微专题11　直线与圆、圆与圆的位置关系

微专题11直线与圆、圆与圆的位置关系真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是()A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)2．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．3．(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切4．(2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝325．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值为命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：直线与圆、圆与圆的位置关系有关问题中，解法灵活多样，选择巧妙方法可以大大提高解题速度，尤其是利用数形结合，可以将问题简化，避开复杂运算，体现新高考“多想少算”的命题思想．预测角度1直线与圆的位置关系预测1已知曲线C1：x2＋y2＝4y(x≥0)，曲线C2：x2＋y2－2y－8＝0(x<0，y>0)，直线l：y＝3x＋m，若直线l与曲线C1，C2都没有公共点，则实数m的取值范围为________．[听课笔记]与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2[对点练1](1)(2025·河南周口模拟)已知直线l：mx－y－m＋1＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则当|AB|取最小值时，m＝()A．－2B．－1C．－12D．(2)(2025·河北石家庄模拟)若圆M：(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7，5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|的值为________．预测角度2圆与圆的位置关系预测2已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于两点A，B，则四边形AC1BC2的面积为__________．[听课笔记]两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长．[对点练2](1)(2025·山东临沂模拟)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2025·河南鹤壁模拟)已知圆O1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，A，B分别是圆O1和圆O2上的动点，则由坐标原点O和点A，B构成的三角形的面积的最大值为________．预测角度3圆的轨迹问题预测3已知直线l与圆O：x2＋y2＝20相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点P(2，0)，则AB的中点Q的轨迹方程为________．[听课笔记]求轨迹方程的常用方法：(1)直接法；(2)代入法；(3)定义法．[对点练3](1)(2025·江西鹰潭模拟)已知直线l1：mx＋y＋m＝0和l2：x－my－3＝0相交于点P，则点P的轨迹方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝4(x≠－1)D．(x＋1)2＋y2＝4(x≠1)(2)(2025·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系中，点A(－1，1)，B(2，2)，动点M满足|MA|＝3|MB|，记点M的轨迹为C，直线l：x＋ay＝0与C交于D，E两点，若|DE|＝27，则a的值为__________．请完成：专题强化练15微专题11直线与圆、圆与圆的位置关系真题重做1．解析：圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为(0，－2)，圆心到直线y＝3x＋2的距离d＝0--2+23+1＝2，由题意得|r－d|<1，即|r－2|<1，解得1<r<3.答案：B2．解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得x-22＋y2＝5，所以圆心C坐标为(2，0)，半径r＝5所以圆心到点P(0，－2)的距离为|PC|＝2-02+0+22＝22，由于圆心C与点P(0，－2)的连线平分角所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα2cosα2答案：B3．解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2+b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2+b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2答案：ABD4．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为5+2×5-412+22＝115＝1155>4，所以，点P到直线当∠PBA最大或最小时，直线PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，|BM|＝0-52+2-52＝34，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝BM2-MP2答案：ACD5．解析：由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，|AB|＝2R2-d2＝24-21+m22＝4m1+m2.由S△ABC＝85，得12×4m答案：2(答案不唯一，可以是±12，±2中任意一个命题预测预测1解析：曲线C1是以(0，2)为圆心，2为半径的圆在y轴上及y轴右侧的部分，曲线C2是以(0，1)为圆心，3为半径的圆在x轴上方、y轴左侧的部分，如图所示．因为直线l：y＝3x＋m的倾斜角为60°，所以当直线l与曲线C1相切于点Q时，设直线l与y轴交于点M(0，m1)，连接C1Q，则|C1M|＝2|C1Q|＝4，则m1＝－2.当直线l与曲线C2相切于点T时，设直线l与y轴交于点P(0，m2)，连接C2T，则|C2P|＝2|C2T|＝6，则m2＝7.结合图形可知，若直线l与曲线C1，C2都没有公共点，则实数m的取值范围为(－∞，－2)∪答案：(－∞，－2)∪[对点练1]解析：(1)l：mx－y－m＋1＝0⇒m(x－1)＋1－y＝0，故l过定点M(1，1)，又12＋12<4，故M(1，1)在圆O：x2＋y2＝4内，所以当OM⊥AB时，|AB|取最小值，此时kOM＝1，又kl＝m，所以m＝－1.故选B.解析：(2)由弦长为10，结合垂径定理可得(3-4m-79+16)2＋(102)2＝52，解得m＝－结合已知点P(－7，5)，可得|PM|＝-7-12+5+12＝100＝10，所以|PA|＝PM2-52答案：(1)B答案：(2)53预测2解析：由已知，圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝9，圆心C1：(－2，2)，半径r1＝3，圆心C2：(1，－1)，半径r2＝3.方法一如图，准确画图，容易发现四边形AC1BC2是边长为3的正方形，其面积为9.方法二将两圆方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋1＝0，C1到AB的距离为d＝-2-2+11+1＝322，所以AB2＝322，即|AB|＝32，又|C1C2|＝-2-12+2--12＝32，所以四边形AC1BC2答案：9[对点练2]解析：(1)圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心C2(3，4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝32+42＝5＝r1＋r解析：(2)由题知当O，O1，A共线时，OA取最大值2＋1，当O，O2，B共线时，OB取最大值22，并且当OA和OB均取最大值时，因为O1(－1，1)，O2(1，1)，所以OA⊥OB，此时△OAB的面积最大，其最大值为12×22×(2＋1)＝2＋2答案：(1)C答案：(2)2＋2预测3解析：设Q(x，y)，连接OQ，PQ，因为弦AB的中点为Q，O为圆心，圆O的半径为25，所以|OQ|2＝20－|AQ|2，又以线段AB为直径的圆经过定点P(2，0)，则|PQ|＝|AQ|，所以|OQ|2＋|PQ|2＝20.方法一即x2＋y2＋(x－2)2＋y2＝20，整理得(x－1)2＋y2＝9.方法二取线段OP的中点M(1，0)，连接MQ，则由中线长公式可得4|MQ|2＋|OP|2＝2(|OQ|2＋|PQ|2)＝40，所以|MQ|2＝9，|MQ|＝3，所以Q的轨迹是以M(1，0)为圆心，3为半径的圆．故点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝9.答案：(x－1)2＋y2＝9[对点练3]解析：(1)由m·1＋1·(－m)＝0，则l1⊥l2，由l1：(x＋1)m＋y＝0，则直线l1过定点A(－1，0)，由l2：x－3－my＝0，则直线l2过定点B(3，0)，易知动点P的轨迹为AB为直径的圆，圆心(1，0)，半径r＝2，由题意易知直线l1的斜