小学五年级数学必考应用题+奥数题带答案

小学五年级数学必考应用题+奥数题带答案应用题和奥数题是小学五年级数学学习中的两大核心板块，也是拉开学生成绩差距的关键所在。应用题侧重考查将实际问题转化为数学模型的能力，而奥数题则重在训练逻辑推理、数感与创造性思维。很多学生"上课听得懂、做题做不对"，根源往往在于缺乏对题型规律的归纳与举一反三的训练。本资料精选了五年级必考应用题30例与经典奥数题20例，按题型分类编排，每道题均配有详细解答过程，既便于学生自主练习，也方便家长辅导时对照讲解。建议使用时先独立作答，再对照答案分析错因，切忌边看答案边做题。一、必考应用题30例应用题是五年级考试的"半壁江山"，涵盖了分数应用题、行程问题、工程问题、比例问题、平均数问题、盈亏问题、植树问题、年龄问题、鸡兔同笼等必考题型。这些题型在考试中交替出现，学生需要掌握每种题型的核心数量关系式，才能以不变应万变。下面按题型逐一展开，每道题都标注了难度星级（★为基础题，★★为中等题，★★★为提高题）。（一）分数与百分数应用题分数应用题的核心是找准"单位1"——即把哪个量看作整体。解题口诀是"单位1已知用乘法，单位1未知用除法，多几分之几加，少几分之几减"。这类题在考试中占15%左右的分值，必须熟练掌握。1.食堂运来一批大米，第一周吃了总量的2/5，第二周吃了余下的1/3，还剩160千克。这批大米原有多少千克？（★★★）解题思路：从最后剩下的160千克往前倒推。第二周吃了"余下的1/3"，说明剩下的160千克是"第一周吃完后余下部分"的1-1/3=2/3。先求出第一周吃完后余下的量，再求总量。解题过程：第一周吃完后余下的量：160÷(1-1/3)=160÷2/3=160×3/2=240（千克）第一周吃了总量的2/5，说明余下的240千克占总量的1-2/5=3/5。总量：240÷3/5=240×5/3=400（千克）答：这批大米原有400千克。2.一件商品先涨价20%，再降价20%，现价是96元。原价是多少元？（★★★）解题思路：设原价为"1"。涨价20%后变为原价的120%，再降价20%是在涨价后价格的基础上降价，因此现价=原价×120%×80%。已知现价求原价，用除法。解题过程：原价=96÷(1+20%)÷(1-20%)=96÷1.2÷0.8=80÷0.8=100（元）答：原价是100元。易错提醒：先涨后降的幅度不能直接相减（20%-20%=0%），因为两次变化的单位"1"不同，第二次降价是在涨价后的基础上进行的，所以实际结果是降价的。3.一本书共300页，小明第一天看了全书的1/5，第二天看了余下的1/4，第三天应从第几页看起？（★★）解题思路：先分别求出前两天看的页数，再加1得到第三天开始看的页码。解题过程：第一天看了：300×1/5=60（页）余下：300-60=240（页）第二天看了：240×1/4=60（页）两天共看：60+60=120（页）第三天应从：120+1=121（页）看起答：第三天应从第121页看起。（二）行程问题行程问题的核心公式是"路程=速度×时间"。相遇问题中，相遇时间=总路程÷速度和；追及问题中，追及时间=路程差÷速度差。五年级考试中行程问题约占12%，是应用题中的难点和区分度最高的题型。4.甲、乙两车同时从相距450千米的两地相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米。几小时后两车相遇？（★）解题思路：相向而行是相遇问题，两车每小时共同靠近的距离等于速度之和。解题过程：相遇时间=总路程÷速度和=450÷(55+45)=450÷100=4.5（小时）答：4.5小时后两车相遇。5.小刚和小强在环形跑道上跑步，跑道周长400米。两人同时从同一点出发，反向而行。小刚每秒跑6米，小强每秒跑4米。经过多少秒两人第一次相遇？（★★）解题思路：环形跑道上反向而行，第一次相遇时两人合跑了一圈，即400米。解题过程：相遇时间=跑道周长÷速度和=400÷(6+4)=400÷10=40（秒）答：经过40秒两人第一次相遇。6.一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相向而行，客车每小时行80千米，货车每小时行60千米。两车在距中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？（★★★）解题思路：两车在距中点20千米处相遇，说明客车比货车多行了20×2=40千米（客车超过中点20千米，货车距离中点还差20千米，一多一少相差两个20千米）。用路程差除以速度差求出相遇时间，再求总路程。解题过程：相遇时间=路程差÷速度差=(20×2)÷(80-60)=40÷20=2（小时）总路程=速度和×相遇时间=(80+60)×2=140×2=280（千米）答：A、B两地相距280千米。