椭圆知识点总结

椭圆知识点

知识要点小结：知识点一：

椭别的定义

平面内一个动点P到两个定点匕、&的距离之和等于常数（|尸石|+p8|=2〃＞忻可），这个动点P的

轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若（怛4\+\PF2卜|尸闾），则动点尸的轨迹为线段片尸2；

若（忙月|十|尸名|＜比可），则动点尸的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:S4-(a>b>0),其中T=a2-b2

2.当焦点在），轴上时，椭圆的标准方程：二+==1（4＞匕＞0）,其中。2=/一〃；注意：：只

ab"

有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程:

2.在椭圆的两种标准方程中，都有和/

3.椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为（c,0）,（—c,0）；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为（0,c）,（0-c）

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：=+与=1的简单几何性质

（I）对称性：对于椭圆标准方程二+二=1（a＞〃＞0）：说明：把X换成-X、或把y换成一），、或把X、

a~b~

）同时换成-x、一丁、原方程都不变，所以椭圆£+=二1是以工轴、），轴为对称轴的轴对称图形，并

且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围:

椭圆上所有的点都位于直线x=±〃和），=±8所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足上|＜«,

卜|父。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与十二=\（a>b>0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（-a0），

a~b~

儿3,0）,8］（0,-匕）,色（0力）

③线段A&,用约分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A4|二/，|印层|=力。a利出分别叫做椭

圆为长半轴长和短半轴长。

（4）离心率:

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作6=生二£。

2aa

②因为（a>c〉O）,所以e的取值范围是（0<e<l）。e越接近1,则c就越接近a,从而〃==T7

越小，因此椭圆越扁：反之，e越接近于0,c就越接近0,从而/7越接近于a,这时椭圆就越接近于圆，当

2j

且仅当时，C=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为X2+），2=〃。注意：椭圆J+:=1

abi

的弱像中线段的几何特征（如下图）：（1）

（附|+附|=㈤；4+程*;

?2

（|PM,\+PM2|=—）：

22

(2)(|电\=\BF2|=a)：\=\OF2|=C)：|A,Z?\=\A2B\=yla+b：

⑶ML"=a-c；^^2I=\A2Fi|=a+c：a-c<|<6?+c；

知识点四：椭圆二+二=1与二+==1（。>人>0）的区别和联系

a'b-iC/?■

V2』

标准方程3>°)a*……)

图形

焦点£(-<?,0),F2(C,0)F(0-c),F2(O,C)

焦距I小的|二"I^2|=2c

范围IX|~，IyIX\<b,Iy|<tz

对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点(±d,0),(0,±b)(0,±〃)，(地0)

性质

轴长长轴长二加，短轴长=2〃

离心率e=：(O<e〈D

22

准线方程x=±-y=±—

cc

焦半径|产用=。+*)，|P段=。一”()归耳|=。+分o"P用=。一缈。

/y2

)'4.*

注意：椭圆滔■+*=1，---十---1(4>。>0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有

b2

(。>〃>0)和6=£(0<0<1),，/="+。2；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

a

规律方法：

1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，

椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件凡〃：个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的

形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量反。的几何意义

椭圆标准方程中，力工•三个昼的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示

椭网的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

22

且面=b+C）0

可借助右图理解记忆：

显然：a,Ac恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条

直角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看工2,的分母的大小，哪个

分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4.方程瓜2+8），2=C（A,及C均不为零）是表示椭圆的条件

Av-2»v22R#

方程九？+为2=C可化为——+1-=],即K+U「=I,所以只有A、B、C同号，且AW3时,

cCcC

78

方程表示椭圆。当、c〉]c时，椭圆的焦点在X轴上；当、CC时，椭圆的焦点在），轴上。

5.求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确

定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”：

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。与椭圆（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为

r——=i（〃?>-/），此类问题常用待定系数法求解。

a'+mb~+in

7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的x换成-X,方程不变，则曲线关于y轴对称；

②若把曲线方程中的），换成->，方程不变，则曲线关于x轴对称：

③若把曲线方程中的工、y同时换成—x、-y,方程不变，则曲线关于原点对•称。

8.如何求解与焦点三角形aPFR（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PFR有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、

三角形面积公式制=；|P用x|P周xsinN5P用相结合的方法进行计算解题。

.有关线段|尸制厅用竹闾,有关角/耳明（/耳所2工/之产三）结合起来，建立|「用+|尸图、

仍用x|P周之间的关系.

