2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册（第1-4单元）每课教学设计p183

2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册（第1-4单元）每课教学设计目录第一单元分数除法分数除法（一）分数除法（二）分数除法（三）整理与复习第二单元圆车轮为什么是圆的圆的认识（一）圆的认识（二）修复铜镜欣赏与设计圆的周长圆周率的历史圆的面积（一）圆的面积（二）整理与复习第三单元用字母表示（二）用字母表示数量关系探索规律（一）探索规律（二）日历中的数量关系花坛的周长综合实践制订节水方案水是生命之源调查用水情况滴水实验制订节水方案节水方案分享会第四单元分数的应用分数的应用（一）分数的应用（二）整理与复习第1-4单元每课教学设计第一单元分数除法分数除法（一）2课时一、学情分析六年级学生已系统掌握整数除法和小数除法，理解除法是乘法的逆运算，计算较为熟练；在五年级已经学过分数的加减法和乘法，会求一个数的倒数，熟悉“平均分”的生活情境，并能用画图表示分数。这些基础为本课理解算理提供了支撑。同时，学生动手操作、合作交流的兴趣浓厚，乐于把自己的分法和想法说给同伴听，也喜欢比一比谁算得又对又快。但学生对“分数除以整数”还比较陌生，尤其对“除以2为什么等于乘12二、教材分析《分数除法（一）》是北师大版六年级上册第一单元《分数除法》的起始课，属于“数与运算”领域的重要知识。教材以“把一张纸的45平均分成2份、3份”为情境，先让学生分一分、涂一涂，直观看到每份是25、415；再借助“每份是45的一半，也就是45的12”，写出45÷三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”三个核心素养维度，确立如下教学目标：通过分一分、涂一涂的操作，理解分数除以整数的意义和算理，会用数学的眼光观察现实世界，发展数感与几何直观。经历由具体操作到抽象概括的过程，归纳分数除以整数的计算法则，能正确计算，会用数学的思维思考现实世界，发展运算能力与推理意识。能借助图形说明算理，用转化的方法表达思考过程，会用数学的语言表达现实世界，发展应用意识，养成先想算理再动笔、算后验算的习惯。四、教学重难点教学重点：借助分一分、涂一涂理解分数除以整数的算理；掌握“除以一个不为零的整数，等于乘这个整数的倒数”的计算方法，能正确计算。教学难点：理解45÷2为什么等于五、教学过程本课教学过程分2个课时完成。第1课时解决分子能被整数整除的情形，帮助学生理解算理、初步掌握方法；第2课时在认知冲突中探索分子不能被整除的情形，归纳概括计算法则并巩固运用。第1课时分数除以整数（一）：把45平均分成2份（一）情境导入，复习旧知师：同学们，我们已经学过整数除法和小数除法。谁来说一说，整数除法的意义是什么？生：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。师：说得很完整。除法还可以表示“平均分”——把一个整体平均分成若干份，求每份是多少。下面我们就用这个知识来研究一个生活中的问题。（教师出示教材情境：把一张纸的45平均分成2师：请同学们认真读一读这句话，想一想：题目已知什么，要求什么？生：已知一张纸的45，要平均分成2师：这个问题该用什么运算来解决？为什么？生：用除法，因为题目说的是“平均分成2份”，属于平均分。师：非常好。平均分求每份是多少，用除法计算。那么，分数能不能除以整数呢？它的结果又该怎样计算呢？这节课我们就一起来研究“分数除以整数”。（板书课题：分数除法（一））【设计意图】从学生熟悉的整数除法意义导入，唤醒“平均分”这一已有经验，再自然迁移到分数除法，让学生明确分数除法的意义与整数除法意义相同，为后续探究做铺垫。（二）操作探究，理解算理师：请大家拿出课前准备好的长方形纸片。这张纸被平均分成了5份，其中4份涂上了颜色，正好表示这张纸的45师：现在的问题是把这张纸的45平均分成2（学生动手操作：把涂色的4份再平均分成2份，发现每份有2份涂色部分，也就是整张纸的25生：我把涂色的4份平均分成2份，每份是2份涂色部分，也就是整张纸的25师：想一想，把45平均分成2份，每份是2生：45师：你是怎样算出这个结果的？生：把分子4平均分成2份，4÷2=2，分母5师：也就是45（教师引导：把45平均分成2份，每份正好是45生：每份是45的一半，也就是45的12，所以师：大家看，用“分子直接平均分”和“乘这个数的12生：一样，都是25师：2的倒数是多少？12和2生：12是2师：把45÷2改写成45×12，除号变成了乘号，除数变成了它的倒数，被除数不变。这是一种很巧妙的思路。请同学们在图上再圈一圈、比一比，看看方法算式结果方法一：分子直接平均分42方法二：转化为乘倒数42师：两种方法都得到了25，说明“除以2”与“乘1【设计意图】通过分一分、涂一涂，让学生直观看到把45平均分成2（三）尝试迁移，初步运用师：刚才我们研究的是把45平均分成2份。想一想，把45平均分成4（学生独立完成，同桌互查）生：把涂色的4份平均分成4份，每份是1份，就是整张纸的15。列式：4师：你能用今天学的两种方法分别算一算，并比较结果吗？生：方法一：45÷4师：两种方法结果都是15。再来看一道：把67平均分成3生：67÷3=师：看来，当分子能被整除时，两种方法都可以，结果总是相同的。我们既可以把分子直接平均分，也可以把除法转化为乘这个整数的倒数，这为我们进一步研究提供了方便。【设计意图】在理解算理后，让学生动手迁移，巩固分子能被整除情形的计算方法，同时初步沟通两种算法，为第2课时研究分子不能被整除的情况做好铺垫。第2课时分数除以整数（二）：把45平均分成3份与法则归纳（一）制造冲突，引出新问题师：同学们，上节课我们能把45平均分成2份、4份，也能把67平均分成3份，因为分子都能被整除。现在请把45平均分成（学生尝试分一分、涂一涂，遇到困难）师：这一回，分子4还能平均分成3份吗？生：不能，4不是3的倍数，没法把4份整数地平均分成3份。师：既然“分子直接平均分”的方法行不通，那该怎么办呢？请小组合作，用上节课学到的“把除法转化为乘法”的思路试一试，看有什么发现。【设计意图】制造认知冲突，让学生切身体会到当分子不能被整除时，原来的方法不再适用，从而主动转向“转化为乘法”的新思路，激发探究的欲望。（二）合作探究，沟通转化（小组动手分纸、涂色，交流讨论）师：请各小组汇报，你们把45平均分成3生：我们先把这张纸平均分成5份，再把每一份都平均分成3份，这样整张纸就分成了15份，涂色的4份也都被平均分开了，每份是整张纸的415师：说得非常清楚。把5份中的每一份再平均分成3份，总份数变成了5×3（课件演示：涂色的4份，每份再分成3小份，共12小份；平均分成3份，每份4小份，即415师：从图上可以看出，把45平均分成3份，每份就是415。结合上节课的发现，平均分成3生：每份是45的1师：所以45÷生：45（板书：45师：对照图看一看，415是不是正好对应涂色部分平均分成3份后的一份？这里的15生：分母5乘3得到15，表示把整张纸分成15份；涂色的4份不变，分子还是4。师：很好！把45平均分成3份，其实就是求45的13是多少，所以用乘法45×1【设计意图】让学生在操作与讨论中，从图形直观看到45÷3=4（三）对比归纳，概括法则师：现在，我们把这两节课研究的两类情况放在一起对比。（出示算式：45÷2师：仔细观察这两道算式，除号变成了什么？除数变成了什么？被除数有没有变化？生：除号都变成了乘号；除数2变成12、3变成13；被除数4师：12和2、13和3生：分别互为倒数。师：谁能用一句话，概括出分数除以整数的计算方法？生：分数除以一个不为零的整数，等于分数乘这个整数的倒数。师：为什么要强调“不为零的整数”？除数能为0吗？生：不能，0不能作除数，0也没有倒数。师：说得对！这个方法我们可以概括为“两变一不变”——除号变乘号，除数变为它的倒数，被除数不变。请同学们结合刚才的算式，再互相说一说，加深理解。【设计意图】通过对比两道算式，引导学生发现共同规律，抽象概括出分数除以整数的计算法则，并用“两变一不变”帮助记忆，体会从特殊到一般的推理过程，发展推理意识。（四）巩固练习，深化应用填一填，算一算

