专题强化练6三角形中的综合问题

专题强化练6三角形中的综合问题授课提示：对应专题强化练10页(分值：60分)解答题(共60分)1．(15分)(2025·河南开封模拟)已知直线l：2x＋2y＋2＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，C为圆O上不同于A，B的一点．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求角C；(2)若a＋b＝6，求△ABC的面积．答案：(1)圆心O到直线l的距离d＝28＝12，圆O的半径R＝所以AB＝c＝2R2-d2＝2又C为△ABC外接圆O上一点，所以csinC＝2R＝解得sinC＝c2＝32，因为0°<C<180°，所以C＝60°答案：(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)，即3＝6－2ab(1＋cosC)，即ab＝32①当C＝60°时，ab＝321+cosC＝此时S△ABC＝12absinC＝12sin60°＝②当C＝120°时，ab＝321+cosC＝因为c为最大边，所以ab<3×3＝3，与ab＝综上所述，△ABC的面积为342．(15分)(2025·广东汕头)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝cosB，sinB，m·n＝sin2C，且角A，B，C分别为△ABC三边a，(1)求角C的大小；(2)若sinA，cosC，sinB成等比数列，且CA·CB＝18，求△ABC边c上的高h.答案：(1)依题意，sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，所以sinC＝2sinCcosC，由C∈0，π知sinC≠0，从而cosC＝12，故C答案：(2)依题意，cos2C＝sinAsinB＝14由正弦定理得c2sin2C＝absinAsin又CA·CB＝18，则abcosC＝18，所以ab＝36，从而c＝63.由三角形面积公式得12absinC＝12ch，即93＝33故h＝3.3．(15分)(2025·河南周口模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3ab＝2sin(1)求B；(2)若b＝2，过点B作BD⊥AC，D为垂足，求BD的最大值．答案：(1)由3ab＝2sinC+π3及正弦定理，得3sinAsinB所以3sinA＝3sinBcosC＋sinBsinC，又sinA＝sinB+C，则3sinBcosC＋3cosBsinC＝3sinBcosC＋sinBsinC，化简可得3cosBsinC＝sinBsinC，又C∈0，π，sinC≠所以3cosB＝sinB，所以tanB＝3，又B∈0，π，所以B＝答案：(2)设BD＝h，由三角形的面积公式可得S△ABC＝12b·h＝12acsinB，解得h＝3又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时，等号成立，又b＝2，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，故h＝34ac≤34×4＝3，即BD的最大值为4．(15分)(2025·河北沧州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA＝c－b.(1)求证：A＝2B；(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC周长的取值范围．答案：(1)证明：由2bcosA＝c－b得b＝c－2bcosA，由正弦定理得sinB＝sinC－2sinBcosA⇒sinB＝sin(A＋B)－2sinBcosA.sinB＝sinAcosB＋cosAsinB－2sinBcosA，得sinB＝sinAcosB－cosAsinB，即sinB＝sinA-B.因为A，B为三角形内角，所以B＝A－B，或B＋A－B＝π(舍去)，所以A＝2B.答案：(2)因为b＝1，由正弦定理得asinA＝1sinB＝csinC，得a＝所以a＋c＝sinA又因为A＝2B，sinC＝sin(π－A－B)＝sin(π－3B)＝sin3B，所以a＋c＝sin＝2＝2sin得a＋c＝2cosB＋cos2B＋2cos2B＝4cos2B＋2cosB－1.因为△ABC为锐角三角形，则A∈0