专题强化练25实际背景中的决策问题

专题强化练25实际背景中的决策问题授课提示：对应专题强化练49页(分值：60分)解答题(共60分)1．(15分)(2025·河南郑州模拟)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：触发警报时状态分布未触发警报时状态分布正常25台正常450台故障475台故障50台运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：状态/操作保持运行快速诊断深度检修正常013故障1046假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．(1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率；(2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：方案甲触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；方案乙触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；方案丙触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优．答案：(1)设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A，服务器未触发警报时其处于故障状态记为B.由题意可知n(Ω)＝500，n(A)＝475，由古典概型知识可知P(A)＝nAnΩ＝答案：(2)∵P(A)＝0.95，∴P(A)＝1－P(A)＝0.05，又n(B)＝50，∴P(B)＝nBnΩ＝∴P(B)＝1－P(B)＝0.9.方案甲触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为E1＝0.95×6＋0.05×3＝5.85(千元)．未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为E2＝10×0.1＋0×0.9＝1(千元)．∴E甲＝E1＋E2＝6.85(千元)．方案乙触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E3＝0.95×4＋0.05×1＝3.85(千元)．∴E乙＝E2＋E3＝1＋3.85＝4.85(千元)．方案丙未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E4＝0.1×4＋0.9×1＝1.3(千元)，∴E丙＝E1＋E4＝5.85＋1.3＝7.15(千元)．∵E乙<E甲<E丙，∴方案乙更优．2．(15分)甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1(1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；(2)如果比赛采用五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；(3)如果每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1)，乙获胜的概率为q(q＝1－p)，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．答案：(1)设事件A＝“比赛采用三局两胜制甲胜”，则P(A)＝232+C21(答案：(2)比赛的局数X的所有可能取值为3，4，5，可得P(X＝3)＝(23)3＋(13)3＝927P(X＝4)＝C3223P(X＝5)＝C42所以随机变量X的分布列为X345P1108所以期望为E(X)＝3×13＋4×1027＋5×827答案：(3)采用三局两胜制进行比赛甲获胜的概率f(p)＝p2+C21p2(1－p)＝p2(3采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率g(p)＝p3+C32p31－p＋C42p3(1－p令g(p)－f(p)＝3p2(2p3－5p2＋4p－1)＝3p2(p－1)2·(2p－1)，因为0<p<1，所以3p2(p－1)2>0.当p＝12时，g(p)＝f(p)；当0<p<12时，g(p)<f(p)；当12<p<1时，g(p)>f(所以当0<p<12时，选择当12<p<1当p＝12由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利．3．(15分)基础学科招生改革试点也称“强基计划”，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．报考强基计划的考生需参加由试点高校自主命题的考试．(1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力指标x和判断力指标y进行统计分析，得到下表数据：x6891012y23456请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的经验回归方程y＝bx＋a(精确到0.01)．(2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为25，该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为m，14，23，其中0<附：x和y的样本相关系数若(y)，a＝y-bx.答案：(1)根据表格中的数据，可得x＝6+8+9+10+125＝9，y＝2+3+4+5+65＝4，＝12＋24＋36＋50＋72＝194，＝36＋64＋81＋100＋144＝425，＝4＋9＋16＋25＋36＝90，所以样本相关系数r＝194-5×9×4425-5×故y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合．b＝＝194-5×9×4所以a＝4－9×0.7＝－2.3.故所求经验回归方程为y＝0.7x－2.3.答案：(2)设该考生通过甲高校的考试科目数为X，则X～B(3，25)，E(X)＝3×25＝设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，P(Y＝0)＝(1－m)×(1－14)×(1－23)＝14(1－P(Y＝1)＝m×(1－14)×(1－23)＋(1－m)×14×(1－23)＋(1－m)×(1－14)×P(Y＝2)＝m×14×(1－23)＋m×(1－14)×23＋(1－m)×1P(Y＝3)＝m×14×23所以E(Y)＝712-13m＋2×(16+512m)＋3当E(Y)<E(X)时，该考生更应报考甲高校，此时1112＋m<65，得0<m<当E(Y)＝E(X)时，该考生可报考甲、乙高校，此时1112＋m＝65，得m＝当E(Y)>E(X)时，该考生更应报考乙高校，此时1112＋m>65，得17604．(15分)春节是中华民族的传统节日，每逢春节来临前，各地均举行丰富多彩的“赶年货大集”活动．某商户为了促销，在活动最后几天决定对所有未售出商品“八折”销售，对购买者在付款前还增设了先抽奖后付款奖励．商户在抽奖箱中放入质地完全相同的m个红球和n个黄球(m>1，n>1，m∈N*，n∈N*)，规则规定：购买者从箱中1次抽出2个小球，若抽中1个红球和1个黄球，则给予“折上折”付款奖励，即再打一次“八折”，否则按原定“八折”付款．每位购买者只抽一次，抽后小球要放回，下一位购买者再抽．(1)当m＝2，n＝2时，若3位购买者中有X位获得“折上折”付款奖励，求X的分布列与数学期望；(2)某购买者在抽奖前对商户说：“你先抽出1个小球后我再按上述规则抽取，如何？”．请你帮商户分析是否同意购买者的要求，说明你的理由．答案：(1)由题意得当m＝2，n＝2时，共有4个球，从4个球里抽取2个，共有C42＝6(种抽取1个红球和1个黄球则有C21C2则1次抽奖获得“折上折”付款奖励的概率为P＝46＝2若3位购买者中有X位获得“折上折”付款奖励，则X～B(3，23由二项分布概率公式得P(X＝0)＝C30230(1－23)3P(X＝1)＝C31231(1－23)3P(X＝2)＝C32232(1－23)3P(X＝3)＝C33233(1－23)3则X的分布列为X0123P1248由二项分布的期望公式得E(X)＝3×23＝答案：(2)首先，我们设按照原规则获得“折上折”付款奖励的概率为P1，按照新规则获得“折上折”付款奖励的概率为P2，按照原规则，P1＝Cm1Cn1按照新规则，若先抽出1个红球