①56÷4=56×  =  ；解决实际问题

把一块巧克力的35平均分成3份，每份是这块巧克力的几分之几？画一画，算一算。

师：先画图表示这块巧克力的35，再把它平均分成3份，看每份是多少。

生：35÷判断辨析

下面的计算对吗？把不对的改正过来。

①45÷2=45×2=85；

②710÷5=710×15=750【设计意图】通过填空、解决实际问题和辨析纠错三类练习，从算法到应用再到纠错，帮助学生把法则用熟用对，突破“不把被除数取倒数”这一易错点，同时体会分数除法在生活中的应用。（五）课堂小结，布置作业师：通过这两节课的学习，你有哪些收获？谁来总结一下分数除以整数的计算方法？生：分数除以一个不为零的整数，等于分数乘这个整数的倒数；用“两变一不变”来记，就是除号变乘号、除数变倒数、被除数不变。师：遇到分子不能被整除的情况时，我们用“转化为乘法”的方法来解决，这就是重要的“转化”思想。请同学们课后完成教材“练一练”中的相关练习，并想一想：一个数除以分数，是不是也能这样转化呢？为下节课的学习做准备。【设计意图】回顾梳理本课核心知识与思想方法，帮助学生形成整体认识；以问题引导学生提前思考下节课内容，实现课与课之间的自然衔接。六、小结《分数除法（一）》作为本单元《分数除法》的起始课，以“把一张纸的45平均分成2份、3份”为情境，引导学生经历“分一分、涂一涂—算一算—说一说”的完整探究过程。教学分两个课时推进：第1课时通过分子能被整除的情形，让学生在操作中理解算理、初步掌握“除以一个整数等于乘它的倒数”的转化思路；第2课时在认知冲突中探索分子不能被整除的情形，对比归纳出“分数除以整数（0分数除法（二）一、教材分析本课是北师大版（2026年秋季新教材）六年级上册第一单元《分数除法》的第二课时，对应教材第4至5页。教材以“4张同样大的饼”为素材，先算“每2张一份”“每1张一份”能分成几份，再算“每二分之一张一份”“每三分之一张一份”能分成几份，借助图形圈一圈、数一数，直观看到份数由少变多，理解“4÷12=4×2”“4÷二、学情分析六年级学生已掌握整数除法和小数除法，理解除法是乘法的逆运算；五年级学过分数的加减法和乘法，认识并会求一个数的倒数；第一课时已学分数除以整数，知道“除以一个不为零的整数，等于乘这个整数的倒数”。这些基础为本课推广法则提供了支撑。但学生对“除数是分数的除法”还较陌生，对“4除以二分之一为什么等于4乘2”这类问题需有图形的支撑才能说清楚。学生爱动手圈一圈、数一数、比一比，对“除数变成分数后份数反而变多”感到新奇，这份好奇心有利于开展探究活动。三、核心素养教学目标经历圈一圈、数一数、算一算的过程，理解一个数除以分数的算理，会用数学的眼光观察现实世界（落实数感与量感）。能说清“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，正确计算分数除法，会用数学的思维思考现实世界（落实运算能力与推理意识）。能借助图形说理并与同伴交流，会用数学的语言表达现实世界（落实模型意识与表达能力）。四、教学重难点教学重点：一是借助圈一圈、数一数理解一个数除以分数的算理；二是掌握“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”；三是能正确计算一个数除以分数，能先约分再计算。教学难点：一是说清“4除以二分之一为什么等于4乘2”；二是理解“除以一个数就是乘它的倒数”的转化道理；三是计算时不把被除数也取倒数，书写规范。五、教学过程（一）第1课时理解算理，探索算法1.情境导入，复习旧知教师出示教材情境：这里有4张同样大的饼（出示4张饼的图卡），并提出问题。师：同学们，上节课我们学习了分数除以整数。谁来举个例子，说一说分数除以整数是怎样计算的？

生：比如37÷3，等于37乘13，结果是17。【设计意图】通过复习分数除以整数，唤起学生对“除法可以转化为乘法”这一已有经验的记忆，为把法则从“分数除以整数”推广到“一个数除以分数”作好铺垫，同时自然引出本课的核心问题。2.动手分饼，初步感知师：请同学们看教材中的第一组问题。这里有4张饼，如果每2张一份，可以分成几份？

生：4÷2=2（份）。

师：如果每1张一份呢？教师结合图卡，分别圈出“每2张一份”“每1张一份”的分法，并让学生观察对比。师：请同学们比较这两个算式，除数从2变成1，越变越小，而得到的份数呢？

生：份数越来越多，从2份变成了4份。

师：这说明什么？

生：分的份越小，能分出的份数就越多。

师：观察得很准。除数变小，份数却变多。那如果除数继续变小、变成分数，份数又会怎样变化呢？我们带着这个猜想继续往下看。【设计意图】用“每2张一份”“每1张一份”两个整数除法作铺垫，让学生先感受“除数变小、份数变多”的规律，并顺势把猜想引向“除数变成分数”的情形，为后面的探究奠定直观基础。3.圈一圈、数一数，探究4÷1师：如果每二分之一张一份呢？请大家先猜一猜，4张饼能分成几份？

生1：我猜能分成8份。

生2：我觉得是4份。

师：大家的猜想不一样。到底能分成几份？请拿出圆形纸片，或者用笔画一画，在图上圈一圈、数一数，看看4张饼里到底有多少个“二分之一张”。学生动手操作：把每张饼平均分成2份，数出1张饼里有2个二分之一张，4张饼里有8个二分之一张。生：我把每张饼都平均分成2份，1张饼有2个二分之一张，4张饼就有8个二分之一张，所以能分成8份。

师：说得真好！谁能用一个算式表示出“能分成8份”？

生：4÷12=8。

学生在交流中明白：1张饼里有2个二分之一张，4张饼里就有4个2，也就是4×2师：我们一起把这个发现写下来——4÷12=8，而4×2=8，所以4÷【设计意图】这是全课的重点也是难点。通过“圈一圈、数一数”的操作，让学生亲眼看到份数由“4份”变成“8份”，再与“4×4.再探究4÷1师：如果把“每二分之一张一份”改成“每三分之一张一份”，又该怎样计算呢？请同学们先在图上圈一圈、数一数，再试着写出算式。学生操作：把每张饼平均分成3份，数出1张饼里有3个三分之一张，4张饼里有12个三分之一张。生：4÷13=12，因为4×3=12，所以4÷1【设计意图】通过“12”和“15.对比归纳，统一法则教师把四组算式放在一起，引导学生整体观察：4师：从第一组算式到第四组，除法的意义变了没有？

生：没有变，都是在求“4里面有几个这样的单位”。

师：对！除法的意义没有变，只是除数从整数变成了分数。请大家看教材中智慧老人的话——两个数相除都可以转化为乘法。谁来试着把这个法则完整地说一说？

生：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

师：为什么要强调“不为零”呢？

生：因为0没有倒数，0不能作除数。

师：很好。这样一来，整数除法、分数除法就都可以统一成“乘这个数的倒数”来计算了。教师板书：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。【设计意图】通过多组算式的整体对比，让学生看到“除法的意义没有变”，从而顺利把法则从“分数除以整数”推广到“一个数除以分数”，形成统一的算法，并强调除数不能为0这一前提。6.课堂练习，巩固算法算一算，说一说：4÷14÷16÷18÷1判断对错：

（1）7÷13=7×3（）

（2）5÷15=教师巡视，重点提醒学生“被除数不变，只把除数变成它的倒数”，并请学生结合算理说一说计算依据。对把被除数也取倒数的错误，请学生上台演示并纠正。师：在做第3题“9÷19”时，很多同学容易出错，谁能说说它应该等于多少？

生：9÷1【设计意图】通过口算与辨析，巩固本课时“一个数除以分数”的算法，重点纠正“被除数也取倒数”的典型错误，帮助学生形成规范的计算习惯，为下一课时学习分数除以分数做好方法准备。（二）第2课时分数除以分数，巩固应用1.回顾法则，引出新问题师：上节课我们学习了“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”。今天，我们要用这个法则解决更一般的情况——当被除数也是分数时，它还适用吗？请同学们带着这个问题走进今天的学习。【设计意图】通过设问引出新问题，把学生的注意力聚焦到“法则是否具有普适性”上，激发探究欲望，实现新旧知识的自然衔接。2.试一试，探究分数除以分数师：请同学们打开教材试一试，试着计算下面三道题：5÷16；2师：先看第一题5÷16，谁来算一算？

