专题强化练22计数原理与概率

专题强化练22计数原理与概率授课提示：对应专题强化练41页(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2025·河北张家口模拟)从集合{1，2，3，…，8，9}中随机取出4个不同的数，并将其按从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为()A．110B．C．536D．解析：任取4个不同的数，且从大到小排列可得所有的情况有C94＝126(种)，则第2个数为7的情况有C21C62＝30(种答案：D2．(2025·广东揭阳模拟)若x4＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1－x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1－x)4，则a0＋4a2＝()A．－15 B．－2C．2 D．15解析：显然仅有a4(1－x)4有含x4的项，所以x4＝a4·C4414－4·x4，解得a4＝1.代入x＝－1，可得a0＋4a2＋16a4＝1，所以a0＋4a2＝1－16a答案：A3．(2025·河北沧州模拟)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)＝13，P(AB)＝13，则P(A|B)＝(A．12B．C．25D．解析：因为P(B)＝13，所以P(B)＝1－P(B)＝1－13＝23，又因为P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝23，P(AB)＝13，所以P(AB)＝13，所以P(A|B)＝PAB答案：A4．(2025·江西萍乡模拟)将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有()A．720种 B．120种C．32种 D．30种解析：六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数．封顶位置k可在第2，3，4，5位，对于每个k，左边需选k－1个数并按升序排列，右边选6－k个数并按降序排列．当k＝2时，左边选1个数，方式有C51＝5(种)；当k＝3时，左边选2个数，方式有C52＝10(种)；当k＝4时，左边选3个数，方式有C53＝10(种)；当k＝5时，左边选4个数，方式有C54＝5(种)．所以C51+C52答案：D5．(2025·江西新余模拟)2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓球金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由孙颖莎和王楚钦组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4∶2的比分赢得胜利．假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为23，则“莎头”组合再次以4∶2获胜的概率为(A．80729B．C．80243D．解析：“莎头”组合再次以4∶2获胜，即前5局“莎头”组合胜3局、负2局，第6局“莎头”组合获胜，所以“莎头”组合再次以4∶2获胜的概率P＝C53233×(1－23)2答案：B6.(2025·河南郑州模拟)将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1～8八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则P(max(X，Y)＝8|min(X，Y)＝4)＝()A．215 B．C．49 D．解析：设事件A为min(X，Y)＝4.当min(X，Y)＝4时，分两种情况：第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况；第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况．两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况，所以事件A包含的基本事件数为5＋5－1＝9.设事件B为max(X，Y)＝8，则事件AB为max(X，Y)＝8且min(X，Y)＝4，有X＝4，Y＝8和X＝8，Y＝4两种情况．由条件概率公式得P(B|A)＝PABPA＝nABn答案：B7．(2025·安徽淮北模拟)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为()A．715B．C．725D．解析：从甲箱中随机取出1个球，甲箱中有3个红球和2个白球，那么从甲箱中取出红球的概率P1＝33+2＝35；取出白球的概率P2＝23+2＝25.若从甲箱中取出1个红球放入乙箱，则乙箱中有3个红球和3个白球，从6个球中取出2个球的组合数为C62＝6×52×1＝15(种)；从3个红球中取出2个红球的组合数为C32＝3×22×1＝3(种)；从3个白球中取出2个白球的组合数为C32＝3(种)．所以在从甲箱取出红球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率P3＝C32+C32C62＝3+315＝25.