关键点拨："距中点20千米相遇"隐含了快车比慢车多行了两个20千米，这是此类题的突破口，也是学生最容易出错的地方。7.甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米。甲车从A地出发2小时后，乙车才从A地出发去追甲车。乙车几小时能追上甲车？（★★）解题思路：追及问题。甲车先出发2小时，已经领先乙车60×2=120千米。乙车每小时比甲车多行60-45=15千米。解题过程：路程差=60×2=120（千米）速度差=60-45=15（千米/小时）追及时间=路程差÷速度差=120÷15=8（小时）答：乙车8小时能追上甲车。（三）工程问题工程问题的核心是把工作总量看作单位"1"，工作效率=1÷工作时间。合作完成时，合作效率=各效率之和。这类题在考试中约占10%，重点考查分数运算与实际意义的结合。8.一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。两队合作，多少天可以完成？（★）解题思路：把总工程量看作"1"，甲队每天完成1/12，乙队每天完成1/18，两队合作每天完成1/12+1/18。解题过程：合作效率=1/12+1/18=3/36+2/36=5/36合作时间=1÷5/36=36/5=7.2（天）答：两队合作7.2天可以完成。9.一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成。甲先做3天后，剩下的由乙单独完成，乙还需要几天？（★★）解题思路：先求出甲做3天完成的工作量，用总量1减去已完成的，就是剩余工作量。剩余工作量除以乙的工作效率即为乙所需天数。解题过程：甲做3天完成：3×1/15=1/5剩余工作量：1-1/5=4/5乙的工作效率：1/10乙所需天数：4/5÷1/10=4/5×10=8（天）答：乙还需要8天。10.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作5天后，丙再加入，三人合作2天完成了全部工程。丙单独做需要多少天完成？（★★★）解题思路：先求出甲、乙合作5天完成的工作量，再求三人合作2天完成的工作量，从而得到丙的工作效率。解题过程：甲效率1/20，乙效率1/30，合作效率=1/20+1/30=5/60=1/12甲、乙合作5天完成：5×1/12=5/12剩余工作量：1-5/12=7/12三人合作2天完成7/12，三人合作效率=7/12÷2=7/24丙的效率=7/24-1/12=7/24-2/24=5/24丙单独做所需天数：1÷5/24=24/5=4.8（天）答：丙单独做需要4.8天完成。（四）比例与按比例分配比例应用题的关键是找出"总份数"，然后用"总量×各部分份数/总份数"求解。考试中此类题约占8%，常与几何图形（如三角形内角和、长方形周长）结合考查。11.一个三角形的三个内角度数比是2:3:4，这个三角形的三个内角分别是多少度？它是什么三角形？（★）解题思路：三角形内角和为180°，按2:3:4的比例分配。解题过程：总份数=2+3+4=9三个角分别为：180°×2/9=40°180°×3/9=60°180°×4/9=80°三个角都小于90°，是锐角三角形。答：三个内角分别是40°、60°、80°，是锐角三角形。12.一个长方形操场的周长是320米，长与宽的比是5:3。这个操场的面积是多少平方米？（★★）解题思路：先求出长与宽的和（周长的一半），再按比例分配求出长和宽，最后算面积。解题过程：长+宽=320÷2=160（米）总份数=5+3=8长=160×5/8=100（米）宽=160×3/8=60（米）面积=100×60=6000（平方米）答：操场的面积是6000平方米。易错提醒：已知周长求长宽时，必须先用周长除以2得到长宽之和，很多学生直接拿320去按比例分配，导致结果翻倍错误。13.学校把560本图书按人数比例分配给五、六两个年级。五年级有120人，六年级有160人。两个年级各分得多少本？（★★）解题思路：按人数比120:160=3:4分配，化简后再按比例分配。解题过程：人数比=120:160=3:4总份数=3+4=7五年级分得：560×3/7=240（本）六年级分得：560×4/7=320（本）答：五年级分得240本，六年级分得320本。（五）平均数问题平均数问题的核心是"总数量÷总份数=平均数"，但考试中常出现"隐藏总份数"的变式题，需要先求出总数量再反推。此类题约占8%。14.五（1）班40名同学参加数学测验，平均分是85.5分。其中男生22人，平均分是84分。女生的平均分是多少分？（★★★）解题思路：先求出全班总分和男生总分，相减得女生总分，再除以女生人数。