5.3 第1课时 产品配套问题和工程问题-2026-2027学年人教版数学七年级上册

#人教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》章末复习专项练习##一、知识梳理###\(\boldsymbol1\).一元一次方程定义只含有**一个未知数**，未知数的次数都是$\boldsymbol\(\boldsymbol1\)$，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。###\(\boldsymbol{2}\).方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)求方程解的过程叫解方程。###3.等式的基本性质性质\(\boldsymbol1\)：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。若$\(a\(=\)b\)$，则$a\pmc\(=\)b\pmc$。性质\(\boldsymbol{2}\)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。若$\(a\(=\)b\)$，则$\(ac\(=\)bc\)$\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)若$\(a\(=\)b\)(c\neq0)$，则$\dfrac{a}{c}\(=\)\dfrac{b}{c}$。###4.解一元一次方程一般步骤\(\boldsymbol1\).**去分母**（两边同乘最小公倍数，每一项都要乘，不含分母项不要漏乘）\(\boldsymbol{2}\).**去括号**（负括号全部变号，分配律不漏乘）3.**移项**（移项要变号，不移不变号）4.**合并同类项**，化成$a\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)b(a\neq0)$5.**系数化为\(\boldsymbol1\)**：两边同除以$a$，$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)\dfrac{b}{a}$###5.实际应用题常见模型和差倍分、行程（路程\(=\)速度×时间）、工程（总工作量看作\(\boldsymbol1\)）、销售利润：利润\(=\)售价$-$进价\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)利润率$\(=\)\dfrac{\text{利润}}{\text{进价}}\times\(\boldsymbol1\)00\%$\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)售价\(=\)标价×折扣。>易错提醒\(\boldsymbol1\).去分母时常数项必须乘最小公倍数\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)\(\boldsymbol{2}\).移项一定要变号，只在同一边交换位置不变号\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)3.分母有小数，先利用分数性质化成整数分母，**不是去分母**\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)4.应用题，设未知数后，方程单位统一，解完检验是否符合实际意义。##二、基础巩固（填空题）\(\boldsymbol1\).下列是一元一次方程的是________（填序号）①$\(\boldsymbol{2}\)x+\(\boldsymbol1\)$\(\boldsymbol{②}\)$\(\boldsymbol{2}\)x+\(\boldsymbol1\)\(=\)5$③$x+y\(=\)\(\boldsymbol1\)$④$x^\(\boldsymbol{2}\)\(=\)\(\boldsymbol1\)$\(\boldsymbol{2}\).方程$\(\boldsymbol{2}\)x-4\(=\)0$的解是$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)}$____。3.若$3x^{m-\(\boldsymbol1\)}+5\(=\)0$是一元一次方程，则$\(m\(=\)\)$____。4.方程$3\(x+6\)\(=\)\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x$移项得：$3x+\underline{\quad}\(=\)\(\boldsymbol{2}\)-\underline{\quad}$。5.一件商品进价\(\boldsymbol1\)00元，标价\(\boldsymbol1\)50元，打8折出售，售价____元，利润____元。6.甲单独完成一项工程要\(\boldsymbol1\)0天，则甲一天工作量是____。##三、判断题（对打√，错打×）\(\boldsymbol1\).含有未知数的式子叫做方程。（）\(\boldsymbol{2}\).解方程移项，就是把项从左边移到右边，不用变号。（）3.方程$\dfrac{x}{\(\boldsymbol{2}\)}-\(\boldsymbol1\)\(=\)\dfrac{x}{3}$去分母，两边同乘6。（）4.$\(\boldsymbol{2}\)x+3\(=\)\(\boldsymbol{2}\)(x+\(\boldsymbol1\))$是一元一次方程。（）5.路程相等，速度越大，用时越少。（）6.利润率\(=\)利润÷售价。（）##四、选择题\(\boldsymbol1\).方程$\(x+3\(=\)5\)$的解是（）A.$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)\(\boldsymbol1\)$B.$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)\(\boldsymbol{2}\)$C.$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)8$D.$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)-\(\boldsymbol{2}\)$\(\boldsymbol{2}\).解方程$\(\boldsymbol{2}\)(x-\(\boldsymbol1\))\(=\)4$，正确的是（）A.$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)\(=\)4$B.$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol{2}\)\(=\)4$C.$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)\(=\)\(\boldsymbol{2}\)$D.$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol{2}\)\(=\)\(\boldsymbol{2}\)$3.若代数式$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)$与$3-x$相等，则$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)$（）A.$4$B.$3$C.$\(\boldsymbol{2}\)$D.$\(\boldsymbol1\)$4.某商品原价$x$元，降价\(\boldsymbol{2}\)0%，现价（）A.$\(\boldsymbol{2}\)0\%x$B.$x-\(\boldsymbol{2}\)0\%$C.$\(0.8x\)$D.$\(\boldsymbol1\).\(\boldsymbol{2}\)x$5.解方程$\dfrac{x-\(\boldsymbol1\)}{\(\boldsymbol{2}\)}\(=\)\(\boldsymbol1\)$，去分母后得（）A.$x-\(\boldsymbol1\)\(=\)\(\boldsymbol1\)$B.$x-\(\boldsymbol1\)\(=\)\(\boldsymbol{2}\)$C.$x-\(\boldsymbol1\)\(=\)0$D.$\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)\(=\)\(\boldsymbol{2}\)$##五、解方程\(\boldsymbol1\).$3x-5\(=\)7$\(\boldsymbol{2}\).$4(x-\(\boldsymbol{2}\))\(=\)\(\boldsymbol{2}\)\(x+6\)$3.