模型21对称模型

模型21、对称模型

【模型概述】

对称法作为种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考套，但是在每年的高考命题中都有所渗透和

体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为种重要的物理思想和方法，相信

在今后的高考命题中必将有所体现。

【模型解题】

在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准

确地解决问题。

对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律

在某种变换卜.具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。

如，•个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间.上的反演，就能看

作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处

理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。具体如:竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。沿着光

滑斜面上滑的物体运动等具有对称性等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一

种科学的思维方法。

利用对称法解题的思路:①领会物理情景，选取研究对象;②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、

设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某过

程或某一状态;③透析研究对象的属性、运动特点及规律;④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性特

点，依物理规律，对题目求解。

【模型训练】

【例1】（多选）如图所示，立方体A4CQ-EAG"的四个顶点A、C、F、〃处各固定着一个电荷量均为

。的正点电荷，M为AC连线的中点，N为C”连线的中点。下列说法正确的是（）

A.B、力两点处的电势相同B.M.N两点处的电势相同

C.B、。两点处的电场强度相同D.M、N两点处的电场强度相同

【答案】AB

【详解】AC.设正方体中心为0,根据几何关系可知三角形和AC/为全等的等边三角形。设4、C、

，在。点产生的电场强度为日，范势为e”A、C、尸在B点处产生的电场强度为反，电势为偿。根据对

称性可知如等于僧，石/沿方向，及沿08方向。而尸在。点产生的电场强度方向沿0。方向，H在B

点产生的电场强度沿04方向，根据对称性以及电场的叠加口J知以。两点电场强度大小相同、方向不同。

而尸在。点产生的电势与“在3点产生的电势相等，则根据电势的叠加可知8、。两点电势相等，故A正

确，C错误；

BD.根据对称性可知A、C两点在M产生的合场强为零，F、H两点在M产生的合场强沿0M方向；H、C

两点在N产生的合场强为零，A、尸在N产生的合场强沿ON方向，根据对称性以及电场的叠加可知M、N

两点电场强度大小相同、方向不同。而人、。在M产生的电势与〃、。在N产生的电势相等，H、F在M

产牛的电势又与4、F在N产牛的电势相等,根据电势的叠加可知M、N两点电势相等，故B正确.D错

误。

故选ABo

变式1.1（多选）如图所示，真空中有一边长为a的正立方体，在图中A、C、尸三个顶点放上电荷量相等

的负点电荷q，已知静电力常量为k,设无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（）

A.A处点电荷受到另两个点电荷对其作用力的合力大小为息幺

2a2

B.B点处的电场强度的大小为驾

a-

C.D、E、G三点电势相等

D.将一电子先后置于月点和B点，电子在H点的电势能小于其在8点的电势能

【答案】ACD

【详解】A.A、C、F三点形成了一个等边三角形，有

故A正确：

B.B点处的电场强度是由三个点电荷各自产生的电场强度叠加而成的，合电场强度为型，故B错误；

cr

C.D、E、G三点在电场中相对A、C、F三点的位置相同，故电势相等，故C正确；

D.H点到三个固定负点电荷的距离大于B点到三个固定负点电荷的距离，所以外＞外,根据/得

到4”＜后冲，故D正确；

故选ACDo

变式1.2如图所示，正方体的顶点A、。处有带电量为一^（^＞0）的点电荷，B、。处有带电

量为”的点电荷，。点为正方体的中心，取无穷远处电势为0,则下列说法正确的是（）

A.。点的电势为0

B.。点场强为0

C./V与C点场强大小、电势均相同

D./V与C点场强大小、电势均不相同

【答案】A

【详解】AB.。点既位于AB的垂直平分面上，也位于C7T的垂直平分面上，若取无穷远处电势为0,则等