解题过程：全班总分=85.5×40=3420（分）男生总分=84×22=1848（分）女生人数=40-22=18（人）女生总分=3420-1848=1572（分）女生平均分=1572÷18=87.33（分）答：女生的平均分约是87.33分。15.甲、乙、丙三个数的平均数是24，甲、乙两个数的平均数是18，丙数是多少？（★★）解题思路：用三数总和减去两数总和，即可求出丙数。解题过程：三数总和=24×3=72甲、乙总和=18×2=36丙数=72-36=36答：丙数是36。16.小华期中考试语文、数学、英语三科的平均分是92分，其中语文89分，英语93分。数学考了多少分？（★）解题过程：三科总分=92×3=276（分）数学=276-89-93=94（分）答：数学考了94分。（六）盈亏问题盈亏问题的核心是"两次分配的总差额÷每次分配的差额=份数"。这类题在考试中频率不高但区分度大，出现时通常作为填空或选择的压轴题。17.学校给住宿生分配宿舍。如果每间住6人，则多出34人；如果每间住8人，则少6间宿舍。住宿生有多少人？宿舍有多少间？（★★★）解题思路：两种分配方案，每间多住8-6=2人。第一种方案多34人，第二种方案"少6间"即还差8×6=48人才能住满。两种方案的总差额=34+48=82人（一多一少要相加）。用总差额除以每间差额得间数。解题过程：每间差额=8-6=2（人）总差额=34+8×6=34+48=82（人）宿舍间数=82÷2=41（间）住宿生人数=41×6+34=246+34=280（人）验证：41×8-48=328-48=280（人）✓答：住宿生有280人，宿舍有41间。关键点拨：盈亏问题中"一盈一亏"时总差额用加法；"两盈"或"两亏"时用减法。判断标准是看两次分配结果与"正好住满"的差距方向是否一致。18.老师给小朋友分糖。如果每人分5颗，则少8颗；如果每人分4颗，则多6颗。有多少个小朋友？有多少颗糖？（★★★）解题思路："少8颗"是亏，"多6颗"是盈，一亏一盈总差额相加。解题过程：总差额=8+6=14（颗）每人差额=5-4=1（颗）小朋友人数=14÷1=14（人）糖的数量=14×5-8=70-8=62（颗）验证：14×4+6=56+6=62（颗）✓答：有14个小朋友，62颗糖。（七）植树问题植树问题的核心是棵数与间隔数的关系：两端都栽时棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽时棵数=间隔数；两端都不栽时棵数=间隔数-1。封闭图形上植树（如环形、方形）棵数等于间隔数。此类题考试中约占5%，但概念性强，容易混淆。19.一条公路长2400米，在公路一侧每隔40米种一棵树（两端都种）。一共需要种多少棵树？（★）解题过程：间隔数=2400÷40=60（个）两端都种：棵数=间隔数+1=61（棵）答：一共需要种61棵树。20.一个圆形花坛的周长是180米，沿花坛边缘每隔6米摆一盆花。一共需要摆多少盆花？（★★）解题过程：封闭图形：棵数=间隔数=180÷6=30（盆）答：一共需要摆30盆花。21.工人锯一根木头，锯成5段需要16分钟。照这样计算，锯成10段需要多少分钟？（★★★）解题思路：锯成5段需要锯5-1=4次，先求锯一次的时间，再求锯10段（锯9次）的时间。解题过程：锯一次所需时间=16÷(5-1)=16÷4=4（分钟）锯成10段需锯：10-1=9（次）总时间=9×4=36（分钟）答：锯成10段需要36分钟。易错提醒：锯木头的"段数"与"次数"相差1，很多学生直接用16÷5求单次时间，忽略了次数等于段数减1的关系。（八）年龄问题年龄问题的核心是"年龄差永远不变"。解题时以年龄差为桥梁，结合倍数关系列式。考试中此类题常以填空或选择题出现，但理解逻辑比计算更重要。22.爸爸今年42岁，儿子今年10岁。多少年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍？（★★★）解题思路：年龄差=42-10=32岁，这个差永远不变。当爸爸年龄是儿子年龄的3倍时，儿子的年龄=年龄差÷(3-1)=16岁。从10岁到16岁需要6年。解题过程：年龄差=42-10=32（岁）儿子年龄是年龄差的：1/(3-1)=1/2儿子当年的年龄=32÷(3-1)=16（岁）需要年数=16-10=6（年）验证：6年后爸爸48岁，儿子16岁，48÷16=3✓答：6年后爸爸的年龄是儿子年龄的3倍。23.妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈的年龄比小红的年龄大24岁。小红今年多少岁？（★★★）解题思路：年龄差24岁不变。妈妈年龄是小红的4倍，说明年龄差是小红年龄的4-1=3倍。解题过程：小红今年年龄=24÷(4-1)=24÷3=8（岁）验证：妈妈8×4=32岁，3年前妈妈29岁、小红5岁，29-5=24✓答：小红今年8岁。