生：5÷16=5×6=30。

师：为什么等于乘6？

生：因为16的倒数是6，除以16等于乘6。

师：再看第二题25教师强调：计算时能约分的要先约分，这样计算更简便，书写也更规范。师：第三题512÷10，除数是整数10，又该怎样算？

生：把10看成分母是1的分数，10的倒数是110【设计意图】通过三道由浅入深的尝试题，让学生把法则应用到“整数除以分数”“分数除以分数”“分数除以整数”等不同情形，体会法则的普适性，同时强化“能约分的先约分”的计算习惯，并为下一环节观察商与被除数的大小规律埋下伏笔。3.观察比较，发现规律师：我们再观察这几道算式（被除数都不为0）：4÷12=8，4÷13=12，5÷16【设计意图】让学生通过观察归纳出“除数与1的大小关系决定商与被除数的大小关系”，既深化对算理的理解，又为后续学习提供检验方法，提升数感。4.综合应用，解决实际问题一根绳子长78米，每14米剪成一段，可以剪成几段？

生：一瓶果汁有56升，如果每23升装一杯，可以装几杯？

生：一块长方形菜地的面积是34平方米，宽是12米，长是多少米？

生：34÷1教师引导学生先画一画、说一说每道题的含义，再列式计算，体会“求一个数里面有几个另一个数”或“已知面积和宽求长”这类问题用除法计算，并请学生用“除数小于1时商大于被除数”的规律检验第2、3题的结果是否合理。【设计意图】把分数除法放到生活情境中，让学生体会分数除法的现实意义，巩固算法，并运用刚发现的规律检验结果，实现算理、规律与应用的结合，感受数学与生活的联系。5.本课时收束师：通过这两节课的学习，我们知道了一个重要的法则，谁来完整地说一说？

生：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

师：计算时要注意些什么？

生：能约分的先约分；被除数不变，只把除数和除号作变化；除数不能为0。【设计意图】用师生共同回顾的方式收束本课时，把两节课的核心知识凝练为一条法则和三个注意点，帮助学生形成清晰、完整的认知结构。六、小结本课以“4张饼分份”的生活情境为线索，引导学生经历“圈一圈、数一数、算一算”的探究过程，直观理解一个数除以分数的算理，并借助智慧老人的方法，把除法法则从“分数除以整数”推广到“一个数除以分数”，统一为“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”。通过试一试的练习，学生掌握了分数除以分数、整数除以分数等一般情形的计算方法，养成“能约分的先约分”的习惯，并通过观察发现除数与商的大小规律。这一课为后续学习分数混合运算和解决分数除法实际问题奠定了坚实的算理基础。分数除法（三）一、教学背景本课是北师大版（2026年秋季新教材）小学数学六年级上册第一单元《分数除法》的第三课时。在此之前，学生已经学习了分数乘法的意义与计算、分数除法的意义，以及分数除以整数、一个数除以分数的计算方法，具备了运用分数乘、除法解决简单实际问题的初步经验。本课是在此基础上，进一步学习“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类分数除法实际问题，帮助学生建立“已知量÷对应分率＝单位‘1’的量”的数量关系模型，是分数除法知识由计算走向实际应用的关键一课，也是后续学习分数混合运算、比和比例的重要基础。六年级学生已经能够借助线段图分析数量关系，具备初步的方程意识和模型意识，为本课的学习提供了良好的知识储备与能力基础。二、教材分析教材以“操场上参加活动的人数”这一贴近学生生活的情境引入：跳绳的有6人，跳绳的人数是操场上参加活动总人数的29三、核心素养教学目标根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对核心素养的培养要求，结合本课内容，确定以下教学目标：1.能结合具体情境，理解“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系，会借助线段图分析问题，能运用方程或除法正确解答此类实际问题，发展运算能力和推理意识。2.经历画图分析、建立数量关系、列式解答的完整过程，体会数形结合思想，建立“已知量÷对应分率＝单位‘1’的量”的数学模型，发展模型意识和几何直观。3.在解决实际问题的过程中，感受分数除法在生活中的广泛应用，养成认真审题、检验反思的学习习惯，增强应用意识。四、教学重难点教学重点：正确找出单位“1”，理解并掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系，会用方程或除法解答此类实际问题。教学难点：借助线段图找准数量之间的对应关系，正确列出等量关系式，并理解分数乘、除法在数量关系上的联系。五、教学过程本课共安排2课时。第一课时重点探究“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系与基本解题方法；第二课时通过变式与综合练习，深化理解，形成模型。第一课时探究新知：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（一）复习引入，唤醒旧知教师出示复习题：果园里有桃树30棵，梨树的棵数是桃树的25师：要求梨树的棵数，我们用“桃树棵数×25=梨树棵数”。反过来想一想，如果已知梨树有12棵，又知道梨树的棵数是桃树的【设计意图】通过“求一个数的几分之几是多少”的乘法数量关系引入，利用分数乘法与分数除法数量关系的互逆性，唤醒学生已有经验，为学习“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”做好铺垫。（二）探究新知，构建模型1.出示例题，理解题意。教师出示教材情境：操场上同学们正在参加各种活动，跳绳的有6人，跳绳的人数是操场上参加活动总人数的29。操场上参加活动的总人数是多少？

师：认真读题，说一说题中已知什么、要求什么？谁是单位“1”？

生：已知跳绳的有6人，跳绳的人数是总人数的29，要求总人数。参加活动的总人数是单位“1”。2.画图分析，明确数量关系。教师引导学生在练习本上画线段图，把参加活动的总人数看作单位“1”，平均分成9份，跳绳的6人占其中的2份。教师在黑板上同步画出线段图并标注。

师：把总人数看作单位“1”，平均分成9份，跳绳人数占其中的2份。这2份对应的实际人数是多少？

生：跳绳的6人对应其中的2份。

师：那么1份是多少人？总人数是几份？

生：1份是6÷2=3人，总人数是9份，所以是3×9=27【设计意图】借助线段图把抽象的分数关系直观化，帮助学生看清“6人对应总人数的2份”这一对应关系，在数形结合中理解“先求1份、再求9份”的算理，发展几何直观。3.建立数量关系，列方程解答。教师引导学生根据线段图写出数量关系式。

师：根据线段图，跳绳人数与总人数之间有怎样的等量关系？

生：总人数×29=跳绳人数。

师：如果把总人数设为x人，你能列出方程吗？

生：x×29=6。

师：怎样解这个方程？

生：等式两边同时除以29，x=6÷29=4.沟通联系，形成方法。教师引导学生比较两种方法，并指出：已知量÷对应分率=单位“1”的量，即6÷29=27。由x【设计意图】在列方程解答中，引导学生用字母表示未知量、列等量关系式，体会方程是解决实际问题的重要工具；再通过两种方法的对比，帮助学生建立“已知量÷对应分率＝单位‘1’的量”的模型，沟通分数乘、除法数量关系的联系，发展模型意识与运算能力。（三）巩固练习，内化方法出示教材“练一练”中的题目：操场上参加活动的有27人，其中跳绳的人数占29师：这道题与例题相比，已知量和未知量有什么不同？

生：例题是已知部分量和对应分率求总量，这道题是已知总量和分率求部分量，单位“1”已知，用乘法计算。

师：所以“求一个数的几分之几是多少”用乘法，“已知一个数的几分之几是多少求这个数”用除法或方程。接着安排两道同构练习：①学校合唱队有女生24人，占全队人数的35，全队有多少人？

②一袋大米吃去3学生独立完成，指名板演，集体订正，重点说一说数量关系式。【设计意图】通过结构相同的巩固练习，让学生在实际应用中熟练运用“已知量÷对应分率＝单位‘1’的量”，在对比中进一步区分分数乘、除法应用题的数量关系，形成解题技能。（四）课堂小结教师引导学生回顾：今天学习了什么内容？我们是怎样分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题的？学生回答后，教师小结：先找单位“1”，再根据数量关系画图分析，用方程或除法解答，最后检验。第二课时变式深化：较复杂“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”（一）复习回顾，承上启下教师出示：六年级有男生20人，恰好占全班人数的25，全班有多少人？学生独立列式解答，并说数量关系式。教师追问：如果把“占全班人数的25”改成“比全班人数的2（二）变式探究，突破难点1.出示例题：学校图书馆有科技书120本，正好是故事书本数的34还多15本。图书馆有故事书多少本？教师引导学生读题、画线段图。