若从甲箱中取出1个白球放入乙箱，则乙箱中有2个红球和4个白球，从6个球中取出2个球的组合数为C62＝15(种)；从2个红球中取出2个红球的组合数为C22＝1(种)；从4个白球中取出2个白球的组合数为C42答案：B8．(2025·河南郑州模拟)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为()A．213B．C．113D．解析：将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，若各组教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为C63×A44＝480(种)；若各组教师人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为C62×C42×A44A22＝1080(种)，故不同的安排方法共有480＋1080＝1560(种)．将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，若教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为C41×A44＝96(种)答案：A二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．(2025·安徽马鞍山模拟)已知二项式(x2-1x)n的展开式中各项系数之和为1A．展开式中共有6项B．展开式中二项式系数的和为64C．展开式中常数项为15D．展开式中系数最大的项是第2项解析：由题可得展开式通项为Tk＋1＝Cnk(12)n－k(x)n－k2·(－1)k(x)－k＝Cnk12n－k·－1kxn－3k2.对于A，令x＝1，可得展开式各项系数和，则-12n＝164⇒n＝6，则展开式共有7项，故A错误；对于B，二项式系数和为＝(1＋1)6＝64，故B正确；对于C，对于通项，令6-3k2＝0⇒k＝2，则常数项为T3＝C62126－2·(－1)2＝1516，故C正确；对于D，由通项，可得各项系数依次为答案：BC10．(2025·河南多校联考)高考来临之际，某校食堂的午饭针对高三学生推出了多种营养套餐，其中10元套餐是从A，B，C，D，E五道菜中任选三道菜，甲、乙两位同学午饭都选择了此套餐，假设甲、乙两人选择每道菜品都是等可能的且两人选择菜品互不影响，则()A.甲选了A的概率为2B．甲选了A且乙不选B的概率为6C．甲、乙两人所选的菜品完全相同的概率为1D．甲、乙两人选的菜品恰有一个相同的概率为3解析：对于A，甲同学选A这道菜的概率为C42C53＝610＝35，故A错误；对于B，甲选了A且乙不选B的概率为C42C53·C43C53答案：BD11．(2025·山东泰安模拟)我校举办清明诗会，在抽奖环节中，抽奖箱中放有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片，甲、乙、丙三人每人抽一张，抽后不放回．抽奖规则如下：若抽到写有“我”或“是”字的卡片则不中奖，若抽到写有“中”字的卡片，则该同学中一等奖；若抽到写有“国”或“人”字的卡片，则抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币国徽一面朝上，则该同学中二等奖，否则不中奖．则下列说法正确的是()A．每位同学中一等奖的概率为1B．甲同学中二等奖的概率为1C．已知甲同学中奖，则其中一等奖的概率为1D．三位同学都中奖的概率为1解析：对于A，由题知抽奖箱共有五张卡片，写有“中”字的卡片只有一张，由古典概率公式可知，从五张中取一张卡片，中一等奖的概率为15，由简单随机抽样可知A正确；对于B，由题知甲同学中二等奖的概率为P＝25×12＝15，故B错误；对于C，记事件E：甲同学中奖，事件F：甲同学中一等奖，则P(E)＝15+25×12＝25，P(EF)＝15，所以P(F|E)＝PEFPE＝1525＝12，答案：ACD三、填空题(每小题5分，共15分)12．(2025·湖北黄冈模拟)甲、乙等5人去A，B，C三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为________种．解析：由题意知5人去三个地方，不同分组有1，1，3或1，2，2，则不同的游览方法的种数为C种数为C31A33+C答案：11413．(2025·河北唐山模拟)(x－3y2)(x＋y2)7的展开式中x4y8的系数为________．(用数字作答)解析：(x－3y2)(x＋y2)7的展开式中含有x4y8的项为x·C74x3y24－3y2·C答案：－7014．(2025·山东临沂模拟)已知正整数n，欧拉函数φ(n)表示1，2，…，n中与n互质的整数的个数，例如，φ(4)＝2，φ(10)＝4，且a，b互质时，φ(ab)＝φ(a)φ(b)．若从1，2，…，10中随机取一个数m，则满足φ(2m)＝φ(3m)的概率为__________．解析：当m＝1时，φ(2)＝1，φ(3)＝2，此时φ(2m)≠φ(3m)；当m＝2时，φ(4)＝2，φ(6)＝2，此时φ(2m)＝φ(3m)；当m＝3时，φ(6)＝2，φ(9)＝6，此时φ(2m)≠φ(3m)；当m＝4时，φ(8)＝4，φ(12)＝4，此时φ(2m)＝φ(3m)；当m＝5时，φ(10)＝4，φ(15)＝8，此时φ(2m)≠φ(3m)；当m＝6时，φ(12)＝4，φ(18)＝6，此时φ(2m)≠φ(3m)；当