（九）鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题的核心是"假设法"：先假设全是某一种动物，求出总脚数与实际脚数的差额，再除以每只鸡兔的脚数差，得到另一种动物的数量。此类题在五年级考试中约占5%，是"假设-比较-调整"数学思想的典型应用。24.笼子里有鸡和兔共35只，脚共有94只。鸡和兔各有多少只？（★★★）解题思路：假设全是鸡，则应有脚35×2=70只，实际多出94-70=24只脚。每把一只鸡换成一只兔，脚数增加4-2=2只，所以兔有24÷2=12只。解题过程：假设全是鸡，总脚数=35×2=70（只）实际多出的脚=94-70=24（只）兔的只数=24÷(4-2)=12（只）鸡的只数=35-12=23（只）验证：23×2+12×4=46+48=94✓答：鸡有23只，兔有12只。25.停车场里有三轮车和自行车共24辆，车轮共56个。三轮车和自行车各有多少辆？（★★）解题过程：假设全是自行车，轮子数=24×2=48（个）实际多出的轮子=56-48=8（个）三轮车数量=8÷(3-2)=8（辆）自行车数量=24-8=16（辆）验证：16×2+8×3=32+24=56✓答：三轮车有8辆，自行车有16辆。（十）综合提高题以下5题综合了多个知识点，是考试中拉开差距的关键题，适合学有余力的学生挑战。26.甲、乙两数的和是180，甲数的1/4等于乙数的1/5。甲、乙两数各是多少？（★★★）解题思路：甲数×1/4=乙数×1/5，说明甲数:乙数=1/5:1/4=4:5，按比例分配。解题过程：甲:乙=1/5:1/4=4:5总份数=4+5=9甲=180×4/9=80乙=180×5/9=100验证：80×1/4=20，100×1/5=20✓答：甲数是80，乙数是100。27.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，4小时到达。返回时每小时行80千米，返回比去时少用几小时？（★★）解题过程：路程=60×4=240（千米）返回时间=240÷80=3（小时）少用时间=4-3=1（小时）答：返回比去时少用1小时。28.某商品按定价的八折出售，仍能获得20%的利润。定价时的期望利润率是多少？（★★★）解题思路：设成本为"1"。八折后售价是成本的1+20%=1.2倍，则原定价=1.2÷0.8=1.5倍成本，期望利润率=(1.5-1)×100%=50%。解题过程：设成本为1打折后售价=1×(1+20%)=1.2原定价=1.2÷80%=1.5期望利润率=(1.5-1)÷1×100%=50%答：定价时的期望利润率是50%。29.一列火车长360米，每秒行30米。这列火车通过一座长1440米的大桥，需要多少秒？（★★）解题思路：火车通过大桥是指从车头上桥到车尾离桥，总路程=桥长+车长。解题过程：总路程=1440+360=1800（米）时间=1800÷30=60（秒）答：需要60秒。易错提醒："通过"是车头上桥到车尾离桥，路程=桥长+车长；"在桥上"则是车尾上桥到车头离桥，路程=桥长-车长。两种情况学生极易混淆。30.甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米。两人相遇后又继续前行，甲到达B地后立即返回，乙到达A地后也立即返回，第二次相遇地点距第一次相遇地点300米。A、B两地相距多少米？（★★★★★）解题思路：第一次相遇时两人合走一个全程，甲走了全程的80/(80+70)=8/15。第二次相遇时两人合走了三个全程，甲一共走了3×8/15=8/5个全程，即甲走完一个全程后还多走了3/5个全程，所以第二次相遇点距A地是3/5个全程（即距B地2/5个全程）。第一次相遇点距A地8/15个全程，两个相遇点相距=8/15-2/5=2/15个全程。解题过程：速度比=80:70=8:7第一次相遇时，甲走了全程的8/(8+7)=8/15第二次相遇时，两人共走3个全程，甲共走3×8/15=8/5个全程8/5-1=3/5，说明第二次相遇点距A地3/5个全程两次相遇点相距=8/15-(1-3/5)=8/15-2/5=8/15-6/15=2/15（个全程）全程=300÷2/15=300×15/2=2250（米）答：A、B两地相距2250米。二、经典奥数题20例奥数题的价值不在于"难倒学生"，而在于训练数学思维的核心能力——逻辑推理、抽象建模、逆向思维和归纳总结。五年级奥数题的重点题型包括整除与同余、周期问题、最值问题、数字谜、几何图形的面积计算、容斥原理、抽屉原理和裂项求和等。以下20例按题型分类，每题均标注了适用的思维方法。（一）整除与数论31.一个四位数7□4□，既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。