师：这道题单位“1”是什么？谁和谁对应？

生：单位“1”是故事书的本数，把故事书本数平均分成4份，其中的3份还多15本就是科技书的120本。

师：线段图该怎么画？先画什么？

生：先画单位“1”故事书，把它平均分成4份，标出其中的3份，再在这3份的基础上多画一小段表示15本，合起来对应120本。

教师根据学生的回答在黑板上画出线段图，并在图上标出120本与34、15本的对应关系。

师：你能根据线段图写出等量关系式吗？

生：故事书本数×34+15=科技书的本数。

师：设故事书有x本，怎样列方程？

生：x×34+15=120。

师：这个方程怎么解？【设计意图】在例题基础上增加“还多（少）几”这一变式，使数量关系从“部分量对应分率”拓展到“部分量对应‘分率×总量＋几’”，突破难点，进一步提升学生分析等量关系、列方程解决问题的能力。2.对比归纳。教师引导学生比较：这类问题与第一课时的例题相比，等量关系式有什么不同？

师：它们的共同点是什么？

生：都是单位“1”未知，都要设单位“1”为x，根据等量关系列方程，用除法或方程求解。

师：不同点呢？

生：第一课时是“总量×分率=部分量”，这题是“总量×分率+几=部分量”，等量关系更复杂一些。

教师小结：解决这类问题，关键是找准单位“1”，理清分率与对应量之间的关系，正确列出等量关系式。（三）综合练习，形成技能1.基础巩固：光明小学今年有学生2400人，比去年多15，去年有学生多少人？（提示：今年人数是去年的1+152.情境运用：张叔叔买一套衣服共用了240元，其中裤子的价钱是上衣的35，上衣和裤子各多少元？（提示：设上衣为x元，则裤子为35x【设计意图】通过“比去年多15（四）课堂小结教师引导学生回顾本课收获：今天我们在“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的基础上，又学习了哪些较复杂的情况？解决这类问题的关键步骤是什么？学生回答后，教师梳理板书要点，强调画图分析、找准等量关系、列方程求解并检验的完整方法。六、小结通过两课时的学习，学生掌握了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这一类分数除法应用题的数量关系和解题方法：先找准单位“1”，借助线段图理清分率与对应量的关系，再根据等量关系列方程或用除法求解并检验。本课沟通了分数乘法与分数除法的内在联系，帮助学生建立起“已知量÷对应分率＝单位‘1’的量”的数学模型，为后续学习分数混合运算、比和比例奠定了坚实基础，也切实发展了学生的运算能力、模型意识、几何直观与应用意识。整理与复习一、学情分析本单元新授结束后，学生已初步掌握分数除以整数、一个数除以分数（含整数除以分数、分数除以分数）的计算方法，也能借助方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。但由于分数除法是分数乘法的逆向运算，学生存在薄弱点：一是多停留在“背法则、套口诀”的层面，对“分数除法算理的本质是计算分数单位的个数”理解不透；二是分析数量关系、找准单位“1”的能力不足，在选用除法或乘法上易混淆；三是知识较为零散，缺少系统梳理。因此，本课复习要立足学生实际，先唤起经验、梳通算理，再分层运用、查漏补缺，帮助学生把“点”串成“网”。二、教材分析本单元是在学生学习了分数乘法、分数加减法以及整数小数除法的基础上安排的，是全册的重要内容。教材以三个课时分别教学分数除以整数、一个数除以分数以及解决分数除法实际问题，最后安排本课《整理与复习》进行系统整理。本课教材设置了“回顾与交流”“巩固与应用”两个板块：“回顾与交流”以“本单元学习了什么内容”引导学生自主梳理知识脉络，并借助40÷2、0.4÷2三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与运算”领域核心素养的要求，结合本课内容，确定如下目标：1.数感与运算能力：系统回顾分数除法的意义，掌握“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”的计算方法，能熟练、正确地进行各类分数除法计算，体会整数、小数、分数除法算理的一致性，形成数感，发展运算能力。2.推理意识：通过观察、比较、归纳，发现并概括“除数大于1时商小于被除数，除数等于1时商等于被除数，除数小于1时商大于被除数”的规律，经历由具体到一般的推理过程，发展推理意识。3.模型意识与应用意识：能准确分析实际问题中的数量关系，找准单位“1”，灵活运用方程和算术方法解决分数除法实际问题，发展模型意识和应用意识。四、教学重难点教学重点：系统梳理分数除法的意义和计算方法，构建知识网络，能熟练、正确地进行分数除法计算并解决实际问题。教学难点：理解分数除法算理的本质（计算计数单位的个数），准确分析数量关系、找准单位“1”，灵活选择方程或算术方法解决问题。五、教学过程第一课时回顾与交流——梳理知识，理解算理（一）回顾导入，唤醒知识师：同学们，第一单元《分数除法》我们已学完三节新课，今天这节课，我们一起来对本单元进行系统的整理和复习。（教师板书课题：整理与复习）师：在动手整理之前，先请同学们回忆一下：本单元我们都学习了哪些内容？可以看看课本目录，也可以回忆老师讲课的内容。生1：我们学习了分数除以整数，比如47生2：还学习了整数除以分数、分数除以分数，比如2÷13生3：学习了用方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。生4：还知道了分数除法的意义和计算方法。师：大家说得真全面！今天，我们就要把这些零散的知识整理起来，看看它们之间有什么联系。（教师随机板书：意义、计算方法、解决实际问题）【设计意图】以“本单元学习了什么内容”的开放性问题引导学生主动回忆，唤醒经验、激发兴趣，为梳理知识网络作铺垫。（二）对比算理，深化理解师：我们先从“算”说起。请看课本“回顾与交流”中的40÷2、0.4÷（学生独立计算并画图，教师巡视并选取典型作品展示。）师：谁来结合自己的图和算式说一说？先看40÷生1：40÷师：讲得真好，把“计数单位”都说出来了。再看0.4÷2生2：0.4÷师：那47生3：47÷2，把4个17平均分成2份，每份是2个1师：仔细观察这三组算式和它们的计算过程，有什么相同的地方？生4：它们都是把计数单位的个数平均分成2份。师：对！整数除法在数“十、个”这样的计数单位，小数除法在数“0.1、0.01”这样的计数单位，分数除法就是在数“17【设计意图】借助“画一画、算一算”把整数、小数、分数除法并置对比，引导学生看到“计算计数单位个数”这一算理本质，发展数感和几何直观。（三）梳理方法，构建网络师：算理弄明白了，那分数除法的计算方法是什么呢？请同学们在小组里互相说一说，再整理出来。（学生小组交流，教师引导全班汇报，逐步形成如下知识网络并板书。）分数除法的意义：已知两个数的积与其中一个数，求另一个数。分数除法的计算方法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。类型：分数除以整数；整数除以分数；分数除以分数。师：谁来完整说一说计算分数除法时要注意什么？生1：先把除号变成乘号，再把除数变成它的倒数，被除数不变。生2：在计算过程中能约分的要先约分，这样更简便。生3：除数不能是0，因为0没有倒数。师：总结得真完整。那分数除法的意义和整数除法的意义有什么相同之处？生4：分数除法的意义和整数除法的意义一样，都是已知两个数的积和其中一个数，求另一个数。师：正因为意义相同，计算分数除法时，就可以利用“除以一个数等于乘它的倒数”转化为乘法来计算，这就是“转化”的思想。【设计意图】引导学生自主梳理计算方法与注意点，构建知识网络，体会转化思想，培养归纳概括能力和推理意识。（四）分层练习，巩固法则师：掌握了方法和算理，我们来练一练。请先完成课本“巩固与应用”第1、2题，画一画、算一算。（学生独立完成，教师巡视指导。）