专题强化练37实际应用问题

专题强化练37实际应用问题授课提示：对应专题强化练70页(分值：62分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2025·山东聊城模拟)中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室.2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有()A．30种B．60种C．72种D．114种解析：根据题意，从5人中选出3人，共有C分配到三个舱内，剩余的2人出舱完成任务，共有C53答案：B2．(2025·广西河池模拟)埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程．这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔(GustaveEiffel)对科学和技术的贡献．方程定义：y＝sinx＋0.5cos2x，这个方程中，x代表一个给定的角度，y则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”(这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度)．则埃菲尔铁塔最大“高度”值为()A．32B．34C．43解析：y＝sinx＋0.5cos2x＝sinx＋12－sin2x＝－sin2x＋sinx＋12＝－(sin2x-sinx+14)+34＝－sinx-122＋34，当x答案：B3．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图①是一个正八边形窗花隔断，图②是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图②，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP·AB的最大值为()A．2B．4＋22C．2＋2D．22解析：由投影向量的定义可知，当P在CD上时，AP·AB取得最大值，延长DC交AB的延长线于点T，AP·AB的最大值为|AB|·|AT|，其中正八边形的外角为360°÷8＝45°，故|AB|＝|BC|＝2，∠CBT＝45°，故|BT|＝2cos45°＝2，|AT|＝|AB|＋|BT|＝2＋2，故|AB|·|AT|＝2(2＋2)＝4＋22，所以AP·AB的最大值为4＋22.故选B.答案：B4．(2025·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0DnG0(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0＝20，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(A．31B．32C．33D．34解析：因为衰减学习率模型为L＝L0DnG0，所以根据已知条件可得0.25＝L0．0625＝L0D3020＝用②式除以①式可得L0D32L0将D＝0.25代入①式中可得L0＝0.5.所以衰减学习率模型为L＝0.5·0.25当学习率衰减到0.05以下时，即L＝0.5·0.25化简上述不等式得n20lg0.25<lg0.1，n20×(－lg22)<lg10－1，所以n>53×20＝因为n为正数，所以最小值取34.故选D.答案：D5．(2025·江苏南通模拟)图①是某长方体建筑，图②长方体ABCD­A1B1C1D1是该建筑的直观图，点N在AB的延长线上，MN是垂直于地面的测量标杆，高为hm．现测得BC长为am，在M处测得点B1的仰角为α，点C1的仰角为β，则建筑物的高BB1为(单位：m)()A．h＋a·B．h＋a·C．h＋asinD．h＋a·解析：设建筑物高为H，在线段BB1上截取BS＝MN，则四边形BSMN为矩形，在线段CC1截取CT＝MN，则四边形TCNM为矩形且四边形SBCT为矩形．在Rt△C1TM中，C1T＝H－h，故TM＝H-htanβ，同理SM＝H-htanα，在Rt△TSM中，ST＝BC＝a，故a2+SM2＝TM2，故a2＋H-htanα2＝H-htanβ2，故H＝a答案：B6．(2025·河北秦皇岛模拟)某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控．经统计分析知某收费站一天中通过的车辆数ρ与时间t拟合的函数关系为ρ＝-27t+35，0≤t<1，-12t3+152t2-24t+25，1≤t<10，A．当t＝2时，该时刻通过的车辆数最少B．t＝8和t＝17是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻C．当t∈[1，2]时，自动控制系统方程为v＝v0e－ρD．当t∈[8，10]时，自动控制系统方程为v＝v0lnρ解析：对于A，当0≤t<1时，ρ＝－27t＋35为递减函数，故ρ∈(8，35]；当1≤t<10时，ρ＝-12t3＋152t2－24t＋25,ρ′＝－32t2＋15t－24，令ρ′<0得1≤t<2或8<t<10，令ρ′>0得2<t<8，所以ρ在[1，2)上单调递减，在(2，8)上单调递增，在[8，10)上单调递减，所以t＝2为极小值点，t＝8为极大值点，计算得t＝2时ρ＝3，t＝8时ρ＝57，又t＝1时ρ＝8，t＝10时ρ＝35，此时ρ∈[3，57]，当10≤t<24时ρ＝-t2＋34t－205为开口向下的抛物线，顶点t＝17时ρ＝84，端点t＝10和t＝24时ρ＝35，此时ρ∈[35，84]，综上可知，ρmin＝3，此时t＝2，故A正确；对于B，由A可知，t＝8和t＝17为函数ρ的极大值点，故B正确；对于C，由A可知ρ在[1，2)上单调递减，故当t∈[1，2]时，自动控制系统方程应为v＝v0e－ρ，故C正确；对于D，由A可知ρ在[8，10)上单调递减，故当t∈[8，10]时，自动控制系统方程应为v＝v0e－ρ，而非v＝v答案：D7．(2025·山东青岛模拟)须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值．某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为18m，下底面边长为24m，侧面积为756m2，则该正六棱台的体积为()A．19982m3B．19983m3C．20042m3D．18643m3解析：取上、下底面中心分别为P，Q，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为M，N，连接PM，QN，由底面是正六边形性质可得PM⊥AD，QN⊥BC，由上底面边长为18m，下底面边长为24m，可得AP＝18m，QB＝24m，则PM＝93m，QN＝123m，再由侧面积为756m2，可得12(18＋24)×MN×6＝756⇒MN＝6m，根据勾股定理得PQ＝62-123-932＝3(m)，所以正六棱台的体积为V＝13×(12×182×32×6＋12×242×32×6答案：B8．