量异种电荷连线的垂直平分面上电势为0,所以。点的电势为0;等量异种电荷连线的垂直平分面上各点的

电场强度方向平行于两电荷连线并指向负电荷一侧，所以A、8两点的点电荷在。点产生的合电场强度EO/

方向平行于A/3且指向山面，且C，、。'两点的点电荷在O点产生的合电场强度EQ方向平行于C7T也

指向AQO'A'而，即£。/和EO?方向相同,所以。点场强不为0,故A正确，B错误：

CD.因为4到A和。的距离大于其到8和C的距离，所以4点电势为负，同理可知。点电势为正，所以

A与C点电势不同；根据对称性可知，4和。'处点电荷在产生的合电场强度E4。与B和。处点电荷在C

产生的合电场强度EG相同，而A和。，处点电荷在C产生的合电场强度EC2与B和。处点电荷在4产生的

合电场强度"'2相同，根据平行四边形法则可知以'/和胡’2的矢量和与和EC2的矢量和相同，所以

A'与C点场强相同，故CD错误。

故选A。

【例2】如图所示，在。、小两点固定着两个带等量异种电荷的点电荷，c、d两点将〃、两点的连线三等

分，则（）

A.c、d两点的电场强度大小相等，方向相反

B.c、d两点的电场强度大小用等，方向相同

C.从c点到d点，电场强度先增大后减小

D.从c点到d点，电势先降低后升高

【答案】B

【详解】AB.带等量异种电荷连线的中点，c、d两点将〃、人两点的连线三等分，所以c与〃关于连线的

中点对称，所以关于连线的中点对称的两点c与d的场强等大同向，故A错误，B正确；

C.根据等量异种电荷电场线的分布，电场线密的地方场强大，反之电场线疏的地方场强小，所以在两点电

荷连线上中点处场强最小，两边依次增大。所以从c到d点场强先变小后变大，故C错误；

D.根据等量异种电荷电场线的分布可知，电场线由。指向从电势越来越低，连线中点处的电势为0,d

点电势为负，所以c点到d点电势一直减小，故D错误；

故选B。

变式2.1如图所示，M、N两点处分别固定有两个等量正点电荷，O点为MN连线中点，点八点。为MN

连线上到O点距离相等的两点，点c、点d为MN连线的中垂线上到O点距离相等的两点。下列说法中正

确的是（）

A.c点和d点处的电场强度相同

B.8点比。点电势高

C.b、C两点间电势差Ube等于4、〃两点间电势差Uda

D.把一个不计重力的带负电的微粒从d点由静止弹放，它将沿八方向运动到无穷远处

【答案】B

【详解】A.根据等最同种电荷的电场分布可知，c・点和"点的电场强度人•小相等方向相反，A错误：

B.沿电场线方向电势降低可知，匕点电势比。点电势高。B正确；

C.由对称性可知。、b两点的电势相等，。、d两点的电势相等，所以4=U“，Uhe=-Uda.C错误；

D.在等量同种电荷连线的中垂线上，0点的电场强度为零，电场强度方向由0指向d和由。指向J带负

电微粒从"点由静止释放，则在电场力作用下向。点加速运动，过。点后做减速运动，到达c点，速度为零，

然后向0点加速运动，由于对称性，带负电微粒将会在。点上下两侧de之间往复运动，D错误。

故选B。

变式2.2如图所示，以两等量同种点电荷连线的中点。为圆心面圆，在圆上有b、c、d四点，b、d两

点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（）

A.。点的电场强度大于c点的电场强度

B.b、d两点的电场强度大小相等、方向相同

C.负电荷在。点的电势能大于在c点的电势能

D.将正电荷山方点沿直线移到4点，其受到的电场力先做负功后做正功

【答案】D

【详解】A.〃、c两点关于0点对称，根据场强的叠加法则可知，〃、c两点的电场强度大小相等，方向相

反，故A错误；

B.b、d两点关于。点对称，根据场强的叠加法则可知，加d两点的电场强度大小相等，方.向相反，故B

错误；

C.根据点电荷电势表达式可知

可知a、c两点电势大小相等；根据电势能表达式

可知电荷在。点的电势能等于在c点的电势能，故C错误；

D.8点合场强方向向上，d点合场强方向向下，正电荷受到的电场力先做负功后做正功，故D正确。

故选D。

【例3】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心0处产生的场强大小为E,把细线分成等长的圆弧A3、BC、

CD,则圆弧8C在圆心O处产生的场强大小为（)

FFF

A.EB.-C.-D.-

234

【答案】B

【详解】如图所示，8、C两点把半圆环等分为三段。设每段在。点产生的电场强度大小均为

A8段和。。段在O处产生的场强夹角为120。，它们的合场强大小为则O点的合场强

则

故圆弧8C在圆心。处产生的场强为会，ACD错误，B正确。

故选B。

变式3.1如图所示，正电荷^均匀分布在半球面4c5上，球面半径为R,C。为通过半球顶点C和球心O

的轴线.P、M为CZ）轴线上的两点，距球心。的距离均为与，在M右侧轴线上0,点固定正点电荷。，点

O'、M间距离为兄已知产点的场强为零，若带电均匀的封闭球光内部电场强度处处为零，则M点的场强

为

A.0

B•静。・养D竿一条

【答案】C

【详解】根据P点的场强为零，得半球面对P点场强和点电荷。对〃场强等大反向，即半球面对尸点场强

大小为

E*

「4R?'

