福建省宁德市三校2026届高三1月联考数学试题（含答案）

福建省宁德市三校2026届高三1月联考数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.B.C.D.2.已知非零向量，则“与共线”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若点不在圆的内部，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（）A.B.C.D.6.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.函数图象可由的图象向左平移个三位得到B.函数图象的对称中心为C.函数图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增7.数列满足，则数列的前9项和为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，圆为的外接圆，直线与圆切于点，点在圆上，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.若正数均不为1，则下列不等式中与“”不等价的是（）A.B.C.D.10.已知的三个角所对的三边分别为，，，设的中点为，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.不可能是等腰三角形C.面积的最大值为D.周长的最小值为411.已知函数，则（）A.当时，函数恰有1个零点B.当时，函数恰有2个极值点C.当时，函数恰有2个零点D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.对于任意不等于1的正数，函数的图象都经过一个定点，这个定点的坐标是.13.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为3:5，则.14.棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小值；（2）设，，求和的值.16.(15分)已知正方体的棱长为2，是空间中的一点.（1）证明：直线平面；（2）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由.17.（15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.（1）求证：数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（17分）已知椭圆的离心率，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，（ⅰ）若直线的斜率为1，求；（ⅱ）若点，判断与的大小，并证明你的结论.19.（17分）若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设.（1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若时，函数的最大值为0，求的取值范围；（3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程.参考答案一､选择题1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.C二､选择题9.ABD10.AC11.ABD三、填空题12.13.2014.四、解答题15.解：（1）由已知及正弦定理可得,∵，∴，∴,即，整理得，∴，∵，∴.（2）根据余弦定理，将，，代入解得：，∴.根据正弦定理有：，解得.又∵，∴，则，可求得：，，则.16.解：（1）在正方体中，∵平面,平面,∴又∵，，平面，∴平面.（2）如图，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则.设点，平面的一个法向量为，，则，取，得，∴平面的一个法向量为.平面的一个法向量为，，则，其，，得，∴平面的一个法向量为.∵平面平面，∴，得，故点的轨迹为抛物线.17.解：（1）∵数列为等差数列，设公差为，由题意：，∴，∴.∵，∴，即，又，∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.（2）∵，，∴.18.解：（1）∵离心率，∴，又，∴，①∵点在椭圆上，∴，②由①②联立解得：，，∴椭圆的方程为：.（2）（ⅰ）由题意可知直线的方程为：，联立，整理可得，解得，，即.（ⅱ）结论是：.当斜率等于0时，直线为，此时，，即；当斜率不等于0时，设直线，，联立，整理得：，，∴，，，故，即点在以为直径的圆内，故.综上所述：.19.解：（1）不存在∵，∴，∴，即在上单调递增，∴不存在且时，，∴函数不存在“自公切线”.（2）∵，∴，，当时，∵，与题意矛盾，∴；当时，，∴在递减，即；当时，，使得在区间上，即在上递增，即，与题