微专题2　用三角恒等变换公式求角或求值

微专题2用三角恒等变换公式求角或求值真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国二卷)已知0<α<π，cosα2＝55，则sin(α－π4)＝A．210B．C．3210D2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A．－3m B．－mC．m3 D．33．(2025·全国一卷)(多选)已知△ABC的面积为14，cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，cosAcosBsinC＝14，则(A．sinC＝sin2A＋sin2BB．AB＝2C．sinA＋sinB＝6D．AC2＋BC2＝34．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin(α＋β)＝__________．命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：三角恒等变换是必考点，几乎每年必考，以选择题、填空题形式出现，难度中等，但易掉进“角度转化”的易错陷阱中．预测角度1给角求值预测1sin240°＋sin220°＋cos50°cos70°＝()A．1B．2C．14D．[听课笔记]一看角：通过看角之间的差别与联系，可把角进行合理转化；二看函数名称：如果函数名称不同，那么可利用公式将函数名称进行转化，常见的有“切化弦”；三看结构特征：通过看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式要升幂”等．[对点练1](2025·安徽芜湖模拟)sin70°+3cos70°A．1B．2C．－1D．－2预测角度2给值求值预测2已知π2<β<α<3π4，cosα-β＝1213，sinα+β＝－35，则cos2[听课笔记]对于“给值求值”问题，着重分析“已知角”和“未知角”之间的关系，试题在考查方式上一般以“线性”关系为主(即倍角关系)，如果涉及“平方”关系，可以先借助二倍角公式“降次”再研究，常见的线性变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β等．[对点练2](2025·江西鹰潭一模)已知sinα-β＝16，sinαcosβ＝14，则cos2α+2β＝(A．79B．C．－19D．－预测角度3给值求角预测3已知sinα+β＝－12，tanα＋3tanβ＝0，α，β∈0，π，则α－β＝A．－π2B．C．－π6D．[听课笔记]对于“给值求角”问题，实际上要先进行“给值求值”，再根据角的范围确定角，在求解过程中要时刻关注“角”的范围，基本原则是“尽可能缩小角的范围”，为后续求角奠定基础．[对点练3]已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，sin(α＋β)＝210，则β－α＝________请完成：专题强化练2微专题2用三角恒等变换公式求角或求值真题重做1．解析：方法一∵0<α<π，∴0<α2<π又∵cosα2＝55，∴sinα2＝1-cos2α2＝1-15＝255，∴sinα＝2sinα2cosα2＝45，cosα＝cos2α2－sin2α2＝－35，∴sin(α－π4)＝2方法二∵cosα2＝55，∴cosα＝2cos2α2－1＝－35，∵0<α<π，∴sinα＝1-cos2α＝45，∴sin(α－π4)＝22(sinα－cosα答案：D2．解析：由tanαtanβ＝2，可得sinαsinβcosαcosβ＝2，即sinαsinβ＝2cosαcosβ.由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝m，可得cosαcosβ＝－m，sinαsinβ＝－2m，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin答案：A3．解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c.对于A，由cos2A＋cos2B＋2sinC＝2得1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，化简得sinC＝sin2A＋sin2B，故A正确．对于B，由A及正弦定理得c＝asinA＋bsinB，又c＝acosB＋bcosA(三角形中的射影定理)，所以sinA＝cosB,sinB＝cosA，则A＋B＝π2，所以C＝π2.所以由cosAcosBsinC＝14得cosAcosB＝14，又sinA＝cosB，所以sin2A＝12，不妨取A＝15°，则B＝75°.由S△ABC＝12ab＝14得ab＝12，由asin15°＝bsin75°得a6-24＝b6+24，即b＝(2＋3)a，所以(2＋3)a2＝12.所以c2＝a2＋b2＝a2＋(7＋43)a2＝(8＋43)a2＝(8＋43)×12×2+3＝2.因此c＝AB＝2，故B正确．对于C，sinA＋sinB＝sin15°＋sin75°＝6-24+答案：ABC4．解析：∵tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，∴tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝4-2＝－22.∵2k1π<α<2k1π＋π2，k1∈Z，2k2π＋π<β<2k2π＋3π2，k2∈Z，∴2(k1＋k2)π＋π<α＋β<2(k1＋k2)π＋2π，k1，k2∈Z，∴sin(α＋β答案：－2命题预测预测1解析：因为cos50°＝cos90°-40°＝sin40°，同理可得cos70°＝sin20°，sin240°＋sin220°＋cos50°cos70°＝sin240°＋sin220°＋sin40°sin20°＝sin2(60°－20°)＋sin220°＋sin60°-20°sin20°＝32cos20°-12sin20°2＋sin220°＋32cos20°-12sin20°sin20°＝34cos220°＋14sin220°－3答案：D[对点练1]解析：sin70°+3cos70°cos答案：D预测2解析：∵π2<β<α<3π4，cosα-β＝1213，∴sinα-β＝1-cos2α-β＝513，∵sin(α＋β)＝－35，∴cosα+β＝－1-sin2α+β＝－45，则cos2α＝cosα+β+α-β＝cosα+βcosα-β－sinα+βsinα-β＝(答案：－33[对点练2]解析：由sinα-β＝16可得sinαcosβ－cosαsinβ＝16，又sinαcosβ＝14，所以cosαsinβ＝112，所以sinα+β＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝14+112＝13，所以cos2α+2β＝1－2sin2答案：A预测3解析：sinα+β＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12①，由tanα＋3tanβ＝sinαcosα＋3×sinβcosβ＝0得sinαcosβ＝－3sinβcosα，代入①，解得cosαsinβ＝14>0，所以sinαcosβ＝－34<0，又因为α，β∈0，π，所以0<α<π2，π2<β<π，所以－π<α－β<0，因为sinα-β＝sinαcosβ－cos答案：A[对点练3]解析：因为α，β∈(0，π)，且tanα＝2>1，则α∈π4，π2，2α∈π2，π，所以cosα＝55，sinα＝25