人教A版必修一-1

1.3.1函数的单调性

函数是描述事物运动变化规律的数学模型,所以有必要了解函数的变化规律。

问题：观察f（x）=x和f（x）=x2的图象的变化趋势o5-5-55f(x)=x2.在区间________上，随着x的增大f(x)的值随着增大.1.从左至右图象一直上升o5-5-551.在y轴左侧是下降的，在区间______上，f(x)的值随着x的增大而减小.2.在y轴右侧是上升的，

在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而增大.(-∞,0](0,+∞)xxyy函数图象的"上升〞"下降〞反映了函数的一个根本性质，这种性质称为函数的单调性。如何描述函数图象的"上升〞和"下降〞呢？以二次函数f〔x〕=x2为例，观察下表:x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…结合图象，你能发现自变量与函数值的变化有什么规律?o5-5-55xy图象在y轴左侧下降，也就是，在区间上,f(x)随着x的增大而减小;在y轴右侧上升,也就是,在区间上f(x)随着x的增大而增大.在区间〔0,+∞〕上任取两个自变量的值x1,x2,得到f(x1)=x12,f(x2)=x22当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)在区间〔－∞,0〕上任取两个自变量的值x1,x2,得到f(x1)=x12,f(x2)=x22当x1<x2时,有f(x1)>f(x2)

能否仿照前面的描述，说明函数在区间(-∞,0]上是减函数吗?以函数f(x)=x2为例,说明函数在区间〔0,+∞〕上是增函数.则称函数f(x)=x2在区间上是增函数则称函数f(x)=x2在区间

上是减函数这就得到增函数〔或减函数〕的定义1.增函数和减函数的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D内的

两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,知识要点

如果对于定义域I内某个区间D内的

两个自变量的值x1,x2,

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

同增异减任意任意yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图2

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.2.单调性、单调区间的定义1.单调性是对定义域内某个区间而言的，

离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.2、对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数).例1以下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5],其中y=f(x)在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数，在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数.

多个单调区间用逗号隔开探究1.求函数y=|2x-1|的单调区间.2.函数f(x)=|x|(2-x)的单调增区间是_________,单调减区间是_____________________.xyo12f(x)=x(2-x),x>0-x(2-x),x<0xyo12单调递减区间是(-∞,]单调递增区间是(,+∞）1212(-∞,0],[1,+∞〕(0,1〕

例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.证明:根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，那么由V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论证明单调性先明确定义域用定义证明函数单调性的步骤是:〔1〕取值〔2〕作差变形〔3〕定号〔4〕判断,下结论根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且

即求，变形的方法主要有因式分解、配方、有理化等

即根据给定的区间和的符号，确定的符号求证:函数

在区间

上是单调递增函数．则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且又∵0<x1<x2∴，，即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.∴f(x1)<f(x2)

思考若把区间改为,结论变化吗?若把函数改为结论变化吗？稳固练习例4::f(x)是定义在[-1，1]上的增函

数，且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围。

解：由已知得：解析:直线y=kx+b在k<0时，单调递减.∴2a-1<0,即a<D2.函数的单调递增区间是___________.〔1,+∞〕3.函数f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，那么a的取值范围为________.[4,+∞)4.根据以下图说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0〕,[0,2〕,[2,4〕,[4,5].在区间[-1,0〕,[2,4〕上，函数是减函数;在区间[0,2〕,[4,5]上，函数是增函数.1.增函数和减函数的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,

如果对于定义域I内某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

3.证明函数的单调性的根本步骤是：〔1〕取值;〔2〕作差变形;〔3〕定号;〔4