9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=£（O<e<l）,因为。2=，-从，〃>。>（）,

用〃、人表示为6=J1—§)“0<e<1)。

显然：当越小时，e（O<e<l）越大，椭圆形状越扁；当2越大，e（0<e<l）越小，椭圆形状越趋近

aa

于圆。y2/,

(a>b>0)

（一）椭恻及其性贷

1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点R,尺的距离的和等于常数（大于IF1F2I）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫

椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,则这个点的轨迹叫做椭圆

.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.

2、椭圆的标准方程

马晶2b>©

3、椭圆的参数方程「一"c°sq@为参数）

y=〃sin*

4、离心率：椭圆焦距与长轴长之以e=：ne='l-（2）2・0<^<L

椭圆的准线方程

左椎线乙：X二-式右准线/,:x=<

c-c

工二）、一◎椭圆的焦半径

椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）=a+ex（）（右焦半径）r2=a-ex0其中e是离心率.

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

\MF\\=a+ey0（其中片，居分别是椭圆的下上焦点）.

\MF2\=a-ey（）

工三）“,6直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

1、弦长公式：

若直线/:），=履+〃与圆锥曲线相交与A、B两点,A（XQJHG，%）则

弦长IA4=一-2）2+（M-丁2了=J（X|一工24+（仁一乜）2=J1+/~它|

=Jl+公+々）2-4将「2

22

例1.己知椭圆4U+yT及直线y=x+m0

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

2、己知弦力8的中点，研究月4的斜率和方程月8是椭圆F+K=1Q乂＞0）的一条弦，中点"坐标为（筋，％）,

ab

片Y

则知的斜率为一々.运用点差法求四的斜率，设力（M,必），

ay（）

(J-

才十炉1

队沁,先）.A、〃都在椭圆上,22两式用减得

与+*=1

ab

彳「一及'।Ji：门.小一一小+—।――M—+%

2十f20>••2\77

abao

“nN一瞿6用+一b~xbx§

即——2।一0故k.{H-

XLX)a%+%a~y»a]

xV

例、过椭圆丁+」=1内一点M（2,l）引一条弦，使弦被M点平分：求这条弦所在直线的方程。

164

（四）、4四种题型与三种方法

◎四种题型

22

1：己知椭圆。：工+）二=1内有一点力（2,1）,厂是椭圆。的左焦点，P为椭圆。上的动点，求I%I

2516

+-IPF\的最小值。

2：已知椭圆±-+J=1内有一点/I（2,1）,尸为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求I月II+I用的

2516

最大值与最小值。

X2-

3:已知椭圆——十二=1外一点月（5,6）,1为椭圆的左准线，尸为椭网上动点，点尸到1的距离为a

2516

求|以|+/d的最小值.

C1222

4：定长为MdN*）的线段AB的两个端点分别在椭圆二十三=1（〃＞人＞0）上移动，求AB的中点M

aab

到椭圆右准线？的最短距离。

卷三种方法

1：椭圆二+==1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积。

a-b~

2：已知椭圆上+二=1和直线l:x-y+9=0，在1上取一点M,经过点M且以椭圆的焦

123

点"，死为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。

3：过椭圆21+V=2的焦点的直线交椭圆两点，求AAOB面积的最大值。

（-）椭圆及其性质工二）椭圆的焦半径式三）直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

（四）四种题型与三种方法

g课后同步练习

1.椭圆三+之二二1的焦点坐标是，离心率是，准线方程是^

25169

2.已知口、鼻是椭圆（十21=］的两个焦点，过F,的直线与椭圆交于M,N两点，则△MNF?的周长为（

)A.8

B.16C.25D.32

3.椭圆J+J=l上一点〃到一个焦点的距离为5,则产到另一个焦点的距离为（

259

A.5B.6C.4I）.1（）

x2y2

4.已知椭圆方程为一+L=1,则它的焦距是（）

2011

A.6B.3C.3庖I）.V31

5.如果方程，+外，2=2表示焦点在），轴上的椭圆，则实数A的取值范围是

A.（0,+8）B.（0,2）C.（1,+8）D.（0,1）

6.设《，尸2为定点，=6,动点时满足|加耳|+|加尼1=6,则动点”的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.圆D.线段

7.已知方程上+上=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为_____.

m-12-w

53

8.已知椭圆的两个焦点坐标是R(-2,0),&(2,0),并且经过点P(-则椭圆标准方程是

22

9.过点/(-1,-2)且与椭圆一+L=1的两个焦点相同的椭圆标准方程是_________.

69

10.过点2(6,-2),。(-21)两点的椭圆标准方程是.

11.若椭圆三二+£=1的离心率是!，则k的值等于

八892

x2

12.已知AABC的顶点B、C在椭圆丁+/=1匕顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，则AABC的周