x=25\)$，$\boldsymbol{x=\dfrac{500}{3}}$答：原价$\dfrac{500}{3}$元时花费一样。4.$40+0.2(x-150)=70$$0.2(x-150)=30$$x-150=150$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=300}\)}$答：通话300分钟。###六、解答题1.（1）方式一：$\(30+0.2x\)$；方式二：$\(0.4x\)$（2）$\(30+0.2x\)=\(0.4x\)$$\(0.2x=30\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(x=150\)}\)}$（3）当$\(x>150\)$，方式一省钱；当$\(x<150\)$，方式二省钱；$\(\boldsymbol{\(x=150\)}\)$费用相同。2.（1）A：$\(200+5x\)$；B：$15x$（2）$\(200+5x\)=15x$，$10\(\(\boldsymbol{x=20}\)0\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=20}\)}$（3）人数$\(>20\)$，A更省钱。3.设原价$x$元$\(0.9x=100+0.7x\)$$\(0.2x=100\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=500}\)}$当原价等于500元，花费相同；原价＞500元，选方案②；原价＜500元，选方案①。###七、能力提升1.$28+0.2(x-120)=\(0.4x\)$$28+0.2x-24=\(0.4x\)$$\(4=0.2x\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=20}\)}$答：通话20分钟话费相等。2.设去$x$次$\(80+5x=15x\)$，$\(10\(\boldsymbol{x=8}\)0\)$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=8}\)}$去12次：A：$80+5\times12=140$；B：$15\times12=180$$\(140<180\)$，**选方案A**。答：去8次花费相同；一年12次选方案A。##九、易错总结1.分段计费：超过套餐免费额度，超出部分单独计价，不要全部用超出单价；2.先找临界点，**必须分三种情况讨论**：大于、小于、等于临界点；3.列代数式时，区分固定费用（月租、办卡费）和变动费用；4.代入数字检验，看清问题问的是“何时费用相等”还是“哪个方案省钱”；5.应用题最后写完整答句。到此第五章《一元一次方程》全部课时练习就完成了。要不要我把**整章5.1~5.3所有练习题整理成一套完整单元测试卷（含答案）**，直接用来复习自测？人教版（新教材）数学七年级上册5.3第4课时方案选择问题授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

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间：.

2026/10/17

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章一元一次方程教学目标1.

通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受一元一次方程与日常生活的密切关系，提高分析问题、解决问题的能力.2.

通过活动探究，掌握一元一次方程解决选择付费方式类型问题的方法和技能.重点：探究一元一次方程解决实际问题的方法技能，

进一步感受数学模型化的思想.难点：分析实际问题中的数量关系，根据其中的等量

关系列方程.书架搭建时，供应商告诉小优：“你们购买的材料还包含赠送的螺丝等零件，比那些零件工具都需要另外购买的厂家还要划算呢！”选择商品是需要综合考虑的.是的，而且还要考虑质量，减少后期消费等.探究：不同能效空调的综合费用比较购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kw·h)1.51级30006401.53级2600800两款空调的部分基本信息表匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kw·h)1.51级30006401.53级2600800（1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？（2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量空调的售价与电费使用时间综合费用＝空调的售价＋电费（3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kw·h)1.51级30006401.53级26008001级能效空调的综合费用（单位：元）是

3000＋0.5×640t，即

3000＋320t.3级能效空调的综合费用（单位：元）是

2600＋0.5×800t，即

2600＋400t.（4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？3000＋320t＝2600＋400t，解得t＝5.（5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kw·h)1.51级30006401.53级2600800

为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即

（3000＋320t）＋（80t－400），也就是

3000＋320t＋80（t－5）.这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kw·h)1.51级30006401.53级2600800

由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。通常，1级能效电器既节能又省钱！1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况；2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．解答这类问题的一般步骤1.

有一位旅客携带

30

千克行李乘坐某航空公司的飞机，按该航空公司规定，旅客最多可免费携带

20

千克行李，超重部分每千克按飞机票价的

1.5%

支付行李托运费用.

现该旅客支付了

120

元的托运费用，他的飞机票是多少元?解：设该旅客机票票价为

x

元，根据题意解得：x＝800．答：该旅客的机票价为800

元．可得(30－20)×1.5%x＝120，2.用

A4

纸在某复印社复印文件，复印页数不超过

20

时每页收费

0.12

元；复印页数超过

20

时，超过部分每页收费

0.09

元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费

0.1元.问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜

(复印的页数不为零)？复印页数

x复印社复印费用/元图书馆复印费用/元x小于200.12x0.1xx等于200.12×20＝2.40.1×20＝2x大于202.4＋0.09(x－20)0.