安徽省淮南市2026届高三一模数学试题（含答案）

安徽省淮南市2026届高三一模数学试题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数的共轭复数为（）A.B.C.D.3.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为,声强为时的声强级为，则等于（）A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，，则向量在向量上得投影向量的坐标为（）A.B.C.D.6.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点.若，则的离心率为（）A.B.C.D.7.已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（）A.B.C.D.8.2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7为学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务.现将7为学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.某软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（）A.B.每增加1个月份，月利润约提高2.8万元C.10月份的利润约为36.4万元D.5月份利润的残差为0.2万元10.在中，，，，在线段上，且，则（）A.B.C.D.11.已知正三棱柱的外接球球心为，,点满足，，.则下列结论正确的是（）A.球的表面积为B.当时，的取值范围为C.当时，不存在点，使得平面D.当时，设点在直线上运动，则线段长度的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为，，，则.13.已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为.14.已知，若函数的图象存在对称中心，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的最大值为1，为常数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）求使成立的的取值集合.16.（15分）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面.（1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明；（2）若平面平面，，，，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.17.（15分）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.设次传球后球在乙手中的概率为.（1）求，；（2）求；（3）求.18.（17分）已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设.（ⅰ）证明：存在唯一极小值；（ⅱ）设的极小值点为，证明：.19.（17分）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求的方程；（2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点.（ⅰ）证明：以为直径的圆过点；（ⅱ）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线交于点，试判断的形状，并给出证明.答案解析一、选择题1.D解析：∵，又，∴.2.B解析：∵，∴复数的共轭复数为.3.A解析：若“”，则，∴，反之，亦成立∴“”是“”的充分必要条件.4.C解析：由题意可知，∴，∴.5.A解析：，∴.6.C解析：椭圆右焦点，上顶点，设.由得，∴，，即.代入椭圆方程得，整理得，即，∵，∴.7.B解析：由,可得，即，∵，则，令，则，∵在单调递增，在单调递减，∴在单调递增，∴，∴，令，当时，得到最小值，∴，∴的最大值为，即的最小值为，∴取得最小值3.8.A解析：由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；甲乙同组且丙丁同组的概率为.二、选择题9.AD解析：依题意，，，将代入种，解得，故A正确；可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误；将代入中，得到，故C错误；将代入中，得到，则所求残差为，故D正确.10.ACD解析：由正弦定理，得,∴，故A正确；∵，∴.由，得，即，∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴.∴，∴.∴，故B错误；由，得，∴，，∴.由正弦定理，得.∵，∴，∴.∴，故C正确；中，由余弦定理得：.∴，故D正确.11.ABD解析：如图，分别作的中点，连接，分别作的中点，连接，分别作靠近的三等分点，连接交于，则两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，∴，，，对于A，∵，∴即为正三棱柱的外接球球心，半径为，∴球的表面积为，故A正确；对于B，如图，分别作的中点，连接，则，当时，点在上，将平面与平面展开使其共面，则当三点共线时，最短，最小值为，当点与重合时，最长，最大值为，∴当时，的取值范围为，故B正确；对于C，如图，作的中点，连接，则，当时，点在上，连接，则，∴，由，整理可得，∴，符合题意，即点与点重合时，，又，,平面，∴平面，∴C错误；对于D，如图，连接，则，，，当时，，此时三点共线，∴的最小值为点到平面的距离，设平面的一个法向量为，则，取，则，，∴.∴点到平面的距离为：，即线段长度的最小值为，故D正确.三、填空题12.1100解析：设数列的公差为，则，，联立解得，，∴，，∴.13.8解析：抛物线焦点，准线方程，如图，过点作于点，由抛物线定义可知，由圆的性质，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，设点到直线的距离为，则，当且仅当时等号成立，∴，故的最小值为8.14.4解析：由题可知，，令，解得或，由题可知，，∴的定义域为或，∵函数的图象存在对称中心，∴对称中心横坐标为区间中点，∵，即，∴函数的图象的对称中心为，则，，，∵，∴，∵，∴对于定义域内任意都成立，∴，即.四、解答题15.解：（1）函数，∵的最大值为1，∴，解得，∴.令，解得：，又∵，则取交集，∴在的单调递增区间为.（2）∵，即，可得：.∴，解得：，∴成立的的取值集合为.16.解：（1）.证明：∵点分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面平面，平面，∴.（2）∵，点为的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，∴，又，则，，，设平面的法向量为，则，不妨设，解得.由（1）知，设,得，∴.设直线与平面所成角为，则，得或，∴线段的长度为或.17.解：（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，，当时，，当时，.（2）由，即，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（3）由（2）知，令，∴，则，两式相减得，∴.∴.18.解：（1）∵，∴，∵函数在点处的切线方程为，∴切线的斜率为，且当时，.∴，∴，.（2）（ⅰ）∵，其定义域为，∴.令，得或，设，∴在上恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一，使，故时，，，，单调递减，时，，，，单调递增，时，，，，单调递减，∴是函数的唯一极小值点，∴存在唯一极小值点.（ⅱ）∵的极小值点为，∴.又，且在上单调递增，∴，又，两边取自然对数得，即，即.∴，设，则在上恒成立，故在上单调递减，故，即.综上所述：.19