模型15 十字架模型（原卷版）

大招十字架模型

模型介绍

正方形内部，MNJLEF,则MN=EF

★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等,相等不一定垂直.

★点拨：无论怎么变,只要垂直，十字架就相等.

例题精讲

考点一、正方形中的十字模型

【例1].如图，正方形ABCD中，点E,尸分别在边CZZ4。上，BELCF于点G,若BC=4,AF=\,则

G尸的长为

》变式训练

【变式1T】.如图，在正方形ABCD中，七为BC边上一点，连接AE,作AE的垂直平分线交AB于G,交

CO于尸.若DF=2,BG=4,则G尸的长为.

【变式1-2].如图，在正方形4B。。中，点E,产分别在A。，C。上，且AF=O"=2,BE与A户相交于点

。，P是A厂的中点，连接0P,若48=5,则OP的长为

BC

【变式1-3].如图，在正方形ABC。中，点七是边3c上的一点，点尸在边。。的延长线上，且8七=。「，

连接E/交边AO于点G.过点A作ANJ_E/，垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线

段AN的长为—.

考点二：矩形中的十字模型

【例2].如图，在矩形AUCD中，点£是边AZ?上一点，将沿折叠，使点8落在AD边上的点”

处，连接BF.已知AQ=5,4B=3,求折痕CE的长.

下变式训练

【变式27].如图，把边长为脑=6,BC=8的矩形ABCD对折，使点〃和。重合，求折痕MN的长.

【变式2-2]如图，矩形"CO中，BC：AB=\：2,F、G分别为"、QC边上的动点，连接GF,沿GF

将四边形AFGO翻折至四边形EFGP,点E落在BC上，EP交CD于点H,连接AE交G尸于点O,连

GF=2j15，CP的长为.

【变式2-3].如图，在矩形4BCD中，48=5,AD=10.若点E是边4。上的一个动点，过点E作E/LL

4c且分别交对角线AC、直线BC于点0、F,则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为

实战演练

1.如图，在边长为4的正方形A8CO中，点七、尸分别是边BC、CO上的动点，且8E=CF,连接8F、

DE,贝ljB厂+QE的最小值为()

A.8B.4亚C.4V3D.4^5

2.如图，在正方形ABC。中，E,产分别是AB,BC的中点，CE,DF交于点G,连接AG.下列结论：①

CE=DF；②CEJ_OF；③/AGE=/CDF.其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.如图，在矩形4BC。中，4B=10,AZ)=6,E为BC上一点,把△CQE沿OE折叠，使点C落在48边

上的尸处，则CE的长为

4.如图，在RtZkACB中，AC=4,6c=3,点。为AC中点，连接3。，作CEJ_8。交48于点E,垂足为

5.如图，将边长为4的正方形A8CO折置，使得点人落在CO的中点E处，折痕为rG,点F在人。边上,

则FG=______

6.如图，在边长为2近的正方形A8C。中，点E,产分别是边AB,8c的中点，连接EC,FD,点、G,H

分别是EC,尸。的中点，连接GH,则GH的长度为

7.如图，正方形4BCD的边长是9,点E是边上的一个动点，点尸是CD边上一点，C/=4,连接EA

把正方形A8CZ）沿E/折叠，使点4,D分别落在点4',。'处，当点。'落在直线8C上时，线段AE

狗长为.

8.如图，在中，ZABC=90°,84=3C,点。为3c边的中点，BE工AD于点、E,交AC于点、F,

9.如图，在四边形A8CD中，ZABC=90°,AB=AO=10,BC=CZ)=5,点M,N分别在边BC,48上,

且4MJ_£)M典的值.

AM

10.矩形A3CO中，A8=8,AO=12.将矩形折叠，使点A落在点〃处，折痕为。£

(1)如图①，若点尸恰好在边BC上,连接4P,求星的值；

DE

(2)如图②，若E是48的中点，EP的延长线交8c于点R求8户的长.

11.已知四边形A8C。中，E、口分别是AB、A。边上的点，DE与CF交于点G.

(1)如图①，若四边形A8C。是矩形，且。E_LC凡求证：XADEsXDCF、

(2)如图②，若四边形ABCO是平行四边形，试探究：当与NEGC满足什么关系时，迹•迪成立？

CFCD

并证明你的结论；

(3)如图③，若BA=BC=6,QA=OC=8,ZBAD=90n,DELCF,请直接写出理的值.

CF

12.在矩形ABC。中，AB=a,AD=h,EF工GH于M,£尸分别交48,CD于点、E,F,GH分别交AQ,

BC于点G,H.

(1)【观察猜想】如图①，当。=匕时，线段E/与线段G"的数量关系是.

(2)【类比探究】如图②，当“W〃时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立,

请写出正确的结论，并说明理由.

(3)【拓展运用】如图③，在四边形4BCO中，BC=CD=5,NB=NAOC=90°,A£1_。尸于G,点E、

F分别在边8。、AB±,若姻=区，求A8的长.

DF4

13.华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

如图，在正方形48C。中，C£_LOE求证：CE=DF.

证明：设CE与DF交于点、0,

•・•四边形ABC。是正方形，

.\ZZ?=ZDCF=90o,BC=CD.

A/BCE+/DCE=^°.

〈CELDF,

・・・NCOO=90°.

/.ZCDF+ZDCE=90°.

；・NCDF=NBCE,

:,ACBEmADFC.

；.CE=DF.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究.

【问题探究】

如图1,在正方形A8CD中，点E、F、G、”分别在线段A3、BC、CD、04上，且EGLFH.试猜想空

FH

的值，并证明你的猜想.

【知识迁移】

如图2,在矩形A8CO中，AB=m,BC=n,点、E、F.G、月分别在线段A3、BC、CD、DA±.,且EG

【拓展应用】

如图3,在四边形ABC。中，ZDAB=90°,NABC=60°,AB=BC,点E、尸分别在线段AB、A。上,

且CE_L8F.求煦的值.

BF

14.（1）证明推断：如图（1）,在上方形A8c。中，点E、Q分别在边3C、43上，QQ_LAE于点0,点、G、

F分别在边C。、A8上，GFLAE.

①填空：DONE（填“或“="）；②推断区的值为_______；

AE

（2）类比探究：如图（2）,在矩形48C。中，些=&（及为常数）.将矩形A8CQ沿G尸折叠，使点A

AB

落在BC边上的点E处，得到四边形尸EPG,EP交CD于点H,连接4E交G/于点O.试探究G尸与

4石之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP,当女=2时，若些=3,GF=2^10,求CP的长.