方向向右；现只研究半球面，若补全右半球面.，根据带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，补全右

半球面后，正电球面在P、M两点产生的电场强度均为零，由于对称性，左半球面对"点场强和右半球面

对M点场强等大反向，左半球面P点场强和右半球面对M点场强等大反向，，即左半球面对M点场强为：

E3

方向向右，点电荷Q对M点场强为

入丝

3R2，

方向向左，叠加得M点合场强为

„kQkQ3kQ

&=不一帮=市’

方向向左，故C正确，ABD错误。

故选Co

变式3.2如图所示，在竖直平面内固定个半径为R的绝缘圆环，有两个可视为点电荷的相同的带负电的小

球A和B套在圆环上，其中小球A可沿圆环无摩擦的滑动，小球B固定在圆环上和圆心O的连线与水平

方向的夹角为45。.现将小球A由静止释放，则下列说法中正确的有（）

A.小球A运动到圆环最低点Q的过程中电势能先增大后减小

B.小球A速度最大处位于。点的左端

C.小球A恰好可以运动到。点

D.小球到达圆环最低点Q时的速度大小为

【答案】D

【详解】A.小球A、B均带负电，则根据点电荷的特点可知，B固定，当A、B距离缩短时，电场力做负

功，电势能增大，反之减小，由图可知，小球A运动到圆环最低点Q点的过程中，与B电荷的距离先增大

后减小，则电势能先减小后增大，故A错误；

B.延长80交圆周与。点，作图如下

小球在下降过程中，当小球A、B距离增大时，即AC段，电场力做正功，重力做正功，速度增大，CQ段，

小球A、B距离减小，电场力做负功，重力做正功，PQ段，小球A、B距离减小，电场力做负功，重力做

负功，小球速度减小，则可知小球速度最大处不位于Q左边，故B错误；

C.小球在A、P两点相比，重力势能相同，但P点与B球距离更小，则4到尸过程电场力做负功，电势能

增大，则需要有外力做功才能到达P点，故C错误：

D.由图几何关系可知，A、。两点与B小球距高相同，则电势能相等，则A到。过程中动能增加量等于重

力势能减少量，可得

解得

故D正确。

故选D。

【例4】已知直导线中电流在周围空间产生的磁感应强度大小为8=2,，左为常量，/为电流强度，，•为到导

r

线的距离。b、C、d三根长通电直导线垂直于纸面放置，电流方向如图所示，4C垂直于加且曲二4#b、

c、"三根导线中电流强度分别为/、人2/o已知导线c•在〃点的磁感应强度大小为B,则〃点处的合磁感应

强度大小为（）

A.MBB.38C.2及8D.才iB

【答案】A

【详解】由于直导线c在。点处的磁感应强度大小为8,又因为b、c、d三根导线中电流强度分别为/、/、

21,Wab=ad=ac,所以宣导线b在〃点的磁感应强度大小也等于丛而直导线〃在a点的磁感应强度大

小等于24,根据安培定则可判断方向如下图所示

力和〃直导线在。点产生的磁感应强度方向向左，合成后大小为3B,。直导线在。点产生的磁感应强度方向

向下，大小为从根据平行四功形法则，可知。点的磁感应强度大小为

故BCD错误，A正确。

故选Ao

变式4.1如图所示，〃、氏c为三根与纸面垂直的固定长直导线，其截面位于等边三角形的三个顶点上，be

连线沿水平方向，导线中通有恒定电流，且乙=4=24,电流方向如图中所示。。点为三角形的中心（O

点到三个顶点的距离相等），其中通电导线c在。点产生的磁场的磁感应强度的大小为从，已知通电氏直

导线在周围空间某点产生磁场的磁感应强度的大小B=-,其中I为通中导线的中流强度，〃为该点到通中

r

导线的垂直距离，女为常数，则下列说法正确的是（）

A.0点处的磁感应强度的大小为3坳

B.0点处的磁感应强度的大小为54

C.质子垂直纸面向里通过0点时所受洛伦兹力的方向由0点指向c

D.电子垂直纸面向里通过。点时所受洛伦兹力的方向垂直Oc连线向下

【答案】A

【详解】AB.根据右手螺旋定则，通电导线。在。点处产生的磁场平行于凯•指向左方，通电导线〃在。点

bl

处产生的磁场平行于双指向右下方，通电导线。在。点处产生的磁场平行于M指向左下方;根据公式8=条

可得

根据平行四边形定则，则。点的合场强的方向平行于"指向左下方.，大小为3%,故A正确，B错误；

C.根据左手定则，质子垂直纸面向里通过。点时所受洛伦兹力的方向垂直M连线由。点指向0,故C错

误；

D.根据左手定则，电子垂直纸面向里通过0点时所受洛伦兹力的方向垂直时连线由。点指向故D错

误；

故选Ao

变式4.2如图所示，直线电流P和Q大小相等，处于磁感应强度大小为方向平行于纸面的匀强磁场中，

P的方向垂直纸面向里：。的方向垂直纸面向外，两电流在纸面上的位置和M点恰好组成等边三角形，M

点的磁感应强度为零。若仅把电沆Q撤掉，则M点的磁感应强度变为（）

A.大小为&,方向与PM延长线成30。角

B.大小为许,方向与PQ平行

C.大小为白坳，方向沿PM延长线

D.大小为行瓦,方向与PQ平行

