专题强化练21圆锥曲线与其他知识的交汇问题

专题强化练21圆锥曲线与其他知识的交汇问题授课提示：对应专题强化练40页(分值：30分)解答题(共30分)1．(15分)(2025·安徽合肥模拟)记抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点P1，取FP1的中点M1，直线OM1与E交于另一点P2，取FP2的中点M2，以此类推，记直线OMn的斜率为kn.(1)求点P2的坐标；(2)证明：{kn＋1－kn}是递减数列；(3)记△OPnPn＋1的面积为Sn，证明：6n<<13·(65)n－13.答案：(1)如图所示，联立y=x，x2=4y，解得x=0，y=0或x=4又F(0，1)，所以M1(2，52)，k1＝52-02-0＝54，故直线OP2：联立y=54x，x2=4y，解得x=0，y=0答案：(2)证明：联立y=knx，所以Mn+1(2kn，4kn2+12)，所以kn＋1－kn＝14又因为k1＝54>0，故kn>0，所以kn＋1－kn>0，即kn＋1>kn，故{kn}又由kn>0，可知{14kn}是递减数列，于是{kn＋1－k答案：(3)证明：由(2)得，当n≥2时，PnSn＝12·4kn·4kn2＝8kn3-8kn-13-8k＝8kn-1+14kn-13-8kn-13－8(2kn－＝8kn-13+6kn＝2kn－1＋12kn-1＝2kn(n而S1＝12×5×254-12×4×4－12×(5－4)×(254＋4)＝52＝2k而kn≥k1＝54，故≥2nk1＝52n>6n又14kn≤14k1＝15<15k1≤15kn，故kn＋由累乘法可知kn<k1·(65)n－1＝54·(65)n－1(n而k1＝54·(65)1－1，故kn≤54·(65)故≤2×54＝252[65n－1]<13·综上，6n<<13·65n－13.2．(15分)(2025·广东广州模拟)如图①，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)．当θ＝π2时，|OA|＝5(1)求抛物线C的方程；(2)如图②，把△ADF沿DF翻折为△PDF，使得二面角P-DF-B的大小为2π3①若θ＝π3，求直线BD与平面PBF②证明：三棱锥D-PBF的体积为定值．答案：(1)当θ＝π2时，AF⊥DF，所以点A的坐标为(p2，因为|OA|＝5，所以p22+p2＝5所以抛物线C的方程为y2＝4x.答案：(2)①在平面直角坐标系中，若θ＝π3，则直线AB的方程为y＝3(x－1)联立y=3x-1，y2=4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x所以点A，B的坐标分别为(3，23)，(13，－2过点O作平面DBF的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则D(－1，0，0)，B(13，－233，0)，F(1，0，0)，当二面角P-DF-B的大小为2π3时，由平面图形知|PF|＝所以点P(3，4×sinπ3×cos(π－2π3)，4×sinπ3×sin(π－2π3))，即P(3，所以BD＝(－43，233，0)，PF＝(－2，－3，－3)，BF＝设平面PBF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PF解得x=-3y，z=33y，取y＝3，得n＝(设直线BD与平面PDF所成角为θ，则sinθ＝BD·nBDn＝所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为991②证明：由题意得VD-PBF＝VP-BDF＝13·S△BDF·zp＝13·(12·|DF|·|BF|·sin[|PF|·sinθ·sin(π－2π3)]＝36·|BF|·|PF|·sin2当θ＝π2时，|BF|＝|PF|＝2，VD-PBF＝36·2·2·sin2π2当θ≠π2时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立{y=k(x-1)y2=4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k则Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0，x1＋x2＝2k2+4k2，x1因为sin2θ＋cos2θ＝1，k＝tanθ＝sinθcosθ，所以sin2θ＋sinθk2＝1，得sin2所以VD-PBF＝36·|BF|·|PF|·sin2θ＝36·|BF|