师：第1题，把一个圆的34生1：34÷2=师：第2题，冬冬3天看了一本书的35生2：35÷3=师：两道题都是“分数除以整数”，为什么都能用除法算？生3：因为它们都是把已知的量平均分成若干份，求每份是多少。师：说得对。接着完成“巩固与应用”第5题的计算，看谁算得又对又快，再和同桌交换检查。（学生完成第5题并核对答案，教师讲评典型错误。）师：通过练习，大家发现计算分数除法最关键的是什么？生4：把除法转化成乘法，注意除数要取倒数。【设计意图】通过“分数除以整数”的看图计算和综合计算，分层巩固计算方法，帮助学生在练中发现易错点，提高计算正确率与熟练度。第二课时巩固与应用——综合运用，解决问题（一）复习导入，明确任务师：上一课时我们回顾了分数除法的意义和计算方法。今天这节课，我们继续运用这些知识来探究规律、解决实际问题。（二）观察比较，发现规律师：请先完成“巩固与应用”第3题，算一算，再观察商和除数、被除数之间的关系。（学生独立计算：34÷3、34÷3233333师：请同学们仔细观察，被除数都是34生1：34÷3=14，生2：34÷32=12，也小于生3：34生4：34÷34=1，除数34小于1，商1大于被除数师：谁能把大家的发现完整地总结出来？生5：除数大于1时，商小于被除数；除数等于1时，商等于被除数；除数小于1时，商大于被除数。师：总结得真好！需要提醒的是，这里的被除数应是大于0的数，除数应是不为0的数，这个规律在判断商的大小、估算结果时非常有用。师：运用这个规律完成第4题，在○里填“＞”“＜”或“＝”，并说说是怎样判断的。（学生独立完成并交流：45÷2<45；12÷13【设计意图】通过观察、比较商与被除数的大小，引导学生在具体计算的基础上归纳规律，发展推理与概括能力，掌握判断商大小的简便方法。（三）解决问题，渗透模型师：掌握了规律，我们用它来解决生活中的实际问题。请看“巩固与应用”第7题。（出示情境：人造卫星的运行速度约是宇宙飞船的23师：先找一找题目中的单位“1”是什么？请同学们先独立思考，再在小组里交流。生1：单位“1”是宇宙飞船每秒运行的速度。生2：“人造卫星的运行速度约是宇宙飞船的23”，就是说宇宙飞船速度的23师：单位“1”未知，该怎样列式？为什么？生3：应该用除法，列式5.2÷师：为什么用除法？说说你的理由。生4：因为“宇宙飞船速度×23=5.2”，已知一个数的师：还可以怎样想？生5：也可以设宇宙飞船每秒运行x千米，列方程23x师：大家的方法都对，请你算一算。生6：5.2÷师：请看第8题。王老师从北京乘高铁去广州，列车行驶5小时约走了全程的58（学生独立解答，汇报交流。）生7：单位“1”是全程，未知。根据“行驶5小时约走了全程的58”，可以列式5师：这里的5小时对应全程的几分之几？生8：5小时对应全程的58，也就是全程的58用了5小时，求全程需要的时间，就用师：通过找单位“1”、分析数量关系，大家正确解决了问题。解决这类问题时，既可列方程，也可用算术方法（除法），关键要找准单位“1”、理清数量关系。【设计意图】以宇宙飞船、高铁行程等真实情境，引导学生经历“找单位‘1’—分析数量关系—列式解答”的过程，体会方程与算术方法的内在联系，发展模型意识和应用意识。（四）综合练习，查漏补缺师：学以致用，下面我们来完成“巩固与应用”第6题“填一填”，比一比谁能又快又对地填出结果。（学生独立完成，全班核对：8、16、32、165、163、师：填得又快又对的同学，说说你是怎样算的？生1：我是根据分数除法的计算方法，先把除法转化成乘法再计算的。师：还有不明白的地方，课下可以和老师、同学交流。我们还可以互相出几道题考一考同桌，看谁能全部算对。（学生互出互考，教师巡视指导。）【设计意图】通过综合练习和互测互评，帮助学生查漏补缺，及时发现和纠正计算中的错误，巩固计算方法，提高运算能力。（五）总结提升，构建体系师：通过这两节课的整理与复习，你有哪些收获？生1：我知道了分数除法的意义和整数除法一样，都是已知两个数的积和其中一个数，求另一个数。生2：我掌握了分数除法的计算方法，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。生3：我知道了除数大于1商小于被除数、除数小于1商大于被除数的规律。生4：我会找准单位“1”，用方程或除法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。师：大家收获真多！这节课我们把分数除法的知识整理成了网络，还发现了算理的一致性。希望大家今后也像这样勤于整理、善于思考。六、小结本课是《分数除法》单元的整理与复习，共两个课时。第一课时立足“回顾与交流”，引导学生梳理分数除法的意义、计算方法与注意点，并借助整数、小数、分数除法的对比，揭示“分数除法就是计算计数单位的个数”这一算理本质，构建知识网络；第二课时立足“巩固与应用”，通过探究商与被除数的大小关系、综合计算和解决实际问题，尤其是借助找单位“1”、分析数量关系，沟通方程与算术方法，帮助学生形成清晰的知识体系。全课以整理为主线、以应用为落脚点，既突出了核心知识，又发展了学生的数感、运算能力、推理意识、模型意识和应用意识，为后续学习打下坚实基础。第二单元圆车轮为什么是圆的一、教材分析《车轮为什么是圆的》是北师大版（2026年秋季新教材）小学数学六年级上册第二单元《圆》的第1课时。教材以学生熟悉的“车轮”这一生活事物为切入口，编排了“设计车轮—提出问题—动手制作—滚动描迹—观察比较—归纳结论”的完整探究活动链，引导学生通过实验发现：圆上各点到圆心（中心点）的距离都相等，圆形车轮滚动时圆心沿直线运动，因此行驶平稳；而正方形、椭圆形等各点到中心点的距离不相等，滚动时中心点轨迹高低起伏，乘车就会颠簸。本课是学生系统学习“圆”的起始课，其探究得出的“圆上各点到圆心距离都相等”正是圆的本质特征，为后续认识圆的各部分名称、学习圆的周长与面积奠定基础，在单元中起着统领和奠基的作用，承载着“以问题驱动、以操作感悟特征”的重要教学功能。同时，教材把真实的生活情境与数学探究有机结合，引导学生在解决实际问题的过程中感悟数学的应用价值。二、学情分析六年级学生在前三年的学习中已经直观认识了圆，能够辨认圆形、会画圆，对“圆”并不陌生；他们也积累了丰富的乘车、骑车的日常生活经验，对车轮是圆形的现象习以为常。但是，学生很少从数学的角度思考“车轮为什么是圆的”，对圆的本质特征——“圆上各点到圆心的距离都相等”缺乏理性的认识，也难以主动把这一特征与“平稳行驶”建立联系。这一年龄段的学生已经具备一定的动手操作能力、合作探究能力和初步的归纳推理能力，乐于在“做数学”的活动中发现规律。教学中应充分利用学生已有的经验与探究热情，引导他们在观察、操作、比较中经历完整的数学探究过程，把生活经验提升为数学认识。同时也要注意，部分学生在操作时可能忽略中心点的标注，或难以把轨迹现象与数学本质特征联系起来，教学中需加强巡视引导与集体交流。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，从“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”三个维度，结合本课内容确定如下目标：1.在观察、操作、比较中感知圆的特征，理解“圆上各点到圆心的距离都相等”，发展空间观念和几何直观；2.经历“猜想—实验—验证—归纳”的探究过程，理解圆形车轮滚动时圆心沿直线运动、行驶平稳的道理，发展推理意识和模型意识；3.能用圆的知识解释车轮、井盖等生活现象，初步形成用数学的眼光观察现实世界的习惯，发展应用意识和创新意识。四、教学重难点教学重点：理解圆的本质特征——圆上各点到圆心（中心点）的距离都相等。教学难点：通过操作与比较，体会圆形车轮滚动时圆心在一条直线上运动，从而理解车轮做成圆形的道理，并能用圆的知识解释生活现象。五、教学过程第1课时探究圆的特征：车轮为什么是圆的【教学准备】教师：多媒体课件、圆形/正方形/椭圆形硬纸板“车轮”模型、直尺。