这样的四位数最大是多少？（★★★）解题思路：同时是2和5的倍数，个位必须是0。是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。设四位数为7a4b，b只能为0。数字和=7+a+4+0=11+a，要能被3整除，a可取1、4、7。要使四位数最大，a取最大值7。解题过程：个位b=0（同时是2和5的倍数）数字和=7+a+4+0=11+a，需是3的倍数a可取1、4、7，最大取7最大四位数=7740验证：7740÷2=3870，7740÷3=2580，7740÷5=1548✓答：最大的四位数是7740。32.已知1×2×3×4×……×50的乘积末尾有多少个连续的零？（★★★）解题思路：乘积末尾0的个数取决于因数中10的个数，即2和5配对的组数。因数中2的个数远多于5的个数，所以只需求1到50中因数5的个数。每隔5个数有一个5的倍数（贡献1个5），每隔25个数有一个25的倍数（多贡献1个5）。解题过程：5的倍数：50÷5=10（个）25的倍数：50÷25=2（个）因数5的总个数=10+2=12（个）末尾0的个数=12答：乘积末尾有12个连续的零。（二）周期问题33.一串彩灯按"红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿……"的规律排列，第100盏灯是什么颜色？（★★）解题思路：周期为4（红黄蓝绿），100÷4=25，整除说明第100盏是周期中的最后一盏。解题过程：周期长度=4100÷4=25（整除）余数为0，对应周期中第4个位置=绿色答：第100盏灯是绿色。34.2019年6月1日是星期六，2019年9月1日是星期几？（★★★）解题思路：先算6月1日到9月1日的天数，再除以7看余数。6月有30天、7月有31天、8月有31天。解题过程：6月剩余：30-1=29天，加上7月31天、8月31天，共29+31+31=91天91÷7=13（整除），说明9月1日与6月1日星期相同答：2019年9月1日是星期六。（三）最值问题35.用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数（每个数字只能用一次），要使这两个数的乘积最大，这两个数分别是多少？（★★★）解题思路：乘积最大的组合原则是：两个数的位数尽量平衡（三位数×两位数），且最高位放最大的数字。通过枚举比较，确定最优组合。解题过程：要使乘积最大，应组成三位数×两位数。最高位分别放5和4。逐一比较主要组合：521×43=22403531×42=22302431×52=22412421×53=22313432×51=22032继续比较发现431×52=22412较大，再尝试52×431=22412尝试521×43=22403，431×52=22412再尝试421×53=22313，521×43=22403继续：531×42=22302，431×52=22412尝试52×431=22412，53×421=22313尝试521×43=22403，431×52=22412再验证32×541=17312，明显更小最终确认431×52=22412为最大。答：这两个数分别是431和52。方法归纳：要使乘积最大，较大的数字放在高位，且两个因数的差尽量小（两个因数越接近，乘积越大）。（四）数字谜36.在下面的算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。求出A、B、C的值。ABC+ABC+ABC=888解题过程：ABC×3=888ABC=888÷3=296所以A=2，B=9，C=6。答：A=2，B=9，C=6。37.在下面的加法算式中，每个汉字代表一个不同的数字（0~9），求出每个汉字代表的数字。学习

+学习

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进步解题思路：两个两位数相加得到一个两位数，说明和小于100，且"学"只能取1~4（因为两个相同的数相加进位最多进1）。解题过程：设"学习"=10a+b，"进步"=10c+d2(10a+b)=10c+d，且结果仍是两位数因为两个相同的两位数相加，结果的十位可能是2a或2a+1（有进位时）逐个尝试：a=1时，2a=2或3；a=2时，2a=4或5；a=3时，2a=6或7；a=4时，2a=8或9试a=4，学习=4b，2×学习=8b+8或9b+8？取学习=45，2×45=90，进步=90，但"进"=9、"步"=0，与"学"=4不同，成立。验证：45+45=90✓答：学=4，习=5，进=9，步=0。（五）几何图形的面积38.如下图，在长方形ABCD中，AB=8厘米，BC=6厘米。E、F分别是AB和AD的中点，求阴影部分（三角形CEF）的面积。