重庆市江北区2027届数学九上期末统考试题含解析

重庆市江北区2027届数学九上期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一件衣服225元，连续两次降价x%后售价为144元，则x＝（）A．0.2 B．2 C．8 D．202．如果，那么下列各式中不成立的是（）A．； B．； C．； D．3．在-2,-1,0,1这四个数中，最小的数是（）A．-2 B．-1 C．0 D．14．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米5．方程是关于的一元二次方程，则A． B． C． D．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．7．如图已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是60°，则∠C的度数是（）A．25° B．40° C．30° D．50°8．抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是（）A．x＞2或x＜－3 B．－3＜x＜2C．x＞2或x＜－4 D．－4＜x＜29．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是()A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)10．如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知，是抛物线上两点，该抛物线的解析式是__________．12．已知四个点的坐标分别为A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，1)，D(-2，2)，若抛物线y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为____________.13．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________.14．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③一元二次方程的解是，；④当时，，其中正确的结论有__________．15．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是．16．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果，，，那么线段BC的长是______．17．已知是，则的值等于____________．18．若为一元二次方程的一个根，则__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.（1）填空：判断此光源下形成的投影是：投影.（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.20．（6分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．（1）求这两个函数的解析式．（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．21．（6分）如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边CD，CB上，点F在AC上，AB＝3，BC＝4（1）求的值；（2）把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断CP与AF的位置关系，并说明理由．22．（8分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为等份，分别标上数字.小颖准备转动转盘次，现已转动次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下：次数数字小颖继续自由转动转盘次，判断是否可能发生“这次指针所指数字的平均数不小于且不大于”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)23．（8分）用配方法解一元二次方程24．（8分）如图，在中，，.（1）在边上求作一点，使得.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：为线段的黄金分割点.25．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据该衣服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：225（1﹣x%）2＝144，解得：x1＝20，x2＝180（不合题意，舍去）．故选：D．本题考查一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解题关键.2、D【解析】试题分析：由题意分析可知：A中，，故不选A；B中，，故不选;C中，；D中，，故选D考点：代数式的运算点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解3、A【解析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大值越小即可求解.【详解】解：在、、、这四个数中，大小顺序为：，所以最小的数是.故选A.此题考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质及数轴可以解决问题.4、A【解析】试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.考点：直角三角形的勾股定理5、D【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的不等式，解之即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，故选．本题考查一元二次方程的定义，解题关键是正确掌握一元二次方程的定义．6、D【分析】先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；

B、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴，错误；

C、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误．

D、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；

故选：D．本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7、C【分析】利用平行线的性质求出∠AOD，然后根据圆周角定理可得答案．【详解】解：∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝60°，∴∠C＝∠AOD＝30°，故选：C．本题考查圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8、C【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x的取值范围．【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=-1，

根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），

因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x轴的下方，

此时，x＞2或x＜－1．

故选：C．本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．9、C【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．故选：C．本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.10、A【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【详解】如图，过作于，则，＝1．．故选：A．本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】将A（0，3），B（2，3）代入抛物线y=-x2+bx+c的解析式，可得b，c，可得解析式.【详解】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c上两点，∴代入得，解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.故答案为：y=-x2+2x+3.本题主要考查了待定系数法求解析式，利用代入法解得b，c是解答此题的关键．12、或或【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【详解】（1）当时，恒成立（2）当时，代入C(-1，1)，得到，代入B(-3，1)，得到，代入A(-4，2)，得到，没有交点，或故答案为：或或.本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13、【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．【详解】画树状图图如下：∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是．故答案为：．本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14、①②④【分析】①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为，得到b＜0，可以①进行分析判断；

②由对称轴为，得到2a=b，b-2a=0，可以②进行分析判断；

③对称轴为x=-1，图象过点（-4，0），得到图象与x轴另一个交点（2，0），可对③进行分析判断；

④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），即可对④进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∵对称轴为＜0