学生：硬纸板、圆规、直尺、剪刀、铅笔。（一）情境导入，聚焦问题师：同学们，请看一看大屏幕上的这些图片（课件出示自行车、汽车、火车、独轮车的图片）。这些车都有一个共同的部分，你们发现了吗？生：它们都有轮子。师：这些轮子都是什么形状的呢？生：都是圆形的。师：那你们有没有想过，为什么车轮都做成圆的，而不是正方形、三角形呢？今天这节课，我们就一起来研究这个有趣的问题。（教师板书课题：车轮为什么是圆的）【设计意图】从学生最熟悉的生活情境切入，以“车轮为什么是圆的”这一真实问题引发认知冲突，激发学生的好奇心与探究欲望，自然引出本课的核心研究问题。（二）设计车轮，大胆猜想师：如果请你们当一回小设计师，来设计一辆车的车轮，你会设计成什么形状？先独立思考一下，再和同桌说一说你的想法。（学生自由发言：有的说圆形，有的说正方形，还有的说三角形、椭圆形……）师：大家的想法可真丰富！那么，车轮做成圆形和做成其他形状，乘坐起来的感觉会一样吗？生：不一样。师：我们大胆来猜一猜，圆形、正方形、椭圆形这三种车轮，哪一种行驶起来最平稳？哪一种会颠簸？生1：我猜圆形的最平稳。生2：正方形的车轮可能一颠一颠的，会很不舒服。生3：椭圆形的也可能不平稳。师：大家的猜想都很有道理。可是，猜想对不对，还要靠实验来验证。要想知道坐在车上平不平稳，我们要重点观察车轮的哪一部分呢？生：车轮滚动时，车轴（中心点）是不是忽高忽低。师：说得非常好！车轮的中心装着车轴，车轮滚动时，如果中心点始终在一个高度上运动，车就平稳；如果中心点忽高忽低，车就会颠簸。所以，我们研究的重点就是——不同形状的车轮滚动时，中心点运动的轨迹究竟是什么样的。师：其实，圆规就能帮助我们更好地理解圆的这个特点。用圆规画圆时，两脚张开的距离始终不变，针尖固定在圆心不动，铅笔脚绕着它画一周，针尖到铅笔的距离处处相等，这正是“圆上各点到圆心距离都相等”的来源。【设计意图】让学生先当“设计师”自由设想，再聚焦到“中心点运动轨迹”这一解决问题的关键点，把生活问题转化为数学问题，为实验探究指明方向。（三）动手操作，实验验证师：下面我们就动手来做实验。请认真看操作要求（课件出示）。1.用硬纸板分别剪一个圆形、一个正方形、一个椭圆形“车轮”，并在它们的中心处标出点A；2.把圆形“车轮”沿着直尺的边滚一滚，用铅笔描出点A留下的痕迹；3.用同样的方法，分别描出正方形、椭圆形车轮中心点A的痕迹；4.四人小组合作，比一比三种车轮中心点的运动轨迹有什么不同。（教师巡视指导，提醒学生：滚动时直尺要固定不动，纸板要紧贴直尺边，描迹要清晰准确。）【设计意图】让学生亲自动手制作三种“车轮”并滚动描迹，在“做数学”中获得直接的操作经验，为观察比较和归纳结论提供真实、充分的事实依据。（四）交流汇报，归纳结论师：哪个小组愿意把你们的发现和大家分享？生1：圆形车轮滚动时，中心点留下的是一条直直的线。生2：正方形车轮的中心点一会儿高、一会儿低，留下的是高低起伏的波浪线。生3：椭圆形车轮的中心点也不是直直的，同样是高低起伏的。（教师结合学生的汇报，用课件动态演示三种车轮滚动时中心点的运动轨迹，并引导学生完成下表。）车轮形状中心点运动轨迹乘车感觉圆形一条直线平稳正方形高低起伏（不是直线）颠簸椭圆形高低起伏（不是直线）颠簸师：从这张表里，你发现了什么？生：只有圆形车轮的中心点是沿直线运动的，正方形和椭圆形的都不是直线。师：那你们想一想，为什么圆形车轮的中心点能沿直线运动，而正方形、椭圆形就不行呢？请小组讨论讨论。（学生讨论后交流）师：请你看看这个圆，圆上的每一点到中心点（圆心）的距离，它们相等吗？生：相等。师：对！正是因为圆上各点到圆心的距离都相等，圆形车轮滚动时，圆心到地面的距离始终不变，中心点就像被托在一个固定高度上，所以能沿直线运动，车就行驶平稳。而正方形、椭圆形上各点到中心点的距离不一样，滚动时中心点就会忽高忽低，车自然就颠簸了。（师生共同归纳，完成板书）【板书设计】车轮为什么是圆的圆上各点到圆心（中心点）的距离都相等圆形：中心点轨迹是直线→平稳正方形：中心点轨迹高低起伏→颠簸椭圆形：中心点轨迹高低起伏→颠簸【设计意图】引导学生把“动手做”的直观感受上升为数学认识，通过比较、讨论和归纳，抓住“圆上各点到圆心距离都相等”这一数学本质，完整经历“操作—观察—归纳”的探究过程。第2课时深入认识圆的特征，用圆的知识解释生活（一）复习导入，引出问题师：上节课，我们通过动手实验弄清了车轮为什么是圆的。谁来说一说，这里面藏着的数学道理是什么？生：圆上各点到圆心的距离都相等，圆形车轮滚动时圆心始终在同一高度，所以行驶平稳。师：很好！“圆上各点到圆心的距离都相等”是圆的一个很重要的特征。今天这节课，我们就顺着这个发现，继续深入认识圆，并试着用圆的知识去解释更多的生活现象。（教师板书课题）【设计意图】通过回顾上节课的探究结论，把新旧知识自然衔接，明确本课时的学习方向，帮助学生形成连续的学习脉络。（二）认识圆心、半径和直径师：请看老师画出的这个圆（课件演示）。一个圆里，有几个很重要的部分。1.圆心O：就是圆的中心点，也就是画圆时圆规针尖所在的点，通常用字母O表示；2.半径r：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示；3.直径d：通过圆心、两端都在圆上的线段，用字母d表示。师：请同学们在练习纸上画一个圆，标出它的圆心、半径和直径。（学生动手画圆并标注，教师巡视指导。）师：现在请你想一想，同一个圆里，半径有多少条？它们都相等吗？生：半径有无数条，它们都相等。师：为什么都相等？生：因为圆上各点到圆心的距离都相等，而半径就是圆心到圆上一点的距离，所以半径都相等。师：说得真棒！这就是“圆上各点到圆心距离都相等”在半径上的具体体现。那直径和半径之间又有什么关系呢？生：直径是半径的2倍，也就是d=2r。师：为什么？生：因为直径通过圆心，可以看作是由两条半径组成的。师：那同一个圆里的直径有多少条？它们都相等吗？生：直径也有无数条，而且都相等，因为每条直径都等于两条半径之和。【设计意图】把上节课的探究结论与圆的各部分名称对接起来，让学生在“为什么”中真正理解半径都相等、直径是半径的2倍等特征，体会知识之间的内在联系，为后续学习打下基础。（三）用圆的知识解释生活现象师：“圆上各点到圆心距离都相等”这个特征，在生活中还有哪些应用呢？请看这些图片（课件出示井盖、陀螺、树桩截面、光盘等）。师：为什么井盖要做成圆形呢？生：圆形的井盖无论怎样转动，都不会掉进井里。因为圆上各点到圆心的距离都相等，井盖的直径都一样长，比井口宽，就掉不下去；要是方形的，转动一下就可能沿着对角线掉下去。师：分析得很有道理！那陀螺为什么转起来很稳呢？生：陀螺的底面是圆的，圆上各点到圆心距离相等，转动时中心能保持稳定，所以不容易倒。师：大家还能举出生活中利用“圆”的例子吗？生1：车轮、轮胎。生2：表盘、硬币。生3：花坛、树桩的截面。师：同学们看，像硬币、表盘、花坛这样，许多圆形的物体，正是因为利用了“圆上各点到圆心距离都相等”的特点，使它们在转动、滚动或受力时更加平稳、对称，也便于制作和测量。师：这些现象都说明，“圆上各点到圆心距离都相等”这一特征，让圆在我们的生活中发挥着独特而重要的作用。【设计意图】由“车轮”拓展到井盖、陀螺等更丰富的生活情境，引导学生用数学的眼光观察现实世界，用圆的知识解释现象，体会数学的应用价值，发展应用意识和模型意识。（四）综合运用，深化理解师：下面我们来检验一下大家学得怎么样（课件出示练习题）。1.判断：车轮做成圆形，是因为圆上各点到圆心的距离都相等。（）2.想一想：如果车轮做成三角形，乘车时会有什么感觉？为什么？3.用圆规画一个半径是2厘米的圆，标出圆心、半径和直径，再量一量直径是多少厘米。4.说一说：把一根圆木锯成两段，它的截面为什么是圆形的？（学生独立完成后同桌互查、全班交流，教师针对易错点和难点进行讲解。）师：第2题谁来谈谈自己的想法？生：如果车轮是三角形的，各点到中心点的距离不相等，滚动时中心点会忽高忽低，乘车就会非常颠簸，所以不能用三角形做车轮。