微专题22　实际应用问题

微专题22实际应用问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A．2 B．4C．20 D．402．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝S-1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(A．3N2＝2N1B．2N2＝3N1C.ND．N233．(2022·新高考Ⅱ卷)图①是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.94．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：高中数学知识在实际应用中的考查一直受新高考命题人的青睐，既考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，又体现创新思维，契合新高考对考生综合素养的考查要求．预测角度1指、对函数的实际应用预测1(多选)阿伦尼乌斯公式是用于描述化学反应速率常数随温度变化关系的经验公式，它的指数形式为k＝Ae-EaRT，其中A为表观频率因子，k为反应速率常数，T为热力学温度(T>0)，R为摩尔气体常数，Ea为活化能．已知某化学反应过程中，热力学温度分别为T1，T2时的化学反应速率分别为k1，k2(k1，k2>0)，且此过程中A，R，Ea(均为正数)A．若T1>T2，则k1>k2B．若T2＝4T1，则k2＝kC．若T2＝2T1，－EaRT1＝M，则lnD．若T2＝2T1，－EaRT1＝M，则ln[听课笔记][对点练1](2025·山东淄博模拟)随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长．某公司现有新一代AI芯片A，B两套研发方案，若A设计方案中初始计算量为N1，每年增长50%；B设计方案中初始计算量为N2(N2＝3N1)，每年增长20%.如此预计至少几年后A设计方案计算量更高？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．4B．5C．6D．7预测角度2解三角形的实际应用预测2如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域AOB，两个凉亭分别坐落在点A及点C处，花园里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从凉亭A沿小路AD走到点D用了3分钟，从点D沿DC走到凉亭C用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径OA的长为________米(精确到1米)．[听课笔记][对点练2](2025·江西景德镇模拟)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin(θ－36.9°)A．12 B．C．22 D．预测角度3概率的实际应用预测3芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.35，5.55)，则下列说法正确的是(参考数据：P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9974)()A．P(B)>P(B|A)B．P(A|B)≤P(A|B)C．P(5.35<ξ<5.55)≈0.84D．P(m＝45)取得最大值时，M的估计值为54[听课笔记][对点练3](2025·四川成都模拟)碰碰车是一种充满乐趣和刺激的游乐设施，它可以让人们在享受快乐的同时，也能感受到速度和惊险．某游乐场的碰碰车设施包括碰碰车车辆及如图所示的三块并排平整的场地．某碰碰车在碰撞时每次都会从所在场地的通道口随机选择一个到达相邻场地或者到达场外，一旦碰碰车到达场外，本次游乐就结束．已知该碰碰车初始位置在1号场地，则游乐结束时该碰碰车是从1号场地到达场外的概率为________．预测角度4圆锥曲线的实际应用预测4我国高海拔宇宙线观测站“拉索”中的广角切伦科夫望远镜阵列主要用来捕捉切伦科夫光．望远镜的反射镜往往设计成抛物面，这利用了抛物线的光学性质：平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点处．假设某望远镜(图①)的反射镜为抛物面，其中心截面示意图如图②所示，AB为该望远镜反射面的口径，OP为径深，点M为探测器(光线聚集于此处)，AM，BM为支撑探测器的支架，已知|OP|＝32m，OMAB＝12，则探测器M到抛物面反射镜底部O的距离为________m；支架的夹角∠AMB[听课笔记][对点练4](2025·河南洛阳模拟)如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为12.3cm)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为()A．4 B．3C．3 D．2请完成：专题强化练37微专题22实际应用问题真题重做1．解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间答案：B2．解析：由题意可得2.1=两式相除得2.1lnN1＝3.15lnN2，即lnN12.1＝lnN23.15，所以答案：D3．解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD答案：D4．解析：因为Lp＝20×lgpp0随着p的增大而增大，且Lp1∈60，90，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p，因为Lp3＝40，所以p3＝p0104020=100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010lp答案：ACD命题预测预测1解析：对于A，由k＝AeEaRT得lnk＝lnA－EaRT，则lnk1＝lnA－EaRT1，lnk2＝lnA－EaRT2，所以lnk1k2＝lnk1－lnk2＝lnA－EaRT1－lnA＋EaRT2＝EaR(1T2-1T1)．若T1>T2，则1T2-1T1>0，因为EaR>0，所以lnk1k2>0，从而k1k2>1，又k1，k2>0，所以k1>k2，A正确．对于B，k1＝Ae-EaRT1，则e答案：AC[对点练1]解析：设x年后A设计方案计算量更高，则x年后，A设计方案计算量为N132x，B设计方案计算量为3N1·65x，则N132x>3N165x⇒54x>3⇒xlg54>lg3⇒x>lg3lg5答案：B预测2解析：设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意得CD＝300(米)，DA＝180(米)，∠CDO＝60°，在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即3002＋(r－180)2－2×300×(r－180)×12＝r2，解得r＝294011≈267(米答案：267[对点练2]解析：如图，tan∠ABC＝tan36.9°＝34，AC＝42，∴BC＝又BD＝50，∴CD＝6，根据勾股定理可知AD＝302.在△ABD中，根据正弦定理BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即50sinθ-36.9°＝3023答案：C预测3解析：对于A，因为A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，由条件概率的定义可知P(B|A)显然大于P(B)，故A错误；对于B，由A已得P(B|A)>P(B)，故P(A)P(B|A)>P(A)P(B)，因为P(B|A)＝PABPA，则P(AB)>P(A)P(B)，又P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝P(A)，故P(AB)>P(B)[P(AB)＋P(AB)]，即P(AB)[1－P(B)]>P(B)P(AB)，因为0<P(B)<1，故得PABPB>PAB1-PB，即PABPB>PABPB，故P(A|B)>P(A|B)，故B错误；对于C，因为质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，则μ＝5.40，σ＝0.05，μ－σ＝5.35，μ＋3σ＝5.55，因为P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9974，则P(μ－σ<ξ≤μ＋3σ)＝12[P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)]≈12(0.6826＋0.9974)＝0.84，故C正确；对于D，依题意，由C项所得，知m～B(M，0.84)，则P(m＝45)＝CM450.8445×0.16M－45，设f(x)＝Cx450.8445×0.16x－45，由fxfx-1＝Cx450.8445×0.16x－45Cx-1450.8445×0.16x－46＝0.16·xx-45<1解得答案：C[对点练3]解析：设碰碰车为M，用pi表示碰碰车M在i号场地最终从1号场地到达场外的概率，i＝1，2，3，即p1表示碰碰车M在1号场地最终从1号场地到达场外的概率，p2表示碰碰车M在2号场地最终从1号场地到达场外的概率，p3表示碰碰车M在3号场地最终从1号场地到达场外的概率．p1分为两种情况：①碰碰车M在1号场地从A或B出，概率为23；②碰碰车M在1号场地从C进入2号场地，概率为13，在2号场地最终从1号场地到达场外的概率为p2.故p1＝23p2分为两种情况：①碰碰车M从C到1号场地，概率为13，在1号场地最终从1号场地到达场外的概率为p1；②碰碰车M从D进入3号场地，概率为13，在3号场地最终从1号场地到达场外的概率为p3.故p2＝13p1＋1p3只有一种情况：碰碰车M从D到2号场地，概率为12，在2号场地最终从1号场地到达场外的概率为p2，所以p3＝12p综上所述，解得p1＝1013答案：10预测4解析：以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过O且与OM垂直的直线为y轴，建立如图所示