微专题13　圆锥曲线中的焦点弦与中点弦问题

微专题13圆锥曲线中的焦点弦与中点弦问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(A．(1，1)B．(－1，2)C．(1，3)D．(－1，－4)2．(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2D．|BP|·|BQ|>|BA|23．(2025·天津卷)双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1FA．2 B．5C．2+12 D命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：圆锥曲线关于弦的问题一直是高考的命题热点，考查对椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、代数运算等的综合运用能力，符合高考“注重基础，突出能力”的命题原则．预测角度1椭圆中的中点弦问题预测1已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b(1)求椭圆C的方程．(2)已知M(12，1)是椭圆内一点，过点M作任一条直线与椭圆交于A，B两点，求以M为中点的弦AB(3)设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点G(－1，0)的直线l交椭圆C于P，Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．[听课笔记](1)解决中点弦问题的常用方法：根与系数的关系；点差法．(2)利用点差法需注意保证直线与圆锥曲线相交．[对点练1](2025·河北沧州模拟)已知椭圆C：y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的上焦点为F(0，c)(b>c)，右顶点为B，斜率为439的直线l交椭圆C于P，Q两点，若A．32或12 BC．32 D．预测角度2双曲线中的中点弦问题预测2(多选)斜率为2的直线l与双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与双曲线交于C，DA．x2a2-y2b2＝B．P也是线段CD的中点C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是－bD．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为(2，1)，则a＝b[听课笔记][对点练2](2025·河南开封模拟)已知点A，B，C是离心率为2的双曲线Γ：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上的三点，直线AB，AC，BC的斜率分别是k1，k2，k3，点D，E，F分别是线段AB，AC，BC的中点，O为坐标原点，直线OD，OE，OF的斜率分别是k′1，k′2，k′3，若1k1'+1k预测角度3抛物线的焦点弦问题预测3(多选)已知直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是()A．若k＝1，则|AB|＝8B．1AF+C．过点B作x＝－1的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线D．以AB为直径的圆与x＝－1相切[听课笔记]解决有关抛物线的焦点弦问题，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．[对点练3](2025·河南多校第二次联考)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F且不与x轴垂直的直线与E交于A，B两点，过AB的中点M作x轴的平行线交E于点N，则ABNF＝________________请完成：专题强化练17微专题13圆锥曲线中的焦点弦与中点弦问题真题重做1．解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得x12-y129＝1，x22-y229＝1，两式作差，得x12-x22＝y12-y2由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图所示，对于A，因为kAB＝9×11＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为kAB＝9×-12＝－92＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，kAB＝9×13＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为kAB＝9×-1-4＝94答案：D2．解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝12，所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－14，故A错误；由y＝x2，得y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，故B正确；设直线PQ方程为y＝kx-1，P(x1，x12)，Q(x2，x22)，将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝x12+x14·x22+x24＝答案：BCD3．解析：由题意知c＝p2，所以抛物线方程为y2＝4cx.因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP′|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝PF12-PP'2＝3c+a2-3c-a2＝23ac，把点P的坐标代入抛物线方程，可得答案：A命题预测预测1答案：(1)由题意得ca＝1将(3，32)代入椭圆方程得3a2+34b2＝1，又c2＝a2－b2，解得故椭圆C的方程为x24答案：(2)根据题意得中点弦AB所在直线的斜率存在，且M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x124＋y12所以x1+x2由M是AB的中点，得x1+x22＝12，y1+y22＝1所以以M为中点的弦AB所在的直线方程为y－1＝－38(x－12)，即6x＋16y－19答案：(3)当直线l的斜率为0时，此时D和P重合或D和Q重合，显然不满足条件kDP＋kDQ＝－1.当直线l的斜率不为0时，如图，设直线l的方程为x＝my－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由x=my-1，3x2+4y2=12，消去x，化简得(3m2＋Δ＝36m2－4×(3m2＋4)×(－9)＝144m2＋144>0，则y1＋y2＝6m3m2+4，y1y由题意，D(2，0)，则kDP＋kDQ＝y＝y1my＝2m×-93m2+4-3×6m3m2+4m2故存在满足条件的直线l，直线l的方程为x－y＋1＝0.[对点练1]解析：延长BF交PQ于点M，所以点M为PQ的中点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为B(b，0)，F(0，c)，点F为△BPQ的重心，所以x即x1+x2=-b，y1+y2=3c，所以M(－b2，3c2)．因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以y12a2＋x12b2＝1，y22a2＋x22b2＝1，两式相减得y12-y22a2＋x12-x22b2＝0，即y1-y2y1+y2答案：D预测2解析：对于A，x2a2-y2b2＝(xa-yb)(xa+y对于B，设直线方程为y＝2x＋m，分别联立x2a2-y2b2=1，y=2x+m与x2a2-y2b2=0，y=2x+m，得(1a2-4b2)x2－4mb2x－m2b2－1＝0和(1a2-4b2)x2－4mb2x－m2b2＝0，这两式的两根之和都是4mb21a2答案：ABD[对点练2]解析：因为双曲线Γ的离心率为2，所以ba＝3，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，因为点A，B在Γ上，所以x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减得x1+x2x1-x2a2＝y1+y2y1-y2b2，因为点D是AB的中点，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝答案：15预测3解析：对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．当k＝1时，由y=x-1，y2=4x，得x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6，由于直线过点F(1，0)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝8，A正确；对于B，如图，不妨设B位于第一象限，设直线的倾斜角为θ，由p－|AF|cosθ＝|AF|，故|AF|＝p1+cosθ，同理|BF|＝p1-cosθ，故1AF+1BF＝2p＝1，B错误；对于C，D(－1，y2)，联立y=kx-1，y2=4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，则y1y2＝－16x1x2＝－4.因为kOA＝y1x1＝4y1，kOD＝－y2＝4y1，所以kOA＝kOD，所以A，O，D三点共线，C正确；对于D，由题意知x＝－1是抛物线的准线，过点A作AA1垂直x＝－1于点A1，过点B作BB1垂直x＝－1于点B1，取AB的中点M，过点M作MM1垂直x＝－答案：ACD[对点练3]解析：如图，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，因为