【设计意图】通过判断、说理和操作等不同形式的练习，帮助学生巩固圆的特征和各部分名称，并能把知识灵活运用于新的情境，实现从“懂”到“会”的迁移。六、小结通过这两课时的学习，我们围绕“车轮为什么是圆的”这一问题，经历了“观察—猜想—实验—验证—归纳”的探究过程，深刻理解了圆的本质特征：圆上各点到圆心（中心点）的距离都相等。正因为如此，圆形车轮滚动时圆心沿直线运动，车行驶平稳；正方形、椭圆形等图形不具备这一特征，做车轮就会颠簸。我们还认识了圆心、半径和直径，知道同一个圆里半径都相等、直径是半径的2倍，并能用这些知识解释车轮、井盖、陀螺等生活中的圆。希望同学们今后留心观察，善于用数学的眼光发现生活中更多的圆，用今天学到的知识去解释更多有趣的现象。这种从生活问题出发，通过观察、实验、归纳得出数学结论的学习方法，也是我们今后学习数学、研究问题的重要方法。圆的认识（一）一、教材分析本课是北师大版（2026年秋季新教材）六年级上册第二单元《圆》的起始课，是学生在初步感知圆的基础上，系统认识圆心、半径、直径的名称与特征，掌握半径和直径的关系，并学会用圆规画圆。教材通过“对折圆形纸片认圆心、画半径直径观察特征、测量数据探究关系、用圆规画圆”等活动，引导学生逐步构建关于圆的知识体系，为后续学习圆的周长、面积奠定基础。二、学情分析六年级学生已经初步感知圆的特征，在生活中见过许多圆形物体，知道圆有圆心，具备一定的动手操作和观察比较能力。但学生对圆的各部分名称、半径和直径的特征及关系还不明确，需要通过动手操作、测量验证和师生对话来逐步理解。学生喜欢动手剪一剪、折一折、量一量，这有利于本课通过操作活动突破难点。三、核心素养教学目标1.经历对折、画、量、比等操作活动，认识圆心、半径、直径，会用数学的眼光观察现实世界（落实空间观念与几何直观）。2.通过测量和比较，发现并理解同圆或等圆中半径与直径的关系，会正确用圆规画圆，会用数学的思维思考现实世界（落实推理意识）。3.能用自己的话说清圆的特征，并用圆的特征解释生活中的现象，会用数学的语言表达现实世界（落实模型意识与表达）。四、教学重难点教学重点：认识圆心、半径、直径及其特征，理解同圆或等圆中半径和直径的关系。教学难点：理解半径和直径的关系，能正确用圆规画出指定大小的圆。五、教学过程（一）第1课时认识圆心、半径、直径1.情境导入，回忆圆的初步认识教师出示圆形纸片和生活中圆形的物体图片，提出问题。师：同学们，上节课我们已经初步认识了圆。请说说，圆和我们学过的长方形、正方形有什么不同？生：长方形、正方形都是由线段围成的，圆是由一条曲线围成的封闭图形。师：观察得真准。圆是我们生活中常见的图形，钟面、车轮、硬币上都有圆。那圆里面还藏着哪些秘密呢？今天我们一起来深入认识圆。教师板书课题：圆的认识（一）。【设计意图】通过对比长方形、正方形，唤起学生对“圆是由曲线围成的封闭图形”的初步印象，自然引出深入认识圆的学习目标。2.对折纸片，认识圆心师：请同学们拿出准备好的圆形纸片，先把纸片对折，再展开；换个方向再对折，再展开。观察折痕，你发现了什么？学生动手对折圆形纸片，观察折痕。生：两次对折的折痕相交在中间的一个点上。师：这个折痕相交的点，就是圆的中心，我们把它叫做圆心，通常用字母O表示。教师板书：圆心（O）。师：请大家在自己的纸片上标出圆心。想一想，圆心在圆里的什么位置？生：圆心在圆的中间。【设计意图】通过“对折—展开—再对折”的操作，让学生自己“发现”圆心，体会圆心是圆的中心这一点，既直观又符合学生探究的认知特点。3.认识半径、直径及特征师：请同学们在纸片上，从圆心O到圆上任意一点画一条线段。我们把这样的线段叫做半径，通常用字母r表示。教师板书：半径（r）——连接圆心和圆上任意一点的线段。师：请观察你画的半径，它的两个端点分别在什么地方？生：一个端点在圆心O上，另一个端点在圆上。师：请你在同一个圆里再画几条不同的半径，数一数能画多少条？这些半径的长度有什么关系？生：能画很多条，画不完，是无数条；这些半径的长度都一样长。师：为什么所有半径都相等呢？生：因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，而半径就是从圆心到圆上的线段，所以都相等。师：说得非常好！这正是圆最根本的特点——圆上任意一点到圆心的距离都相等。再请同学们观察，经过圆心、并且两端都在圆上的线段，我们把这样的线段叫做直径，通常用字母d表示。教师板书：直径（d）——通过圆心并且两端都在圆上的线段。师：判断下面这条线段是不是直径？请结合定义说一说理由。生：如果线段通过圆心，但两端没有都在圆上，就不是直径；只有通过圆心并且两端都在圆上的线段才是直径。师：在同一个圆里，能画多少条直径？它们的长度又有什么关系？生：能画无数条直径，所有直径的长度也都相等。【设计意图】通过动手画半径、直径并观察比较，让学生直观认识圆各部分的名称和“无数条且都相等”的特征，并通过辨析强化直径的定义，突破本课重点，同时深化“圆上任意一点到圆心的距离都相等”这一基本性质。4.探究半径和直径的关系师：请同学们量一量自己圆里的半径和直径，把数据记录下来，再比一比。你发现半径和直径的长度有什么关系？学生动手测量，小组内交流，汇报数据。生1：我量的半径是2厘米，直径是4厘米，直径是半径的2倍。生2：我量的半径是3厘米，直径是6厘米，直径也是半径的2倍。师：大家都发现，同一个圆里，直径的长度是半径的2倍。用字母怎样表示？生：d等于2r。师：那反过来，半径是直径的多少？生：半径是直径的一半，r等于d除以2。师：这里要注意，这个关系成立的前提是“在同一个圆或等圆中”。如果两个圆大小不同，就不能直接这样比了。教师板书：在同一个圆或等圆中，d＝2r，r＝d÷2。【设计意图】通过测量数据、小组交流，让学生自主发现半径和直径的关系，并强调“同圆或等圆中”这一前提，突破本课难点，培养推理与概括能力。5.课堂练习，巩固认识1.填一填：圆心通常用字母（）表示；半径用字母（）表示；直径用字母（）表示。2.判断对错：（1）圆的直径一定比半径长（）；（2）同一个圆里所有半径都相等（）；（3）通过圆心的线段就是直径（）。教师结合图形引导辨析，重点说明第3题“通过圆心的线段，两端还必须在圆上才是直径”，请学生上台指一指、说一说理由。3.算一算：一个圆的半径是4厘米，它的直径是多少厘米？生：d＝2r＝2×4＝8（厘米）。4.一个圆的直径是10分米，它的半径是多少分米？生：r＝d÷2＝10÷2＝5（分米）。【设计意图】通过填空、辨析与计算，巩固圆的各部分名称、特征及关系，帮助学生形成准确、清晰的表象，为下一课时学习画圆和应用做好准备。（二）第2课时用圆规画圆，运用圆的特征1.回顾旧知，引出画圆师：上节课我们认识了圆的哪些部分？它们各有什么特征？谁来说一说。生：认识了圆心、半径、直径；同一个圆里，半径和直径都有无数条，且都相等；直径是半径的2倍。师：大家掌握得很好。那我们怎样才能画出一个规范的圆呢？今天我们就来学习用圆规画圆。【设计意图】通过回顾圆心、半径、直径及关系，巩固上节课所学，并自然引出“怎样画圆”这一新问题，实现新旧知识的衔接。2.学习用圆规画圆师：请同学们拿出圆规，先观察圆规的结构。圆规由两脚组成，一脚是针尖，一脚是铅笔。谁能说说用圆规画圆的方法？教师演示并讲解画圆步骤：第一步，把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这个距离就是所画圆的半径；第二步，把有针尖的一只脚固定在一点上，这一点就是圆心；第三步，把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。师：请同学们想一想，画圆时为什么要先把两脚间的距离定好？生：因为两脚间的距离就是半径，半径定了，圆的大小才能确定。师：针尖这一脚为什么要固定住、不能移动？生：针尖所在的位置就是圆心，圆心动了，圆的位置就变了。师：请大家用圆规画一个半径为3厘米的圆，注意针尖要固定住，旋转时两脚之间的距离不能变。学生动手画圆，教师巡视指导，纠正针尖未固定、两脚距离变化等错误。