宿迁市中考数学压轴题解析

2021年宿迁市中考数学压轴题解

析

27.已知正方形J5CD与正方形出G正方形4EF源点J旋转一周.

（I加图0由SBG、CF,求芸的5；

BG

⑵当正方形.住F（漩转至图②位・附，连接CEBE,分别去53£的中点M.V,连接MV、试探究：MV与班的关系，并说樱由;

⑶连接BE、BF,分别取BE、B用户点V、Q,连接Q.V,/ER,请直接写出统段°、三过的面积.

这道题是2021年宿迁市中考数学压轴题的倒数第二题，和最后

一道难度不相上下（最后一问可以翻看往期内容），这道题主要

是考杳了几何的知识点，涉及到辅助线的作法，按照考试心态，

大多数同学做到这道题应该就被难住了，想想最后一题的难度，

宿迁的考生今年确实有点难啊，心疼宿迁考生。

第一问

求一个比值，我以前说过，比值类它往往不会之间就让你算两条边相比,

他其实是让你转换，这道题题干说了是正方形旋转，那么完美契合手拉

手模型。

CD

连接CD,AF,通过两边夹一角的关系很容易得到红蓝三角形相似，那

么CF:BG可以转化为CA:BA,这样就很容易了，比值为

72:1

有同学会疑惑，为什么就想到这么连接辅助线，这个就是对题目的敏感

度，因为题干的旋转提示我们用手拉手模型，你要是了解手拉手模型,

基本上都能想到这个辅助线，如果不了解，就难了。

第二问

第二问是我认为这份卷子里最难的，难度甚至比倒数第一的压轴题还难,

主要涉及到辅助线的作法，如果想不到，就只能呆看着。

题目说，转到这个位置,M,N是中点，让你猜测MN和BE的关系，猜

测比较简单，垂直，且MN是BE的一半,关键怎么证明

首先告诉我们两点是中点，一般单一中点我们作辅助线是倍长中线，问

题是MN并不是中线，还可以考虑取另外第三边的中点，与这两个点

相连，构成两条中位线，但是你也找不到。这就麻烦了，这并不是熟悉

的模型，在这边寻找辅助线会消耗掉大量时间，这道题如果在中考中遇

到，应该果断放弃。

实际上这道题的辅助线依然是倍长中线，这就带来一个新问题，2个中

点，我该倍长哪条？往哪个方向倍长？

CD

最后发现证明这两个三角形相似都很困难，所以说这道题真的是作辅助

线的方式太多了，要一个个试过去才行，但是这么做时间必定不够，中

考其实最怕遇到这种题目，真的需要灵感和运气才行。

回到刚刚的题目

B'

这样做出辅助线，我们首先能证明^CMB¥FMB',CM=MF,BM=MB',

对顶角相等，之后根据对应角相等，得到CBIIB，F,CB=BF=AB,我们

的目的是证明红蓝三角形全等，这样就能得到^BEB'为等腰直角三角

形。

那么如何证明红蓝三角形全等呢？

首先BA=B'F,AE=AF,两条边已知，必须找两边的夹角，得证明N

BAE=NB'FE,直接证明不好证，我们考虑他们各自的补角

我们延长DA,B'F,过点E作EK_LDA,并且与B'F交于点L,由于

DAIIB'F,所以直线KL垂直这两条线，这样我们就能通过一线三垂直

来进行倒角，因此图中所有褐色的角都相等，因此，黄色角就相等，这

样我们就能得到红蓝三角形全等,所以BE二B'E,再经过一个简单的手

拉手模型，可以得到NB，EB=9(r,M为BB'中点，所以^BME为等

腰直角三角形，所以MN垂直且等于BE的一半。

第三问

让我们直接写出一条线段QN扫过的面积

注意一下,QNi文条线段是"EF的中位线，当小正方形动时，QN会

随之运动，很多同学看到这个，直接懵了，求线段扫过的面积，扫过面

积是啥样都不知道，怎么求面积？

那么我们先来确定扫过面积的样子，我们知道BQ:QF=1:2,这想到了什

么了吗？瓜豆原理！不知道瓜豆原理的同学可以看一看2021年连云港

压轴题那期，我有详细讲。

那么F点是绕A做圆周运动的，所以Q点也是绕某个点作圆周运动，F

点所绕的圆心是A点,所以Q所绕的圆心。也必须满足BO:BA=1:2,

因此。为BA中点，同理点N也是如此

最终动起来效果是这样的

CD

接下来就是求Q。和N。的长度了

连接QO,ON,AF,根据中位线关系，可以得至IQ0=1AF=3jI,0N=-AE=3,所以圆环的面

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积就是（3枝）~7-32开=