【答案】A

【详解】设两导线在M点处的磁感应强度大小为B。。当P导线中方向向里，Q导线中方向向外时，根据安

培定则知两导线在M点处的磁感应强度方向夹角为120。，合磁感应强度&=综.如图所示：

因为M点处的磁感应强度为零，则*=8°,可得，BP=M若仅把电流。撤掉，则M点的磁感应强度大小

为BP=B〃，方向与PM垂直向右下方，如图所示:

结合矢量的合成法则，则M点的合磁感应强度为a,方向与PM延长线成30。角，A正确，BCD错误。

故选Ao

【例5】如图所示，在x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为从磁场方向垂直xQv平面向里.现有大

量质量为加、带电量为+g的粒子，以相同的速率□沿xQy平面从O点射入第一象限，不计重力，不计粒

mv

子间的相互影响.若图中的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=r，则下列选项中正确的是

【答案】D

【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动,以K轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后在离开，速度u与x

mv

轴的夹角相同，根据R=7,知沿X轴正轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期,

如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方.

A.图像与分析不符，故A错误.

B.图像与分析不符，故B错误.

C.图像与分析不符，故C错误.

D.图像与分析相符，故D正确.

变式5.1如图所示，水平虚线上方有匀强磁场,磁场方向垂直干纸而向里.大量带正电的相同粒子.

以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向，由小孔。射入磁场区域，做半径为

R的圆周运动.不计粒子重力和粒子间相互作用.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正

确的是

【答案】B

【详解】由小孔O射入磁场区域，做半径为R的圆周运动，因为粒子带正电，根据左手定则可知粒子将向

左偏转，故C错误；因为粒子以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90。范围内的各个方向发射,

由0点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界且ON=R；在竖直方向上有最远点为2R,由。点竖直向上

射入的粒子，打在最左端且距离为OM=2R,但是左侧因为没有粒子射入，所以中间会出现一块空白区域,

故B正确，AD错误.所以B正确，ACD错误.

变式5.2如图所示，在直角坐标系.sy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为从磁场方向垂直于

纸面向外.许多侦量为m、电向量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由式轴负方向与），轴止方向之

间各个方向从原点O射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下列图中阴影部分表示带电粒子在磁

场中可能经过的区域，其中R=mv/qB,正确的图是（）

【答案】D

【详解】试题分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以1轴为边界的磁场，粒子从工轴进入磁场后在离开，

mv

速度u与工轴的夹角相同，根据左手定和尺=用，知沿x轴负轴的刚好进入磁场做•个圆周，沿y轴进入

的刖好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D正确；

考点：带电粒子在匀强磁场中的运动

【例6】如图所示，在边长为L的正方形的每个顶点都放置一个点电荷。。、〃、c三点的电荷最均为+4，d

点的电荷量为4,则正方形中点。的电场强度的大小和方向为（）

A.,由。指向力B.,由。指向d

I：L

C.,由。指向cD.,由。指向d

LrL'

【答案】B

【详解】〃、c两点对称分布，电荷量相同，故在。点的电场强度相互抵消，h,d两点对称分布，但电荷量

不等，在。点的电场强度不能抵消，人点在。点的电场强度为

方向由〃到。：d点在。点的电场强度为

方向由0到J；则0点的电场强度大小为学^,方向由0指向d,故ACD错误，B正确。

I：

故选B。

变式6.1如图所示，正方形必八的三个直角。、。、c•处分别放置了三个电荷量相等的点电荷，久。处的点

电荷带正电，c处的点电荷带负电，e