专题强化练23分布列

专题强化练23分布列、期望与方差授课提示：对应专题强化练43页(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1．已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，0.6，0.2，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为()A．0.408B．0.384C．0.246D．0.532解析：由题意可得所求事件的概率为P＝0.8×0.6×(1－0.2)＋(1－0.8)×0.6×0.2＝0.408.故选A.答案：A2．(2025·山东临沂模拟)已知随机变量ξ～N(0，2a)，为使ξ在(－12，12)内的概率不小于0.9545(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.9545)，则A．8B．16C．32D．64解析：若随机变量ξ～N(0，2a)，则μ＝0，σ2＝2a>0，P(|ξ－μ|<2σ)＝P(－22a<ξ<22a)＝0.9545，为使ξ在(－12，12)内的概率不小于0.9545，则22a≤1答案：C3．(2025·江西九江模拟)新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)＝()A．43B．4C．23D解析：∵每名教师抽到问题A的概率为C82C93＝13，由题意可知X～B(6，13)，∴E(X答案：D4．(2025·湖北武汉模拟)已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(12，14)，记函数f(x)＝P(ξ≤x)，则f(x)A．关于直线x＝12B．关于直线x＝14C．关于点(12，D．关于点(14，解析：由连续型随机变量ξ服从正态分布N(12，14)，可得μ＝12，σ2＝14，可得μ＝12，σ＝12，所以正态密度曲线关于x＝12对称，即P(ξ≤x)＝P(ξ≥1－x)，由f(x)＝P(ξ≤x)，可得f(x)＝P(ξ≤x)在x≤12时增加较快，在x>12时增加越来越慢，所以f(x)无对称轴，故AB错误；f(x)＋f(1－x)＝P(ξ≤x)＋P(ξ≤1－x)＝P(ξ≥1－x)＋P(ξ≤1－x)＝1，所以f(x)关于点答案：C二、多项选择题(每小题6分，共12分)5．(2025·山东日照模拟)已知样本空间Ω＝{5，6，7，8}，其中每个样本点出现的可能性相等，事件A＝{5，6}，B＝{5，7}，C＝{5，8}，则下列结论正确的是()A．事件A与事件B互斥B．事件B与事件C相互独立C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)D．P(A|C)＝P(C|A)解析：由A∩B＝{5}，即A，B不是互斥事件，A错误；由B∩C＝{5}，则P(BC)＝14，且P(B)＝P(C)＝12，故P(BC)＝P(B)P(C)，B正确；由A∩B∩C＝{5}，则P(ABC)＝14，且P(A)＝12，显然P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，C错误；由A∩C＝{5}，则P(AC)＝14，故P(A|C)＝PACPC＝12＝P答案：BD6.已知正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，X～N(1，σ2)，则下列选项中可以表示图中阴影部分面积的是()A．12－P(X≤B．12－P(X≥C．12－P(1≤X≤D．12P(X≤2)－12P(X解析：正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线关于直线X＝1对称，可得图中阴影部分的面积为P(0≤X≤1)，可表示为P(0≤X≤1)＝P(X≤1)－P(X≤0)＝12－P(X≤0)＝12－P(X≥2)，故AB正确；由对称性可得12－P(1≤X≤2)＝P(X≥2)＝P(X≤0)，故C错误；由对称性可得P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，所以P(0≤X≤1)＝12[P(X≤2)－P(X≤0)]答案：ABD三、填空题(每小题5分，共10分)7．(2025·安徽滁州模拟)某市高三年级男生的体重ξ(单位：kg)近似服从正态分布N(60，σ2)．若P(ξ<56)＝0.2，则P(60<ξ<64)＝________.解析：因为体重ξ近似服从正态分布N(60，σ2)，所以正态密度曲线关于ξ＝60对称，所以P(ξ>64)＝P(ξ<56)＝0.2，则P(56<ξ<64)＝1－P(ξ>64)－P(ξ<56)＝1－0.2－0.2＝0.6，所以P(60<ξ<64)＝12P(56<ξ<64)＝12×0.6答案：0.38．(2025·河南南阳模拟)某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值为a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________元．解析：设保险公司要求顾客交x元保险金，若ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，ξ的取值范围为{x－a，x}，P(ξ＝x－a)＝p，P(ξ＝x)＝1－p，则ξ的分布列为ξx－axPp1－p因此，公司每年收益的期望值E(ξ)＝p(x－a)＋x(1－p)＝x－ap，为使公司收益的期望值为a的百分之十，所以x－ap＝0.1a，解得x＝ap＋0.1a＝(p＋0.1)a.答案：(p＋0.1)a四、解答题(共38分)9．(10分)(2025·河南周口模拟)小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为34(1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率．(2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望．答案：(1)小张、小陈、小王答对题目分别记为事件A，B，C，小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件D，P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×56×(1－12)＋23×12×(1－56)故在小林答对的情况下，恰有3位同学答对题目的概率为1736答案：(2)设Xi表示第i位同学的得分(i＝1，2，3，4，分别对应小林，小张，小陈，小王)，则X＝X1＋X2＋X3＋X4，由数学期望的性质可知E(X)＝E(X1)＋E(X2)＋E(X3)＋E(X4)．对于Xi，答对得2分，答错得0分，Xi服从两点分布，E(X1)＝2×34＋0×(1－34)＝E(X2)＝2×23＋0×(1－23)＝E(X3)＝2×56＋0×(1－56)＝E(X4)＝2×12＋0×(1－12)＝则E(X)＝E(X1)＋E(X2)＋E(X3)＋E(X4)＝32+43+10．(13分)(2025·河北张家口模拟)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率．(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．答案：(1)由已知恰好有2名医生来自同一科室的情况包含这2名医生“都来自A科室”和“都来自B科室”，有C所以所求的概率为C22C6答案：(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝C50C64C114＝122，P(X＝1)＝C51C63C114＝1033，P(X＝2)＝C52C6X01234P110521所以E(X)＝0×122＋1×1033＋2×511＋3×211＋4×11．(15分)(2025·安徽黄山模拟)为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：每周体育锻炼的时间(小时)[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)人数34811每周体育锻炼的时间(小时)[8，10)[10，12)[12，14)[14，16]人数412085用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(μ，δ2)，μ近似为样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，δ近似为样本标准差s，并已求得s≈3，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)该校共5000人，试估计该校大约有多少个学生平均每周的体育锻炼时间在15小时以上(结果四舍五入)；(2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案：(1)由题设μ＝3×1+4×3+8×5+11×7+41×9+20×11+8×13+5×15100＝9，且δ＝3所以该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(9，32)，由P(X>15)＝P(X>μ＋2δ)＝1-Pμ-2δ≤X所以估计该校大约有0.02275