$\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)}{3}\(=\)\(\boldsymbol1\)-\dfrac{x+\(\boldsymbol{2}\)}{4}$##六、解答题\(\boldsymbol1\).当$x$取何值，代数式$3x-\(\boldsymbol{2}\)$与$\(x+6\)$互为相反数？\(\boldsymbol{2}\).甲、乙两人相距\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)0米，甲速度6m/s，乙4m/s，两人同时同向出发，甲在后，多久甲追上乙？3.简述解一元一次方程的五个步骤。##七、能力提升\(\boldsymbol1\).方程$\(\boldsymbol{2}\)x+a\(=\)x-\(\boldsymbol1\)$的解是$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)-4$，求$a$的值。\(\boldsymbol{2}\).某商店购进一批服装，每件进价\(\boldsymbol{2}\)00元，标价300元，打折销售后利润率5%，求打几折出售。##八、参考答案###一、基础巩固\(\boldsymbol1\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{②}\)}$\(\boldsymbol{2}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)x}\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)\boldsymbol{6}$5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)0}\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)0}$6.$\boldsymbol{\dfrac\(\boldsymbol1\){\(\boldsymbol1\)0}}$###二、判断题\(\boldsymbol1\).×\(\boldsymbol{2}\).×3.√4.×（化简后消去$x$）5.√6.×###三、选择题\(\boldsymbol1\).B\(\boldsymbol{2}\).B3.C4.C5.B###五、解方程\(\boldsymbol1\).$$\begin{align*}3x-5&\(=\)7\\3x&\(=\)\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)\\x&\(=\)4\end{align*}$$\(\boldsymbol{2}\).$$\begin{align*}4(x-\(\boldsymbol{2}\))&\(=\)\(\boldsymbol{2}\)\(x+6\)\\4x-8&\(=\)\(\boldsymbol{2}\)\(x+6\)\\4x-\(\boldsymbol{2}\)x&\(=\)6+8\\\(\boldsymbol{2}\)x&\(=\)\(\boldsymbol1\)4\\x&\(=\)7\end{align*}$$3.$$\begin{align*}\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\)}{3}&\(=\)\(\boldsymbol1\)-\dfrac{x+\(\boldsymbol{2}\)}{4}\\4(\(\boldsymbol{2}\)x-\(\boldsymbol1\))&\(=\)\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)-3(x+\(\boldsymbol{2}\))\\8x-4&\(=\)\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)-3x-6\\8x+3x&\(=\)6+4\\\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol1\)x&\(=\)\(\boldsymbol1\)0\\x&\(=\)\dfrac{\(\boldsymbol1\)0}{\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol1\)}\end{align*}$$###六、解答题\(\boldsymbol1\).互为相反数，则和为0$$\begin{align*}(3x-\(\boldsymbol{2}\))+(\(x+6\))&\(=\)0\\4x+4&\(=\)0\\x&\(=\)-\(\boldsymbol1\)\end{align*}$$答：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)-\(\boldsymbol1\)}$\(\boldsymbol{2}\).解：设$t$秒追上$$\begin{align*}6t-4t&\(=\)\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)0\\\(\boldsymbol{2}\)t&\(=\)\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2}\)0\\t&\(=\)60\end{align*}$$答：60秒甲追上乙。3.去分母\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)去括号\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)移项\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)合并同类项\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)系数化为\(\boldsymbol1\)。###七、能力提升\(\boldsymbol1\).把$\(\boldsymbol{\(x\(=\)\)}\)-4$代入方程：$$\begin{align*}\(\boldsymbol{2}\)\times(-4)+a&\(=\)-4-\(\boldsymbol1\)\\-8+a&\(=\)-5\\a&\(=\)3\end{align*}$$答：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{a\(=\)3}\)}$\(\boldsymbol{2}\).设打$x$折。售价$\(=\)300\times\dfrac{x}{\(\boldsymbol1\)0}$，利润$\(=\)$进价$\times5\%\(=\)\(\boldsymbol{2}\)00\times0.05\(=\)\(\boldsymbol1\)0$$$\begin{align*}300\times\dfrac{x}{\(\boldsymbol1\)0}-\(\boldsymbol{2}\)00&\(=\)\(\boldsymbol{2}\)00\times5\%\\30x-\(\boldsymbol{2}\)00&\(=\)\(\boldsymbol1\)0\\30x&\(=\)\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol1\)0\\x&\(=\)7\end{align*}$$答：打7折出售。##九、易错总结\(\boldsymbol1\).一元一次方程必须：整式方程、只\(\boldsymbol1\)个未知数、未知数次数为\(\boldsymbol1\)\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)\(\boldsymbol{2}\).去分母，**常数项千万不要漏乘**\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)3.移项变号，不移项不变号\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)去括号负号，括号内每一项变号\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)4.打折问题：打$x$折是原价$\times\dfrac{x}{\(\boldsymbol1\)0}$，不是乘以$x\%$\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)5.追及问题：路程差\(=\)速度差×时间\(\boldsymbol{2x}\(\boldsymbol{120}；\boldsymbol{20}\)\boldsymbol{6}\)工程问题总工作量常设为\(\boldsymbol1\)。下一章：**第6章几何图形初步章末复习**，继续这套模板出题吗？人教版（新教材）数学七年级上册5.3第1课时产品配套问题和工程问题授课教师：.

