2026-2027学年北京市某校高二数学上学期期中模拟试卷（人教B版）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京市某校高二数学上学期期中模拟试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A4,−2,0，若向量AB=3,6,−2，则点B的坐标是A.−7,−4,2 B.7,4,−2 C.−1,8,−2 D.1,−8,22.直线5x+4y+20=0在x轴上的截距是(

)A.−4 B.4 C.−4,0 D.4,03.已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y2=1的左、右焦点，点A.2 B.3 C.4 D.64.已知向量a=2,−1,3，b=−4,m,n，若a//bA.−4 B.4 C.−2 D.25.圆x2+y2−2x=0和圆A.1 B.2 C.3 D.46.设条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为−2”，则p是q的

(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若直线x+a+1y+a−2=0与直线2ax+4y+16=0互相平行，则a=(

)A.1 B.−2 C.1或−2 D.1或08.双曲线C的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若▵F2MNA.3 B.5 C.69.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=3,AD=2,AA′=3，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘A.22 B.43 C.22+2110.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与抛物线E：y2=2px(p>0)有相同的焦点F，椭圆C与抛物线EA.22

B.2−1

C.1−二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知点Mx,y到点F10,−2的距离减去它到点F20,2的距离之差是2，则点M12.抛物线y2=2px的焦点也是双曲线px2−2y213.光线通过点A(2,3)，在直线l:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1)，则反射光线所在直线方程为

．14.若椭圆x23+y2m215.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，若P是线段B1D①AC⊥BP；②直线AP与直线BD所成角的取值范围为π4③三棱锥P−A1BD中，点P到面A④过点P且平行于平面A1BD的平面被正方体ABCD−A⑤若点Q在四边形BCC1B1内(包括边界)运动，点F是棱BB1的中点，QD//平面A三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为4，N是

(1)求点C1到平面ABN(2)求二面角N−AB−B117.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求C的方程；(2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若MN=83，求18.(本小题12分)如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该隧道抛物线部分的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？19.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD,AD//BC，PA=AD=CD=2,BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F−AE−D的余弦值；(3)设点G在线段PB上，探究直线AG是否能在平面AEF内，若能，求出PGGB的值；若不能，说明理由．20.(本小题14分)

已知圆C：x2+y2−2x+4y−4=0，直线l的斜率为1，与圆交于A、B两点．

(1)若直线l经过圆C的圆心，求出直线的方程；

(2)当直线l平行移动的时候，求△CAB面积的最大值以及此时直线l的方程；

(3)是否存在直线l，使以线段AB21.(本小题15分)已知双曲线C：x2a2−y(1)求C的方程；(2)设双曲线C的两个焦点分别为F1、F2，M(x0,y0)为1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】y212.【答案】2

13.【答案】4x−5y+1=0

14.【答案】33或15.【答案】①④⑤

16.【答案】解：(1)取AB的中点O，A1B1的中点D，连接OC因为三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，所以OC⊥所以OD⊥平面ABC如图建立空间直角坐标系，则A(−2,0,0)，B(2,0,0)，C0,23,0，所以NC1=(0,0,2)，AN设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z)所以n⋅AN=2x+2所以点C1到平面ABN的距离d=

(2)因为平面ABB1A设二面角N−AB−B1的夹角为θ，显然二面角所以cosθ=m⋅nm即二面角N−AB−B1的夹角为

17.【答案】解：(1)由题可知ca=22所以C的方程为x2(2)设直线l：y=x+m，Mx由y=x+m,x24+yMN=解得m=±2，所以l的方程为

18.【答案】解：(1)由题意知，抛物线的顶点为原点O，对称轴为y轴，且开口向下，故设抛物线的方程为x2由图可知，隧道截面总宽度为10米，总高度为7米，长方形部分高度为2米，则抛物线部分的高度为7−2=5米.因为抛物线关于y轴对称，所以点C的横坐标为5，又因为点C在x轴下方5米处，所以点C的纵坐标为−5，即C5,−5将点C5,−5代入方程x2=−2py，得5所以该抛物线的方程为x2又因为隧道宽度为10米，所以x的取值范围是[−5,5]，故该隧道抛物线部分的方程为x2(2)因为行车道总宽度AB为7米，且关于y轴对称，所以车辆最外侧边缘的横坐标为x=3.5或x=−3.5．不妨取x=3.5，代入抛物线方程x2=−5y，得3.5此时，隧道顶部在x=3.5处距离地面的高度为H=7+y=7−2.45=4.55米.设通过隧道的车辆限制高度为h米，根据题意，要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，即H−h≥0.5，即4.55−h≥0.5，解得h≤4.05．故通过隧道的车辆限制高度为4.05米.

19.【答案】解：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥CD,AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD；(2)由(1)知CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∵PA=AD,DE=PE,∴AE⊥PD，CD∩PD=D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，EF⊂平面PCD，DE⊂平面PCD，∴AE⊥EF,AE⊥DE，且EF⊂平面AEF，DE⊂平面AED∴∠FED是二面角F−AE−D的平面角，如图在Rt▵PDC中，CD=2,PD=2又PE=2,PF=∴PE2=E在▵PEF中，cos∠PEF=3即二面角F−AE−D的余弦值−(3)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A0,0,0，E0,1,1，P0,0,2∵PFPC=13∴AE⇀=0,1,1，AF⇀则n⋅AE⇀=y+z=0n设点G在线段PB上，令PG=λPB(0≤λ≤1)

，即又AG=(2λ,−λ,2−2λ)∴AG⋅n故存在满足条件的点G，直线AG能在平面AEF内，∴PG故直线AG能在平面AEF内，且PGGB

20.【答案】解：(1)圆C的标准方程为：(x−1)2+(y+2)2=9，所以圆心C(1,−2)，半径为3；

又直线斜率为1，所以直线l的方程为y+2=x−1，即x−y−3=0.…(3分)

(2)设直线l的方程为：y=x+m，圆心C到直线l的距离为d，则|AB|=29−d2，

S△CAB=12×29−d2×d=−(d2−92)2+814≤92，

当且仅当d2=92，d=322时取等号，由d=|1−(−2)+m|2=322，得m=0或m=−6，

所以直线