（★★★）解题思路：阴影部分面积=长方形面积-三个空白三角形面积之和。解题过程：长方形面积=8×6=48（平方厘米）三角形AEF面积=(8÷2)×(6÷2)÷2=4×3÷2=6（平方厘米）三角形BCE面积=8×(6÷2)÷2=8×3÷2=12（平方厘米）三角形CDF面积=(8÷2)×6÷2=4×6÷2=12（平方厘米）三个空白三角形面积和=6+12+12=30（平方厘米）阴影面积=48-30=18（平方厘米）答：阴影部分的面积是18平方厘米。39.一个直角梯形，上底是8厘米，下底是14厘米，高是6厘米。沿上底和下底的中点连线剪开，得到两个图形。这两个图形的面积分别是多少？（★★★）解题思路：中点连线即梯形中位线。中位线长度=(上底+下底)÷2=11厘米。剪开后得到两个梯形，面积相等（因为中位线平分梯形面积）。解题过程：梯形面积=(8+14)×6÷2=22×6÷2=66（平方厘米）中位线=(8+14)÷2=11（厘米）沿中位线剪开，上下两个梯形的高分别为3厘米上部分面积=(8+11)×3÷2=19×3÷2=28.5（平方厘米）下部分面积=(11+14)×3÷2=25×3÷2=37.5（平方厘米）验证：28.5+37.5=66✓答：两个图形的面积分别是28.5平方厘米和37.5平方厘米。（六）容斥原理40.五（2）班有45名学生，其中参加数学兴趣小组的有28人，参加语文兴趣小组的有22人，两个小组都参加的有10人。两个小组都没有参加的有多少人？（★★★）解题思路：参加兴趣小组的总人数=参加数学的+参加语文的-两个都参加的（重叠部分减一次）。解题过程：至少参加一个小组的人数=28+22-10=40（人）两个都没参加的人数=45-40=5（人）答：两个小组都没有参加的有5人。关键点拨：容斥原理的核心是"把重复计算的减掉"。两个集合的容斥公式：A∪B=A+B-A∩B。（七）抽屉原理41.有5个苹果放入4个抽屉，无论怎么放，总有一个抽屉里至少放几个苹果？（★★★）解题过程：5÷4=1……1，商为1，余数为1根据抽屉原理，至少有一个抽屉放1+1=2个苹果答：总有一个抽屉里至少放2个苹果。42.至少要从1~20中取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差是11？（★★★★）解题思路：把差为11的两个数配成一组：(1,12)、(2,13)、(3,14)……(9,20)，共9组，剩下10、11两个数不参与配对。最不利情况是每组取1个（9个），再把10和11也取走（2个），共11个。再多取1个就必然凑成一组。解题过程：差为11的配对：(1,12)、(2,13)、(3,14)、(4,15)、(5,16)、(6,17)、(7,18)、(8,19)、(9,20)，共9组剩余：10、11两个数最不利情况取9+2=11个数仍可能不出现差为11的数对再取1个即保证出现，11+1=12答：至少取出12个数。（八）裂项求和43.计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/(99×100)（★★★）解题思路：裂项相消。核心公式：1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)。中间项全部抵消，只剩首尾。解题过程：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/99-1/100)=1-1/100=99/100答：结果是99/100。44.计算：1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+……+1/(97×99)（★★★）解题思路：分母差为2的裂项：1/(n×(n+2))=1/2×(1/n-1/(n+2))。解题过程：原式=1/2×[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+……+(1/97-1/99)]=1/2×(1-1/99)=1/2×98/99=49/99答：结果是49/99。（九）逻辑推理45.甲、乙、丙三人中有一人做了好事。老师问是谁做的，甲说："是乙做的。"乙说："不是我做的。"丙说："不是我做的。"已知三人中只有一人说了真话，那么好事是谁做的？（★★★）解题思路：用假设法逐一验证。解题过程：假设甲做的好事：甲说"是乙做的"是假话；乙说"不是我做的"是真话；丙说"不是我做的"是真话。两真一假，不符合"只有一人说真话"，排除。假设乙做的好事：甲说"是乙做的"是真话；乙说"不是我做的"是假话；丙说"不是我做的"是真话。两真一假，排除。假设丙做的好事：甲说"是乙做的"是假话；乙说"不是我做的"是真话；丙说"不是我做的"是假话。一真两假，符合条件。答：好事是丙做的。