河南省TOP二十名校2026-2027学年高二上学期十月调研考试数学（人教版）试卷（含答案）

2027届高二年级TOP二十名校十月调研考试数学试题(B卷)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.考试范围:人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第3节。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线4x- A．54 B．45 C．-452.点P(2,-3,-4)关于平面Oxy A．(2,-3,4) B．(2,-3,-4) C．(-2,3,-4) D．(-2,3,4)3.已知向量a=(2,3m-1,2n+3),b=(-1,-2,3),若 A．-4 B．-2 C．2 D4.已知点A(1,0,-2),B(3,1,0),若平面α的一个法向量n=(0,-2,1),则直线AB与平面 A．AB//α B． C．AB⊂α D．AB//α或5.直线ax+y- A．(2,1) B．(1,2) C．(2,-1) D．(-1,2)6.已知A(0,0,0),B(1,2,0),C(0,1,3),D(2,1,a) A．9 B．32 C．12 D7.在平面直角坐标系中,已知点(a,b)是线段x-2y=0(-2 A．[-1,2] B．[-2,1] C．(-∞,-1]∪[2,+∞) D．(-∞,-2]∪[1,+∞)8.设点A(1,2),点B是y轴上的动点,点C是直线x-y-1=0上的动点, A．25 B．5 C．26 D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知直线l1//l2,且直线l1与l2间的距离为52,若直线l1的方程为 A．x+y-9=0 C．x+y-11=010.已知O为坐标原点,过点M(-1,1)的直线l与坐标轴交于A,B两点,若△AOB的面积为2,则直线l在 A．2+22 B．2-22 C．-2 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点P满足 A．若λ=μ,ν B．若λ=0,μ=ν=1,则 C．平面ABP与平面ABC夹角的大小与λ,μ D．若λ+μ+ν=12,则点P三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知直线l经过A(-3,2),B(1,6)两点,则直线l13.已知A(x1,y1),B(x2,y2)14.如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=A1A=23,AB=43,P,Q分别是AB,AC四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知直线m:x+3y-1=0,直线(1)若m⊥n,求直线n(2)若直线n在两坐标轴上的截距相等,求直线n的方程．16.(本小题满分15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AC=4,AB=AA1=6(1)证明:直线EF//平面AA(2)求平面ABC与平面EFC117.(本小题满分15分)如图,M,N分别是三棱锥O-ABC的棱OA,BC的中点,Q是线段MN上一点且MQ=14MN,记(1)用a,b,c表示AC,(2)若|a|=|b|=1,|c|=2,∠AOB=∠BOC=π2,∠AOC=π318.(本小题满分17分)在△ABC中,B(4,3),边BC上的中线所在直线的方程为l1:x-2y+7=0,边(1)点A的坐标；(2)边AC所在直线的方程；(3)△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程．19.(本小题满分17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=BC=2,AD⊥CD,AB⊥BC,PA⊥平面(1)证明:平面PAB⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P-ABCD(3)若△PBC的面积为1,求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值平方的最小值．

1.B因为直线方程为4x-5y+19=0,即y=42.A关于平面Oxy对称的两点的x轴,y轴坐标相同,z轴坐标互为相反数,所以点P(2,-3,-4)关于平面Oxy对称的点是(2,-3,4)．故选A3.A因为a//b,所以a=λb,即2=-λ,3m-1=-2λ,2n+3=3λ,解得4.D因为AB=(2,1,2),所以AB⋅n=(2,1,2)⋅(0,-2,1)=0,所以AB//α或5.B直线可化为a(x-1)+(y-2)=0,若直线过定点,则x-1=0,y-6.DAB=(1,2,0),AC=(0,1,3),AD=(2,1,a),因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数x,y,使得AD=x7.C当x=-2时,y=-1,当x=2时,y=1,所以线段x-2y=0(-2⩽x⩽2)的最左端是A(-2,-1),最右端是B(2,1),b+3a表示点(a,b)与点(0,-3)连线的斜率,当点(a,b)在点A处时,8.A如图,作点A关于y轴的对称点A1,关于直线x-y-1=0的对称点A2,易得A1的坐标为(-1,2),设点A2的坐标为(a,b),则b-2a-1×1=-1,a+12-b+22-1=0,解得a9.BC因为l1//l2,设直线l2的方程为x+y+λ=0,根据题意得|λ+1|2=52,解得λ=9或10.ABC由题意直线l显然不过原点,所以不妨设直线l的方程为xa+yb=1,其中a,b分别为l在x轴,y轴上的截距,A(a,0),B(0,b),又点M(-1,1)在直线l上,所以-1a+1b=1,又△AOB的面积为2,所以12|ab|=2,即b=4a或b=-4a．当b=4a时,11.ABD如图,以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),可得AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1),则AP=λAB+μAD+νAA1=(λ,μ,ν),即P(λ,μ,ν)．对于A,若λ=μ,ν=0,即P(μ,μ,0),则B1D=(-1,1,-1),D1P=(μ,μ-1,-1),因为B1D⋅D1P=-μ+(μ-1)+1=0,所以B1D⊥D1P,故A正确；对于B,P(0,1,1),CP=(-1,0,1),又BA1=(-1,0,1)=CP,所以BA1//CP,又BA1⊂平面A1BD,CP⊄平面A1BD,所以CP//平面A1BD,故B正确；对于C,设平面PAB的法向量n1=(a,b,c),则n1⋅AB=a=0,n1⋅AP=aλ+bμ+cν=0,令b=ν12.π4(或45°)由直线l经过A(-3,2),B(1,6)两点,得直线l的斜率k=6-21-(-3)=1,设直线l的倾斜角为α(0⩽13.13因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y14.24π如图,延长AA1,BB1,CC1交于点T,过点T作TO⊥平面ABC,垂足为O,连接OA,过O作Oy//BC,以O为坐标原点,OA,Oy,OT所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,在正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=A1A=23,AB=43,则A(4,0,0),B(-2,-23,0),C(-2,23,0),设上底面A1B1C1的中心为O1,在直角梯形AOO1A1中,AO=4,A1O1=12AO=2,A1A=23,所以O1O=12-(4-2)2=22,即O1(0,0,22),又O1A115.解:(1)因为m⊥n,所以可设直线n的方程为3x-因为直线n经过点P(-1,-1),所以3×(-1)+1+λ=0,解得λ=2． 5

