微专题6　数列求和方法的应用

微专题6数列求和方法的应用真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)设数列{an}满足a1＝3，an+1n＝(1)证明：{nan}为等差数列；(2)设f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2)．2．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Snan(1)求{an}的通项公式．(2)证明：1a1+1a命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：在历年的新高考试卷中，均涉及数列的解答题，在新结构试卷中，试卷的解答题可能作为轮考内容，主要考查等差(比)数列的判定，求数列的通项公式、前n项和公式，数列求和内容，难度以中档题为主，也可能以创新题型作为压轴题．预测角度1裂项相消法求和预测1已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是an与1a(1)证明：数列{Sn(2)若bn＝an+1SnSn+1，求b1＋b2＋b3＋用裂项相消法求和时，第一要保证裂项前、后式子是否等价，裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能和原来的式子等价；第二要明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去了多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项．[对点练1](2025·河北保定模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，an＋1＝2Sn(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)求数列2n+1SnSn+1的前n预测角度2错位相减法求和预测2若数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，an2－2S(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn[听课笔记]错位相减法适用于等差、等比数列乘积形式的数列求和，错位相减法的思维难度并不高，关键是要细心．(1)错位通常是往后错一位．(2)相减，通常是前式减后式．(3)整理最关键，对于两式相减形成的等比数列，一定要确定好首项和项数．(4)结果通常写成一个常数与一个整式或分式的和．[对点练2](2025·河南鹤壁模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝a3＋6a2，S2＝2a1＋2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且b1＝8，当n＝4或5时，Tn取最大值，求数列{anbn}的前n项和．请完成：专题强化练8微专题6数列求和方法的应用真题重做1．答案：(1)证明：在数列{an}中，a1＝3，an+1n＝∴(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1，∴{nan}是以a1＝3为首项，1为公差的等差数列．答案：(2)在数列{nan}中，首项为3，公差为1，∴nan＝3＋1×(n－1)，即an＝1＋2n在f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm中，f(x)＝3x＋2x2＋…＋1+2mxm，f′(x)＝3＋4x＋…＋(m＋2)xm－∴f'x=3+4x+…+m+2xm-1，(1－x)f′(x)＝3＋x＋x2＋…＋xm－1－(m＋2)xm＝3＋x1-xm-11-x－(m＋∴f′(x)＝31-x∴f′(－2)＝3＝1＋-2＝1－2＝792．答案：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴S1a1＝1，又∵S∴Snan＝S1a1+13(n－1)＝13n＋23，即Sn＝(13n＋2∴当n≥2时，Sn－1＝13(n＋1)an－1∴an＝Sn－Sn－1＝13(n＋2)an－13(n＋1)an－1，n≥2，即(n-1)an＝(n＋1)an－1，∴anan-1＝n+1n-1∴当n≥2时，anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1＝n+1n-1·nn-2·当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝nn+1答案：(2)证明：由(1)知an＝nn+12，∴1an＝2n∴1a1+1a2＋…＋1an＝2(1－12+1∵n∈N*，∴0＜1n+1≤12，∴1－∴2(1－1n+1)＜2，∴1a1+1a命题预测预测1答案：(1)证明：因为Sn是an与1an的等差中项，所以Sn＝12(an＋当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，所以Sn＝12(Sn－Sn－1＋1Sn-S即2Sn＝Sn－Sn－1＋1Sn-Sn-1，可得Sn＋Sn－1＝1Sn-令n＝1，可得S1＝a1＝12(a1＋1a1)，解得a1＝1或a1又数列{an}是正项数列，所以a1＝1.所以数列{Sn2}是以S12答案：(2)由(1)得S因为数列于是an＝Sn当n＝1时，a1＝1，符合an＝n-可得an＝n-所以bn＝an+1SnSn+1所以b1＋b2＋b3＋…＋b99＝11-12+12-13+13[对点练1]答案：(1)证明：因为an＋1＝2Snn所以nan＋1＝2Sn＋3n，当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋3(n－1)，两式相减得nan＋1－(n＋1)an＝3，①则(n＋1)an＋2－(n＋2)an＋1＝3，②②－①得(n＋1)an＋2＋(n＋1)an＝(2n＋2)an＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1(n≥2)．因为nan＋1＝2Sn＋3n，又a1＝3，所以当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9；当n＝2时，2a3＝2S2＋6＝24＋6＝30，则a3＝15，所以a1＋a3＝2a2，满足an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1，故数列{an}为等差数列．答案：(2)由(1)可知数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列，所以an＝3＋6(n－1)＝6n－3，Sn＝n3+6n-32＝3n则2n+1SnSn+1＝19·所以Tn＝19[1－122+122-132+13预测2答案：(1)当n＝1时，因为两式作差得an2-2Sn＋an－(an－1即an2-an－12－an－an－1＝0，故(an＋an－1)(an－又因为an>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，且a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n.答案：(2)证明：由(1)可知bn＝n3n，故Tn＝13+213Tn＝132+2两式作差得23Tn＝13+132+133+134＋所以Tn＝14(3－2n+33n)，因为2n+33n>0，所以[对点练2]答案：(1)设等比数列{an}的公比为q，则有a1q3=a1q2+6a1答案：(2)设等差数列{bn}的公差为d，由题知b5＝8＋4d＝0，解得d＝－2，故bn＝8－2(n－1)＝10－2n.故anbn＝(10－2n)×3n－1.设数列{anbn}的前n项和为Qn，则Qn＝8×30＋6×31＋4×32＋…＋(12－2n