（十）行程问题进阶46.甲、乙两人从相距600米的A、B两地同时出发相向而行。甲每分钟走70米，乙每分钟走50米。甲带了一只狗，狗每分钟跑200米。狗从甲出发开始，在甲、乙两人之间来回奔跑，直到两人相遇。狗一共跑了多少米？（★★★）解题思路：关键洞察——狗跑的时间=甲、乙相遇所需的时间。不需要分段计算狗来回跑的路程。解题过程：相遇时间=600÷(70+50)=600÷120=5（分钟）狗跑的距离=200×5=1000（米）答：狗一共跑了1000米。方法启示：此题的核心是"变中找不变"——狗来回跑的速度不变，总时间等于相遇时间。很多学生试图逐段计算狗的路线，反而把问题复杂化。47.一艘轮船从甲港开往乙港，顺水每小时行30千米，返回时逆水每小时行20千米。这艘轮船往返的平均速度是多少？（★★★）解题思路：平均速度=总路程÷总时间，不能简单地取(30+20)÷2=25。设甲乙两港距离为1（或任意方便计算的数，如60千米），分别求顺水和逆水时间。解题过程：设两港距离为60千米（30和20的最小公倍数）顺水时间=60÷30=2（小时）逆水时间=60÷20=3（小时）往返总路程=60×2=120（千米）总时间=2+3=5（小时）平均速度=120÷5=24（千米/小时）答：往返的平均速度是24千米/小时。易错提醒：求平均速度必须用"总路程÷总时间"，不能直接对两个速度求算术平均值。这是考试中最常见的错误之一。（十一）综合拓展48.有100个苹果，分给10个小朋友，每个小朋友分到的苹果数互不相同。分到苹果最多的小朋友至少能分到几个？（★★★）解题思路：要使最多者尽量少，则10个小朋友的苹果数应尽量接近。设10个小朋友分别分到1、2、3、……、10个，总和=55，离100还差45个。把这45个平均加到10个数上，每个加4余5，最大数为10+4+1=15。解题过程：1+2+3+……+10=55还差：100-55=45（个）45÷10=4余5每个数至少加4，还剩5个，从大到小分别再加1，即前5个数各加1最大数=10+4+1=15验证：15+14+13+12+11+10+9+8+7+6=105？不对，需要调整。重新验证：加完后10个数为15、14、13、12、11、9、8、7、6、5（前5个在基础上再+1），和为15+14+13+12+11+9+8+7+6+5=100✓答：分到苹果最多的小朋友至少能分到15个。49.一个数除以5余3，除以7余5，除以9余7。这个数最小是多少？（★★★）解题思路：观察发现，余数都比除数少2。即这个数加上2后，能同时被5、7、9整除。解题过程：设这个数为n，则n+2能同时被5、7、9整除5、7、9的最小公倍数=5×7×9=315（因为5、7、9两两互质）n+2=315，n=313验证：313÷5=62余3；313÷7=44余5；313÷9=34余7✓答：这个数最小是313。50.甲、乙两个仓库共有粮食720吨。甲仓库运走1/4，乙仓库运走1/5后，两个仓库剩余的粮食恰好相等。甲、乙两个仓库原来各有多少吨粮食？（★★★）解题思路：甲运走1/4后剩3/4，乙运走1/5后剩4/5。3/4×甲=4/5×乙，即甲:乙=4/5:3/4=16:15。解题过程：甲×3/4=乙×4/5甲:乙=4/5:3/4=16:15总份数=16+15=31甲=720×16/31=371.61……？不是整数，需检查。重新计算：720×16/31=11520/31≈371.61，不是整数，说明比例化简有误。重新化简：甲:乙=4/5÷3/4=4/5×4/3=16/15，即甲:乙=16:15720÷31=23.225……，不是整数，说明题目数据有问题。调整验证：设甲=16k，乙=15k，则16k+15k=720，31k=720，k=720/31≈23.23，不是整数。改用另一组数据：甲320吨、乙400吨，则甲剩320×3/4=240，乙剩400×4/5=320，不相等，排除。甲360吨、乙360吨，甲剩270，乙剩288，不相等。甲336吨、乙384吨，甲剩336×3/4=252，乙剩384×4/5=307.2，不相等。由3/4×甲=4/5×乙，得甲=16/15×乙，甲>乙，且甲+乙=720。乙×(1+16/15)=720，乙=720×15/31=348.39，仍非整数。调整题目条件：甲:乙=16:15时，甲=720×16/31≈371.6，说明720这个数据与比例不匹配。改用：甲、乙共有620吨时，甲=620×16/31=320（吨），乙=620×15/31=300（吨）。验证：甲剩320×3/4=240，乙剩300×4/5=240✓答：将题目总量调整为620吨时，甲仓原有320吨，乙仓原有300吨。原题720吨数据与条件不匹配，属题目数据瑕疵。三、综合练习（附答案）以下10道综合题混合了多种题型，难度逐步递进，适合作为单元测试或竞赛选拔的模拟练习。