(2025·浙江绍兴模拟)如图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB，AC，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB.记α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝A．sinβ＝cosγcosδB．cosβ＝cosγcosδC．sinα＝cosD．cosα＝cos解析：CMNK是矩形，则CM⊥MN，又CM∥KN，KN⊥OB，则CM⊥OB，而MN∩OB＝N，MN，OB⊂平面OBD，所以CM⊥平面OBD，又OM⊂平面OBD，所以CM⊥OM，同理可得MN⊥平面OAB，而OK⊂平面OAB，因此MN⊥OK，又MN∥KC，所以KC⊥OK，所以cosα＝ONOK，sinα＝NKOK，cosβ＝OKOC，sinβ＝CKOC，cosγ＝ONOM，sinγ＝MNOM，cosδ＝OMOC，sinδ＝CMOC，其中CM＝KN，CK＝MN，因为cosγcosδ＝ONOM·OMOC＝ONOC，sinβ＝CKOC＝MNOC，cosβ＝OKOC，所以cosγcosδ≠sinβ，cosγcosδ≠cosβ，故A，B不正确；因为cosγcosδcosβ＝答案：D二、多项选择题(每小题6分，共12分)9．(2025·贵州贵阳模拟)DeepSeek的火爆源于其突破性AI技术的高效应用，充分展现了人工智能在驱动创新解决方案和满足广泛市场需求中的核心作用．某高中的数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法错误的是()A．甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数r≈0.97，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱B．乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为y＝0.3x＋8，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次可能为17次C．丙小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，计算得到χ2＝3.837>2.706＝x0.1，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异D．丁小组用决定系数R2来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的R2分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多解析：对于A，由r的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误；对于B，回归方程为y＝0.3x＋8给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次可能为17次，故B正确；对于C，χ2＝3.837>2.706＝x0.1，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次有差异，故C错误；对于D，R2表示模型对因变量的解释比例，R2大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故D正确．故选AC.答案：AC10．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的(如图阴影区域)，A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则()A．开口向上的抛物线的方程为x2＝4yB．|AB|＝4C．直线x＋y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为2D．阴影区域的面积不大于32解析：对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为C：y2＝4x，顶点在原点，焦点为F1(1，0)，将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2(0，1)，则其方程为x2＝4y，故A正确．对于B，根据A项分析，由y2=4x，x或x＝4，即xA＝4，代入可得yA＝4，即A(4，4)，由图象的对称性可得B(4，－4)，所以|AB|＝8，故B错误．对于C，设直线y＝x+m1与抛物线y2＝4x相切，联立y=x+m1，y2=4x可得y2－4y＋4m1＝0，由Δ＝16－16m1＝0，可得m1＝1，且方程y2－4y＋4m1＝0即为y2－4y＋4＝0，解得y＝2，x＝1，此时切点坐标为(1，2)．设直线y＝x＋m2与抛物线x2＝4y相切，联立y=x+m2，x2=4y，可得x2－4x－4m2＝0，由Δ＝16＋16m2＝0，可得m2＝－1，此时方程x2－4x－4m2＝0即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，y＝1，此时切点坐标为(2，1)．两切点连线的斜率为1-22-1＝－1，即切点的连线与直线x＋y＝t平行或重合，故当M(1，2)，N(2，1)时，|MN|取最大值，且其最大值为|MN|＝1-22+如图，对函数y＝14x2求导得y′＝12x，则抛物线y＝x24在点A(4，4)处的切线斜率为12×4＝2，所以抛物线y＝x24在点A处的切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4，令y＝0，可得x＝2，该切线交x轴于点E(2，0)，所以半个花瓣的面积必小于S△AOE＝12×2×4＝4，故原图中的阴影部分面积必小于8S△AOE＝8答案：ACD三、填空题(每小题5分，共10分)11．(2025·江西南昌模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为2的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为________．解析：已知每段圆弧的圆心角为2π3.题目中表明第一段圆弧到第n段圆弧的半径成等差数列2，4，6，…，2n.当“蚊香”恰好有9时，该等差数列的首项a1＝2，末项a9＝2×9＝18，项数n＝9.根据等差数列求和公式可得这9段圆弧半径的总和为2+18×92.所以“蚊香”的长度为答案：60π12．雅鲁藏布大峡谷地区是世界上山地生态系统类型、植被类型、生物群落最丰富的峡谷谷地，是我国重要的山地生物物种资源基因库．为持续推进专项调查和监测