∴b＜0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵对称轴为，∴2a=b，

∴2a-b=0，故②正确；

③∵对称轴为x=-1，图象过点A（-4，0），

∴图象与x轴另一个交点（2，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-4或x=2，故③错误；

④∵抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），

∴当y＞0时，-4＜x＜2，故④正确；∴其中正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．15、-5【解析】把代入方程得：，解得：，∴原方程为：，解此方程得：，∴此方程的另一根为：.16、；【分析】根据DE∥BC可得,再由相似三角形性质列比例式即可求解．【详解】解：，，，又∵，，，，解得：故答案为：．本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，找准对应线段是解题的关键．17、【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a-b与ab的关系，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵，∴则，

故对答案为：．此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18、-2【分析】把x=1代入已知方程可得关于m的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：∵为一元二次方程的一个根，∴，解得：m=－2.故答案为：－2.本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）中心；（2）如图，线段FI为此光源下所形成的影子.见解析【分析】（1）根据中心投影的定义“由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影”即可得；（2）如图（见解析），先通过AB、CD的影子确认光源O的位置，再作立柱EF在光源O下的投影即可.【详解】（1）由中心投影的定义得：此光线下形成的投影是：中心投影故答案为：中心；（2）如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键.20、（1）y=﹣；y=﹣x+1（1）4.【解析】试题分析：（1）根据

S△ABO=，即，所以

，又因为图象在二四象限，所以xy=﹣3即

k=-3，从而求出反比例函数解析式将

k=-3代入

，求出一次函数解析式；

（1）将两个函数关系式

y=﹣和y=﹣x+1联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标；（3）将x=0代入

y=﹣x+1中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=∴xy=﹣3又∵y=∴k=﹣3∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+1（1）A、C两点坐标满足解得∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）（3）由y=﹣x+1，令x=0，得y=1．∴直线y=﹣x+1与y轴的交点D的坐标为（0，1）点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积.将已知点的坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的交点坐标；求不规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.21、（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）CP⊥AF，理由：见解析.【解析】(1)根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到AC＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论；(2)(Ⅰ)连接CF，根据旋转的性质得到∠BCG＝∠ACF，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论；(Ⅱ)根据相似三角形的性质得到∠BGC＝∠AFC，推出点C，F，G，P四点共圆，根据圆周角定理得到∠CPF＝∠CGF＝90°，于是得到结论．【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴，∵四边形CEFG是矩形，∴∠FGC＝90°，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CBA，∴，∵FG∥AB，∴；(2)(Ⅰ)连接CF，∵把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，∴∠BCG＝∠ACF，∵，∴△BCG∽△ACF，∴；(Ⅱ)CP⊥AF，理由：∵△BCG∽△ACF，∴∠BGC＝∠AFC，∴点C，F，G，P四点共圆，∴∠CPF＝∠CGF＝90°，∴CP⊥AF．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．22、能，．【分析】根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率．【详解】能设第4次、第5次转出的数字分别为和，根据题意得：，解得：，所以后两次数字之和为8或9；画出树状图：共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种，所以．本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．23、，【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，解方程即可．【详解】解：移项得x2﹣6x=7，配方得x2﹣6x+9=7+9，即，∴-3=±4，∴，．本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是解题的关键：“当二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方”．24、（1）见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等腰三角形的性质及AA定理，做AB的垂直平分线或∠ABC的角平分线都可，（2）利用相似三角形的性质得到，然后根据黄金分割的定义得到结论.【详解】解：（1）作法一：如图1.点为所求作的点.作法二：如图2.点为所求作的点.（2）证明：∵，∴.根据（1）的作图方法，得.∴.∴点为线段的黄金分割点.本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质及尺规作图，黄金分割的定义，掌握相关性质定理是本题的解题关键.25、（1）y=x+3；y=﹣x2﹣2x+3；（2）M的坐标是（﹣1，2）；（3）P的坐标是（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝−1代入直线y＝x＋3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（−1，t），又因为B（−3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【详解】（1）A（1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0），则B的坐标是（﹣3，0）根据题意得：解得则直线的解析式是y=x+3；根据题意得：解得：则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝−1代入直线y＝x＋3得，y＝−1＋3＝2，∴M（−1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（−1，2）；（3）如图，设P（−1，t），又∵B（−3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2−6t＋10解之得：t＝−2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2−6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t