2027届广东省深圳市龙岗区数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

2027届广东省深圳市龙岗区数学九年级第一学期期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC=50°，则∠A的度数是（）A．25° B．20° C．80° D．100°2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（）A．35° B．55° C．60° D．70°4．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为()A． B．C． D．5．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是()A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．7．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣18．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）9．在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则树的高度为（）A．4.8m B．6.4m C．9.6m D．10m10．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是()A．64 B．16 C．24 D．3211．如图，数轴上，，，四点中，能表示点的是（）A． B． C． D．12．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝1．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断二、填空题（每题4分，共24分）13．年月日我国自主研发的大型飞机成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中，，则的长为_______．14．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是_____．16．将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．17．在Rt△ABC中，，，，则的值等于__．18．如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．20．（8分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．21．（8分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）22．（10分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）、求证：△ABE≌△ADF；（2）、若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．24．（10分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB.所以直线PA和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝________°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．25．（12分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．26．问题提出：如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．a．每次只能移动1个金属片；b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：a．把第1个金属片从1号针移到2号针；b．把第2个金属片从1号针移到3号针；c．把第1个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为：，，．共移动了3次．探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是：a．把上面两个金属片从1号针移到2号针；b．把第3个金属片从1号针移到3号针；c．把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：，，，，，，．共移动了7次．（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________．（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次．（3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．（4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】∵∠BOC=50°，∴∠A=∠BOC=25°．故选：A．本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.2、C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．3、B【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°．故选：B．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4、B【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．【详解】将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为故选：B．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．5、C【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠FOA=∠EOC，AO=CO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴FO=EO，∴四边形AECF平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形，故选C.6、A【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．【详解】过作于，，，，弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．故选A．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7、A【解析】试题解析：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是故选A.点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.8、A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是，的顶点坐标是．故选A．本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是9、C【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】设树高为x米，所以x=4.8×2=9.6.这棵树的高度为9.6米故选C.考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键.10、D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，

则：S=AC•BD=x（16-x）=-（x-8）2+32，

当x=8时，S最大=32；

所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，

故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．11、C【解析】首先判断出的近似值是多少，然后根据数轴的特征，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，判断出能表示点是哪个即可.【详解】解：∵≈1.732，在1.5与2之间，∴数轴上，，，四点中，能表示的点是点P．故选：C本题考查了在数轴上找表示无理数的点的方法，先求近似数再描点．12、A【解析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=1，⊙O的半径R=4，∴d>R，∴直线和圆相离．故选：A．本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】延长交于点，设于点，通过解直角三角形可求出、的长度,再利用即可求出结论．【详解】延长交于点，设于点，如图所示，在中，，，．在中，，，，，，，，故答案为：．本题考查了解直角三角形的应用．通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．14、40cm【解析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，则=60π，解得：r=40cm，故答案为:40cm．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．15、（0,3）【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x=0，解方程即可．【详解】解：令x=0，则y=3，即抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．本题考查了抛物线与y轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即可求得交点纵坐标．16、y=-x2+5【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解．【详解】由将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为；故答案为．本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键．17、【分析】首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，

∴，

∴，故答案为：．本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．18、【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，解得：r＝cm，故答案为．本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题（共78分）19、（1）y＝x2+2x+1；（2）5；（3）M（，﹣）或（﹣，）【分析】（1）先求出点B坐标，再将点D，B代入抛物线的顶点式即可；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，先求出点F的坐标，点C的坐标，再求出直线CM的解析式，最后可求出两个交点及交点间的距离；（3）设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，证点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，所以∠PMQ＝90°，利用勾股定理即可求出点M的坐标．【详解】解：（1）在y＝﹣x+1中，当x＝0时，y＝1，∴B（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，将点B（0，1）代入，得，a＝，∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1＝x2+2x+1；（2）联立，解得，或，∴F（﹣5，），∵点C是BF的中点，∴xC＝＝﹣，yC＝＝，∴C（﹣，），如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，则∠HCB+∠CBH＝90°，又∵∠MCH+∠HCB＝90°，∴∠CBH＝∠MCH，又∠CHB＝∠MHC＝90°，∴△CHB∽△MHC，∴＝，即＝，解得，HM＝5，∴OM＝OH+MH＝+5＝，∴M（0，），设直线CM的解析式为y＝kx+，将C（﹣，）代入，得，k＝2，∴yCM＝2x+，联立2x+＝x2+2x+1，解得，x1＝，x2＝﹣，∴P（，5+），Q（﹣，﹣5+），∴PQ＝＝5；（3）∵点M在直线AB上，∴设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，∵PQ＝2MN，∴NM＝NP＝NQ，∴点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，∴∠PMQ＝90°，∴MP2+MQ2＝PQ2，∴+＝（5）2，解得，m1＝，m2＝﹣，∴M（，﹣）或（﹣，）．本题考查了待定系数法求解析式，两点间的距离，勾股定理等，解题关键是需要有较强的计算能力．20、（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为．【分析】（1）连接OC交DE于F，根据矩形的判定定理证出四边形CEOD是矩形，根据矩形的性质和等边对等角证出∠FCD＝∠CDF，然后根据切线的性质可得∠OCG＝90°，然后根据同角的余角相等即可证出结论；（2）根据题意，求出∠COD＝30°，然后利用锐角三角函数求出CD和OD，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．【详解】证明：（1）连接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，∴四边形CEOD是矩形，∴CF＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，∵CG是⊙O的切线，∴∠OCG＝90°，∴∠OCD+∠GCD＝90°，∴∠ECF＝∠GCD，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠FCD＝∠CGD，∴∠CGO＝∠CDE；（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，∴∠DCO＝60°，∴∠COD＝30°，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2，OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．此题考查的是矩形的判定及性质、切线的性质、锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握矩形的判定及性质、切线的性质、锐角三角函数和求阴影部分的面积是解决此题的关键．21、（1）见解析；（2）169π（cm2）．【分析】（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD；（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴＝．∴∠BAC＝∠BCD．∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO．∴∠ACO＝∠BCD；（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2解得r＝1．∴S⊙O＝π×12＝169π（cm2）．此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；（2）根据等边△AEF的周长是6，得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB＝AD，AE＝AF∴Rt△ABE≌Rt△ADF；（2）∵等边△AEF的周长是6，∴AE=EF=AF=2，又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF，∴CE=CF，∠C=90°，即△ECF是等腰直角三角形，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，∴EC=，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x1=或x2=（舍去），∴AB=+=，∴正方形ABCD的边长为．考点:1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；23、（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；

（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵EF⊥BE，

∴∠2+∠3=180°-90°=90°，

∴∠1=∠3，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEF；

（2）∵AB=3，AE=4，

∴BE==5，

∵AD=6，AE=4，

∴DE=AD-AE=6-4=2，

∵△ABE∽△DEF，

∴，即，

解得EF=．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用同角的余角相等求出相等的锐角是证明三角形相似的关键．24、（1）补全图形见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角.【分析】（1）根据题中得方法依次作图即可；（2）直径所对的圆周角是直角，据此填写即可.【详解】(1)补全图形如图（2）∵直径所对的圆周角是直角，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，故答案为：90；直径所对的圆周角是直角，本题主要考查了尺规作图以及圆周角性质，熟练掌握相关方法是解题关键.25、（1）见解析；（2）【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即