培优点 二　概率与其他知识的交汇问题

培优点二概率与其他知识的交汇问题真题重做探究命题人的思维模拟术(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率．(2)求第i次投篮的人是甲的概率．(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：与概率交汇融合的解答题应该是近几年高考考查的压轴题，既有综合性又有创新性，符合新高考改革特色．预测角度1与数列交汇的概率问题预测1某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分．连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束．(1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn.①求P1，P2，P3；②求证：数列{Pn－Pn－1}(2≤n≤9)是等比数列．(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？(精确到1元)[听课笔记]一方面要准确分析题中所涉及的事件是哪种事件类型，正确应用互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式、条件概率和全概率公式；另一方面熟练掌握等差、等比数列的判定方法，求数列通项公式的方法和求数列前n项和的方法．[对点练1](2025·河南南阳模拟预测)某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答n(n≥3)次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为1(1)记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；(2)记李明第i题回答正确的概率为Pi(i＝1，2，…，n)，证明：{Pi－12}为等比数列，并求{Pi}的通项公预测角度2与立体几何交汇的概率问题预测2在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，E为AD的中点，将点D沿着CE翻折到点P，二面角P－EC－D大小为θ(0<θ<π2)，连接PA，PB(1)若PC的中点为F，求证：EF∥平面PAB；(2)求四面体P－ABC的外接球表面积的取值范围；(3)一个动点M从点P开始，在四棱锥P－ABCE的棱上运动，定义一步运动为：在M所在顶点处随机选取一条与之相邻的棱，从所在顶点运动到该棱的另一个顶点(例如：若点M在点P处，分别有14的概率运动到A，B，C，E处．若点M在点E处，分别有13的概率运动到A，P，C处，以此类推)，现有一个质地均匀的骰子(六个面上数字分别是1，1，2，3，3，3)，每扔一次骰子，若骰子正面向上点数为k(k＝1，2，3)，则点M运动k步，求扔n次骰子后动点M仍在点[听课笔记][对点练2]如图，已知四面体ABCD中，AB⊥BD，BC⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，平面ABC⊥平面ACD.(1)求证：AB⊥CD；(2)在线段BD上是否存在一点E，使得直线CE与平面ACD所成角的正弦值为33，若存在，求出BE(3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3.试比较P1，P2，P3的大小．请完成：专题强化练26培优点二概率与其他知识的交汇问题真题重做答案：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.答案：(2)设P(Ai)＝Pi，依题意知P(Bi)＝1－Pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，即Pi＋1＝0.6Pi＋(1－0.8)×(1－Pi)＝0.4Pi＋0.2.构造等比数列{Pi＋λ}，设Pi＋1＋λ＝25(Pi＋λ)，解得λ＝－13，则Pi＋1－13＝25(Pi－13)，又P1＝12，P所以{Pi－13}是首项为16，公比为即Pi－13＝16×(25)i－1，所以Pi＝16×(25)i答案：(3)由(2)得，当n∈N*时，E(Y)＝P1＋P2＋…＋Pn＝16×1-25n1-25+n3＝518[1－(25)n]＋n3，所以E命题预测预测1答案：(1)①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为P1＝12；累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为P2＝12+12×12＝34；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为奇数或连续三次投掷都是奇数，其概率为②证明：由题知累计获得n分时有可能是获得n－1分时掷骰子点数为奇数或获得n－2分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为12所以Pn＝12Pn－1＋12Pn－2(3≤n≤则Pn－Pn－1＝－12(Pn－1－Pn－2)(3≤n≤9)，又P2－P1＝1故{Pn－Pn－1}(2≤n≤9)是首项为14，公比为－1答案：(2)由(1)知Pn－Pn－1＝14-12n-2，Pn－1－Pn－2＝