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7年级（

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2026/10/17

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章一元一次方程教学目标1.

探究产品配套问题中的等量关系.2.

掌握工程问题中的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系.重点：根据题意分析各类问题中的数量关系，会熟练

地列方程解应用题.难点：从实际问题中抽象出数学模型.复习旧知小学我们学过工程问题，请回答下列问题：1.一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_____.复习旧知2.一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.复习旧知工作量、工作时间、工作效率的关系：1.工作量=___________×____________；2.工作时间=___________÷____________；3.工作效率=___________÷____________.工作时间工作效率工作量工作效率工作量工作时间复习旧知为简便起见，通常设总工作量为“1”.2.如果工程为多方合作完成，则合作完成时的工作效率是各方的工作效率相加.1.如果已知工作时间，那么“时间的倒数”就是工作效率.例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。螺母数量＝螺栓数量×2这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母，根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程

2000(22－x)＝2×1200x

解方程，得

x＝10

进而22－x＝12答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。螺母数量＝螺栓数量×22000x＝2×1200(22－x)

一道应用题中往往含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，其他的未知量可用含有未知数的式子来表示，从而列出方程．一般问什么设什么，如本题，有两个未知数，设其中哪个为x

都可以，这两种设法之下所列的方程也没有难易区别．提示：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；总工作量=各部分工作量之和.题中的工作总量是多少呢？例2：整理一批图书，由一个人整理需要40h完成.现计划由一部分人先整理4h，然后增加2人与他们一起整理8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？例2：整理一批图书，由一个人整理需要40h完成.现计划由一部分人先整理4h，然后增加2人与他们一起整理8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？

一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1.

分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1h完成的工作量）为_____，x人先整理4h完成的工作量为_____，增加2人后再整理8h完成的工作量为___________，这两个工作量之和应等于总工作量.

例2：整理一批图书，由一个人整理需要40h完成.现计划由一部分人先整理4h，然后增加2人与他们一起整理8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：一元一次方程实际问题设未知数,列方程解方程一元一次方程的解（x＝m）实际问题的答案检验这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。基础练习1.(黄陂区期末)一套仪器由一个

A

部件和三个B部件构成.用1m3

钢材可做40个

A

部件或者240个

B

部件.现要用

6m3

钢材制作这种仪器，设xm3钢材做

A

部件，剩余钢材做

B

部分恰好配