所以直线n的方程为3x-y+2=0(2)已知直线n在两坐标轴上的截距相等,若直线n过原点,设直线n的方程为y=kx, 7

因为直线n经过点P(-1,-1),所以k=1,此时直线n的方程为y=x,即x-y若直线n不过原点,设直线n的方程为xa+ya因为直线n经过点P(-1,-1),所以-1a+-1a=1此时直线n的方程为x-2+y-2=1,综上所述,直线n的方程为x-y=0或x+16.(1)证明:连接A1因为E,F分别是BC,A1B的中点,所以又EF⊄平面AA1C1C,A1C⊂平面AA1C(2)解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,又AB,AC⊂平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两垂直,故以A为原点因为AC=4,AB=AA1=6,所以B(6,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,6),C1(0,4,6),又E,F分别是因为AA1⊥平面ABC,所以AA1=(0,0,6)是平面ABCEF=(0,-2,3),EC1=(-3,2,6),设平面EFC1的法向量为m=(x,y,z),则m⋅EF所以m=(6,3,2)是平面EFC1的一个法向量．设平面ABC与平面EFC1的夹角为则cosθ即平面ABC与平面EFC1夹角的余弦值为27．17.解:(1)AC=OC-OAMN=ON-OMOQ=OM+MQ(2)由题意,得a⋅b=1×1×cosπ2=0,b|AC|=|-a+|OQ|=38AC⋅OQ=(-a设异面直线AC与OQ所成角为θ,则cosθ即异面直线AC与OQ所成角的余弦值为1510． 15

18.解:(1)设A(因为边BC上的中线所在直线l1:x-2y+7=0经过点A,因为边AB上的高所在直线的方程为l2:3x-y-9=0,所以又kAB=y1-3x1-4,所以由x1-2y1+7=0,x1+3y1-13=0,得(2)设C(x2,y2),因为边AB上的高所在直线l2:3x-y因为边BC上的中线所在直线的方程为l1所以边BC的中点4+x22,3+y22在所以x2-2y由3x2-y2-9=0,x2-2y2+12=0,得因为边AC所在直线的斜率kAC所以边AC所在直线的方程为y-4=1×(x-1),即(3)因为边AB所在直线的斜率kAB所以边AB所在直线的方程为y-3=-13(x-4)因为l2:3x-y-9=0过B,C两点,所以边设P(x0,y0)由角平分线的性质可得P到边AB所在直线,边BC所在直线的距离相等,即|x0+3y所以x0-2y0+2=0或因为∠ABC的角平分线应该与边AC(不含端点)有交点,所以∠ABC的角平分线所在直线的斜率k∈-∞,-13∪(3,+∞),所以x0所以△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程为2x+y-19.(1)证明:因为PA⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,所以PA⊥BC． 1

分又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB． 3

又BC⊂平面ABCD,故平面PAB⊥平面ABCD． 4

分(2)解:如图,在△PAB中,作PH⊥AB,垂足为H,连接AC,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PH⊂平面PAB,所以PH⊥平面ABCD, 5

分因为PA⊥平面PBC,PB⊂平面PBC,所以PB⊥PA,所以PA2+PB2=AB2=4因为S△PAB=12PB×PA=12AB×PH因为AD⊥CD,所以AD因为AD2+CD2⩾2AD⋅CD,所以S△ACD=12又S△ABC=12×AB×BC=12所以四棱锥P-ABCD的体积即四棱锥P-ABCD体积的最大值为43．(3)解:取AB的中点N,以N为原点,NA为x轴,过点N且平行于BC的直线为y轴,过点N且平行于PH的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,由(1)知BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB因为S△PBC=12P