专题强化练20圆锥曲线中的二级结论的应用

专题强化练20圆锥曲线中的二级结论的应用授课提示：对应专题强化练38页(分值：57分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1．设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PFA．1B．2C．4D．5解析：因为PF1·PF2＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝12×|PF1|·|PF2|，所以|答案：B2.设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的顶点为A1，A2，P为双曲线上一点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于点M，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1且k1＋4k2A．2B．5C．5D．4解析：利用双曲线过中心弦结论kPA1k即(－1k1)(－k14)＝14＝b2a2，即e＝c答案：B3．设F1，F2为椭圆C：y2＋x2n＝1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C上存在点P，满足∠F1PF2＝120°，则实数n的取值范围为(A．(0，14]B．[14C．(0，22]D．[22解析：易知当点P位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2最大，且△PF1F2的面积也最大，故b2tanθ2≤12×2c×b.即3n≤12×21-n×n，又0<n<1，解得答案：A4．(2025·江西新余模拟)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为()A．32B．C．12D．解析：由x2＝4y得y＝14x2，y′＝12x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为y－y1＝12x1(x－x1)，y－y2＝12x2(x－x2)，即x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E(2y1x1，0)，F(2y2x2，0)，即E(x12，0)，F(x22，0)，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则2x1=2-1+y1，2答案：C二、多项选择题(每小题6分，共12分)5．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为125π，离心率为23，F1，F2是椭圆C在x轴上的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(A．椭圆C的标准方程为x236B．若∠F1AF2＝π3，则S△F1AF2＝20C．存在点A，使得∠F1AF2＝πD．2AF1解析：对于A，由ab=125，ca=23，a2=b2+c2，解得a＝6，b＝25，c＝4，则椭圆C的标准方程为x236+y220＝1，故A正确；对于B，令θ＝∠F1AF2，S△F1AF2＝b2·tanθ2＝2033，故B错误；对于C，当点A为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大，此时cos∠F1AF2＝62+62-822×62＝19>0，所以∠F1AF2为锐角，则不存在点A，使得∠F1AF2＝π2，故答案：AD6．(2025·辽宁抚顺模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是()A．|AB|的最小值为4B．设Q(3，2)，则△QAF周长的最小值为4C．以AF为直径的圆与y轴相切D．若BF＝2FA，则直线l的斜率为22或－22解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－1，所以p2＝1，则p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，易知直线AB的斜率不为零，设其方程为x＝my＋1，联立x=my+1，y2=4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理可得y2－4my－4＝0，易知Δ>0，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4≥4，所以|AB|的最小值为2p＝4，故A正确；如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于A1，F(1，0)，根据抛物线的定义可得|AF|＝|AC|，所以△QAF的周长为|AF|＋|AQ|＋|QF|＝|AC|＋|AQ|＋3-12+22＝|AC|＋|AQ|＋22，由图可知，当A，C与点Q三点共线时，|AC|＋|AQ|有最小值，最小值为Q到准线x＝－1的距离，其值为3－(－1)＝4，所以(|AC|＋|AQ|)min＋22＝4＋22，所以如图，取AF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，因为AA1∥OF，DD1是梯形OFAA1的中位线，由抛物线的定义可得|AA1|＝|AC|－|A1C|＝|AF|－1，所以|DD1|＝OF+AA12＝1+AF-12＝AF2，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；因为BF＝2FA，所以y2＝－2y1，解得y2＝8m，y1＝－4m，所以32m2＝4，解得m2＝18，所以k＝答案：ACD三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M，N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程为__________________________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，B(0，4)，由重心公式得x1＋x2＋0＝6，y1＋y2＋4＝0，∴线段MN的中点为D(3，－2)，由垂径定理得kOD·kMN＝e2－1＝－45(O为坐标原点)，∴kMN＝65，∴直线l的方程为6x－5y－28答案：6x－5y－28＝08．(2025·湖南长沙模拟)已知双曲线C：x2－y2b2＝1(b>0)，在双曲线C右支上任意一点P处作双曲线C的切线，交C在第一、四象限的渐近线分别于A，B两点，O为坐标原点．当S△OPA＝1解析：如图，设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D，根据题意设点P在双曲线第一象限，由x2－y2b2＝1(b>0)得y＝b2x2-b2，所以y′＝b2xb2x2-b2，则在点P(xP，yP)处的切线斜率为k＝b2xPb2xP2-b2＝b2xPyP，所以在点P(xP，yP)的切线方程为xPx－yPyb2＝1，令y＝0，得x＝1xP，所以点D(1xP，0)．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，渐近线方程为y＝±bx，联立y=bx，xPx-yPyb2=1，解得x1=bbxP-yP，y1=b2bxP-yP，所以点A(bbxP-yP，b答案：5四、解答题(共15分)9．(15分)(2025·河北邢台模拟)已知A(0，2)，P是抛物线C1：x2＝4y上任一点，Q为PA的中点，记动点Q的轨迹为C2.(1)求C2的方程；(2)过点P作曲线C2的两条切线，切点分别为M，N，求点P到直线MN的距离的最小值.答案：(1)设Q(x，y)，因为Q为PA的中点，所以点P的坐标为(2x，2y－2)，又点P是抛物线C1：x2＝4y上任一点，所以(2x)2＝4(2y－2)，整理得x2＝2y－2，即C2的方程为x2＝2y－2.答案：(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y0＝14x02，x12由抛物线C2的方程为x2＝2y－2，