建议限时40分钟内完成。51.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。甲先做2天后，乙加入合作，还需要几天完成？（★★）解题过程：甲效率1/8，乙效率1/12，合作效率=1/8+1/12=5/24甲做2天完成：2×1/8=1/4剩余：1-1/4=3/4合作所需天数=3/4÷5/24=3/4×24/5=18/5=3.6（天）答：还需要3.6天完成。52.一个长方体鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米，水深4分米。放入一块假山石后，水面上升到4.5分米。假山石的体积是多少立方分米？（★★）解题过程：水面上升高度=4.5-4=0.5（分米）假山石体积=底面积×水面上升高度=8×5×0.5=20（立方分米）答：假山石的体积是20立方分米。53.学校图书室有科技书和故事书共630本，其中科技书占2/5。后来又买来一些科技书，这时科技书占总数的3/7。后来又买来多少本科技书？（★★★）解题过程：原来故事书=630×(1-2/5)=630×3/5=378（本）故事书数量不变，买来科技书后，故事书占总数的1-3/7=4/7买来后的总数=378÷4/7=378×7/4=661.5，不是整数，检查。原题数据需调整：630×3/5=378，378÷4/7=661.5，说明原数据有误。调整：设原有科技书252本（630×2/5），故事书378本。买来x本科技书后：(252+x)/(630+x)=3/77(252+x)=3(630+x)1764+7x=1890+3x4x=126，x=31.5，仍非整数。改用：原有总数700本，科技书占2/5即280本，故事书420本。(280+x)/(700+x)=3/7，7(280+x)=3(700+x)，1960+7x=2100+3x，4x=140，x=35。答：当原总数为700本时，后来又买来35本科技书。原题630本数据与条件不匹配。54.甲、乙两人从相距360米的两地同时出发，相向而行。甲每分钟走65米，乙每分钟走55米。两人从出发到第二次相遇（两人到达对方出发点后返回），共需多少分钟？（★★★）解题过程：第一次相遇合走1个全程=360米第二次相遇合走3个全程=360×3=1080米速度和=65+55=120（米/分钟）时间=1080÷120=9（分钟）答：共需9分钟。55.有浓度为20%的盐水300克，要使其浓度变为30%，需要蒸发掉多少克水？（★★★）解题过程：盐的质量=300×20%=60（克）——蒸发过程中盐的质量不变蒸发后盐水总质量=60÷30%=200（克）蒸发掉的水=300-200=100（克）答：需要蒸发掉100克水。56.五（3）班同学排队做操，每行12人或每行16人都正好排完（没有剩余），这个班的人数在40~50人之间。这个班有多少人？（★★）解题过程：12和16的最小公倍数=4848在40~50之间，符合条件。答：这个班有48人。57.一个数的小数点向左移动一位后，比原数小3.6。原来的数是多少？（★★★）解题过程：小数点向左移动一位，原数缩小10倍，即新数是原数的1/10原数-新数=3.6原数×(1-1/10)=3.6原数×9/10=3.6原数=3.6÷9/10=3.6×10/9=4答：原来的数是4。58.一个圆柱形水桶，底面直径20厘米，高30厘米，装了一半水。水的体积是多少立方厘米？（★★）解题过程：底面半径=20÷2=10（厘米）底面积=3.14×10²=314（平方厘米）水桶容积=314×30=9420（立方厘米）水的体积=9420÷2=4710（立方厘米）答：水的体积是4710立方厘米。59.甲、乙、丙三个数的平均数是45，甲:乙=3:4，乙:丙=2:5。三个数各是多少？（★★★）解题过程：甲:乙=3:4，乙:丙=2:5=4:10甲:乙:丙=3:4:10三数总和=45×3=135总份数=3+4+10=17甲=135×3/17=23.82，非整数，说明题目数据需调整。调整验证：当三数总和为85时（如平均数为85/3），甲=85×3/17=15，乙=85×4/17=20，丙=85×10/17=50。答：当三数平均数为85/3时，甲=15，乙=20，丙=50。原题平均数45与比例不匹配。60.学校买来一批图书，分给六年级2/5后，余下的按3:2分给五年级和四年级。已知五年级比四年级多分30本，这批图书一共有多少本？（★★★）解题过程：六年级分走后余下1-2/5=3/5余下的按3:2分，五年级占3/5，四年级占2/5五年级比四年级多：3/5-2/5=1/5（余下部分的1/5）余下部分的1/5=30本，余下部分=30×5=150（本）这批书总数=150÷3/5=150×5/3=250（本）验证：六年