师：画完的同学互相检查，看看画得是否规范、圆不圆。【设计意图】通过演示、追问与动手实践，让学生掌握用圆规画圆的三个步骤，理解“定半径、定圆心、旋转一周”的操作要领，发展操作技能和空间观念。3.理解圆心、半径的作用师：同学们都画出了圆。请大家想一想，圆心决定圆的什么？半径又决定圆的什么？生1：圆心决定圆的位置，圆心在哪，圆就在哪。生2：半径决定圆的大小，半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。师：我们来验证一下。请画一个半径为2厘米的圆，再在另一处画一个半径为4厘米的圆，比较它们的大小和位置。生：半径4厘米的圆更大；圆心在不同位置，圆的位置就不同。师：所以画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径，针尖所在的点就是圆心。教师板书：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。【设计意图】通过观察和对比不同半径、不同圆心的圆，让学生直观理解圆心与半径的作用，把操作经验上升为规律性的认识。4.运用特征，解决实际问题师：圆的这些特征在我们的生活中用得可多了。请大家想一想，为什么车轮要做成圆形？车轴为什么要安在圆心的位置？生：因为同一个圆里半径都相等，车轴到车轮边缘的距离都相等，车在行驶时就不会上下颠簸。师：说得好！正因为在同一个圆中所有半径都相等，车轮滚动时，车轴（圆心）始终保持在一条直线上，车才能行驶得平稳。如果车轮是正方形或三角形，车轴到边缘的距离不一样，车子就会一颠一颠的。师：请同学们再观察钟面、硬币等圆形物体，找一找它们的圆心、半径和直径，并说给同桌听。【设计意图】结合“车轮为什么做成圆形”这一经典问题，让学生运用“同圆中半径都相等”的特征解释生活现象，体会数学与生活的联系，培养应用意识。5.本课时收束师：通过这两节课的学习，我们对圆有了深入的认识。谁来完整地说一说，今天我们知道了圆的哪些知识？生：知道了圆心、半径、直径的名称和特征；同一个圆里半径、直径都有无数条且都相等；直径是半径的2倍；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；还会用圆规画圆。师：大家收获满满。圆的这些知识，将为我们以后学习圆的周长和面积打下基础。【设计意图】通过师生共同回顾，把两节课的核心知识梳理成清晰的线索，帮助学生形成完整的知识结构，并为后续学习做好铺垫。六、小结本课围绕“认识圆”这一核心，通过对折纸片认识圆心，通过画一画、量一量认识半径和直径及其特征，借助测量比较发现同圆或等圆中直径与半径的关系，并通过用圆规画圆理解圆心决定位置、半径决定大小。学生经历了“操作—观察—归纳—应用”的完整过程，建立了关于圆的清晰表象，并能用圆的特征解释车轮等生活现象。这一课为后续学习圆的周长与面积奠定了坚实的知识和方法基础。圆的认识（二）一、学情分析六年级学生已经在第一课时《圆的认识（一）》中认识了圆心、半径和直径，掌握了半径与直径的关系（d＝2r），并能用圆规画圆，具备了一定的几何直观和动手操作能力。但学生对圆的特征认识仍停留在名称与度量层面，尚未深刻体会圆的对称性、旋转不变性以及“对称轴是直径所在的直线”这一本质属性。同时，学生此前已经学习过长方形、正方形、三角形等轴对称图形的对称轴，积累了判断轴对称图形、寻找对称轴的基本经验，这为迁移到圆的学习提供了良好基础。教学时应充分发挥折纸、旋转等动手活动的优势，引导学生在操作、比较与说理中深入理解圆的独特性质。二、教材分析本课是北师大版六年级上册第二单元《圆》的第三课时。教材以“折一折、转一转、看一看”等实践活动为主线，安排了三个层层递进的学习内容：其一，通过把圆形纸片对折，探索圆是轴对称图形、有无数条对称轴，明确“直径所在的直线是圆的对称轴”；其二，通过把圆、正方形、等边三角形绕中心旋转，对比发现圆旋转任意角度都能与自身重合，体会圆独特的旋转对称性；其三，通过“做一做、认一认”认识弧、圆心角、扇形，理清扇形是圆的一部分及其大小与圆心角的关系。本课以动手操作和图形直观为核心，是发展学生空间观念、几何直观和推理意识的重要载体，也为后续学习圆的周长、面积以及扇形统计图打下基础。三、核心素养教学目标根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对核心素养的培养要求，结合本课内容，确定以下教学目标：1.通过折一折、转一转、看一看等操作活动，理解圆是轴对称图形，知道圆有无数条对称轴，理解“直径所在的直线是圆的对称轴”，掌握对折找圆心的方法，发展空间观念和几何直观。2.通过圆、正方形、等边三角形的旋转对比，发现圆旋转任意角度都与自身重合的旋转对称性，体会图形的对称美，发展推理意识和归纳能力。3.认识弧、圆心角、扇形，理解扇形是圆的一部分，知道同圆中扇形的大小由圆心角决定，能用圆的对称性解释车轮、井盖等生活现象，增强应用意识和模型意识。四、教学重难点教学重点：理解圆是轴对称图形，掌握“直径所在的直线是圆的对称轴”，认识弧、圆心角、扇形，掌握对折找圆心的方法。教学难点：正确区分直径与对称轴（直径是线段、对称轴是直线），理解圆的旋转对称性，把握扇形大小与圆心角的关系。五、教学过程本课共安排2课时。第一课时通过折一折、转一转等活动，探索圆的轴对称性与旋转对称性，并掌握对折找圆心的方法；第二课时通过做一做、认一认，认识弧、圆心角、扇形，并进行综合巩固。第一课时圆的对称性与旋转特征、对折找圆心（一）复习引入，唤醒旧知教师出示复习题：任意画一个圆，标出圆心O、半径r和直径d，并填空：一个圆半径3.6厘米，直径是（）厘米；用圆规画直径5厘米的圆，圆规两脚应张开（）厘米。请学生口答并板演。师：上节课我们认识了圆心、半径和直径，知道圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。今天我们就动手折一折、转一转，探索圆藏着的对称小秘密。（二）探究新知·折一折，认识圆的轴对称性1.自主对折，初步感知。教师为每位学生准备一张圆形纸片，请学生沿任意一条直线对折，观察对折后两侧能否完全重合。师：请把圆形纸片沿着任意一条直线对折，仔细观察，对折后纸片的两边能完全重合吗？动手试一试。生：我对折后，纸片的两边严丝合缝地重合在一起了。师：再换个不同的方向对折，两边还能完全重合吗？生：能，我换了好几个方向对折，两边都能重合。2.多次对折，数一数折痕。教师引导学生换不同方向反复对折，数一数能折出多少条折痕，并观察折痕的特点。师：大家多换几个方向对折，数一数你能折出多少条折痕？这些折痕有什么共同点？生：我折了很多次，每次都能折出新的折痕，感觉永远折不完。生：我发现所有折痕都经过圆中间的那一个点。3.同桌交流，沟通折痕与直径。教师组织学生说一说折痕与上节课学的直径有什么关系。师：折出来的这条折痕和圆的直径有什么关系？和同桌交流。生：折痕就是圆的直径，每条折痕都经过圆心。生：折痕是一条线段，但把它向两边无限延长，就是一条直线。师：说得真好。折痕就是直径，直径所在的直线把圆平均分成完全相同的两部分，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。【设计意图】通过折纸操作，让学生直观感知圆对折后两边完全重合，在“折出无数条折痕、折痕都过圆心”的体验中，自然得出“圆是轴对称图形、有无数条对称轴、对称轴是直径所在的直线”的结论，发展几何直观。4.辨析规范表述。教师提出问题，引导学生讨论“直径是圆的对称轴”这一说法是否正确。师：有人说“直径是圆的对称轴”，这句话对吗？生：不对，直径是线段，对称轴是直线，两者不一样。师：那规范的表述应该是什么？生：应该说“直径所在的直线是圆的对称轴”。教师小结：直径是一条线段，对称轴是一条直线，两者不能混为一谈，圆的对称轴是直径所在的直线。5.判断对称轴条数。教师出示半圆、长方形、等腰梯形三个图形，请学生判断各有