14-12n-3，将所有等式相加得Pn－P1＝14·1--1所以Pn＝16[1－-12n－1]＋1当n＝1时，P1＝12适合上式，所以Pn＝23+13-所以P9＝23+13-129＝341512，P10＝12P8设一等奖的奖金为x元，二等奖的奖金为x2由题意知(x2·341512＋x·171512)×10解得x≤1024000683≈1499.27，即一等奖的奖金最多不超过1499[对点练1]答案：(1)依题意，随机变量X的可能取值为0，10，30，李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为1当X＝0时，两道生活类题目都答错，P(X＝0)＝(1－23)·(1－23)＝当X＝10时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，即P(X＝10)＝23(1－13)＋(1－23)×2当X＝30时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，P(X＝30)＝23×1所以随机变量X的分布列为X01030P122所以E(X)＝0×19＋10×23＋30×29答案：(2)证明：若李明第i道题目回答正确，则第i＋1道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为13若李明第i道题目回答错误，则第i＋1道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为23所以Pi＋1＝13Pi＋23(1－Pi)＝－13Pi则Pi＋1－12＝－13Pi＋23-12＝－13(Pi－12)因此数列{Pi－12}是首项为16，公比为－13的等比数列，即Pi－12＝16-13i-1，所以Pi＝12+16·-13i－1，{Pi预测2答案：(1)证明：取PB中点H，连接HF、AH.因为PC的中点为F，所以FH∥BC且FH＝12BC而AE＝12BC＝1，且AE∥BC，所以AE∥FH且AE＝FH所以四边形AEFH为平行四边形，所以AH∥EF，而AH⊂平面ABP，EF⊄平面ABP，所以EF∥平面PAB.答案：(2)连接BD，BD与AC交于点O′，取EC中点T，则DT⊥EC，PT⊥EC，则PT＝DT＝22且∠PTD为二面角P­EC­D的平面角，故∠PTD＝θ过P作PP′⊥DT垂足为P′，则TP′＝22cosθ，PP′＝22sin因为PT∩DT＝T，PT，DT⊂平面PDT，故EC⊥平面PDT，而EC⊂平面ABCD，故平面PDT⊥平面ABCD，平面PDT∩平面ABCD＝DT，PP′⊂平面PDT，故PP′⊥平面ABCD.如图，以点O′为原点，以过点O′且与BC平行的方向为x轴，以过点O′且与CD平行的方向为y轴，以过点O′且与平面ABCD垂直的方向为z轴建立空间直角坐标系，可得O′(0，0，0)，C(1，－12，0)，P′(12+12cosθ，12cosθ，0)，P(12+12cos由于球心在过△ABC的外心且垂直于平面ABC的直线上，所以设球心O的坐标为(0，0，h)．因为OC2＝OP2＝R2，所以12＋122＋h2＝(12+12cosθ)2＋14cos2θ＋(h－解得h＝cosθ-122sinθ＝－而0<θ<π2，所以tanθ2∈(0，1)，h∈(－24R2＝h2＋O′C2＝h2＋54∈(54所以四面体P­ABC的外接球表面积为4πR2∈(5π，11π2)答案：(3)设扔n次骰子后动点M仍在点P的概率为Pn.扔n次骰子后动点M仍在点P有两种情况，一种是扔n－1次骰子后动点M仍在点P，一种是扔n－1次骰子后动点M不在点P.而点M在A，B，C，E处扔一次骰子到点P的概率为13×13+16×23×13+12×(23×23×13+13×所以Pn＝518(1－Pn－1)＋16Pn－1，所以Pn－14＝－19(Pn－又P1＝16，故P1－14≠0，故Pn－14所以Pn－14＝(－19)n－1(P1－14)＝34-1[对点练2]答案：(1)证明：过B作BH⊥AC，交AC于H.因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BH⊂平面ABC，所以BH⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，所以BH⊥CD，又因为BC⊥CD，BH∩BC＝B，BH，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB.答案：(2)由(1)得CD⊥AB，又BD⊥AB，CD∩BD＝D，CD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD.因为BC＝CD＝2，故BD＝BC2+CD2＝22，AB＝AD如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，0，22)，C(2，2，0)，D(0，22，设E(0，t，0)，t∈[0，22]，所以AC＝(2，2，－22)，CD＝(－2，2，0)，CE＝(－2，t－设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则有n即2x+2y-22z=0，-2x+2y=0，令z＝1，则x＝设直线CE与平面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CE，n〉|＝CE·nCEn＝t-223·2+t-22＝33，解