济南大学高等数学B(二)试题答案

济南大学1112高等数学B(二)参考解答一、填空题（每小题2分，共10分）解:1.

2.设函数在处取得极值，试求常数a=______.分析这是二元函数求极值的反问题，即已知取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解：因为可微,故必为驻点，则有因此有，即．

补充.设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．在点为极小值.求二阶偏导数解：处3.

已知级数解:则的部分和4.交换积分次序为二次积分_____________.解.

积分域如图.表示为Y形区域将原式5.

若为同向的单位向量，则它们的数量积解.

的夹角为0,与则平面（ ）.

二．选择题(每小题2分,共10分)分析.

设平面方程为

1.

且.

(A)平行于x轴.(B)平行于y轴.(C)经过y轴.(D)垂直于y轴特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.

2.

设D为则原式解：被积函数由二重积分的几何意义得表示上半球面，3.

的全微分()(A)

均存在.

(B)

连续.

(C)的全部一阶偏导数均连续.

在点P处函数存在的充分条件是(D)连续且均存在.全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导数连续小结极限，连续，可导，可微的关系图极限存在连续可微分偏导数存在偏导数连续4.分析:两平面:

关系是().所以两平面不垂直.又两平面的法向量对应的坐标不成比例，所以两平面不平行.的位置分析:5.

定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确求方法一：隐函数求导公式令1.

设是由方程三、计算题（每小题8分，共40分）确定的隐函数,方法二：将z看作x,y的二元函数，方程两边对x求导1.

设是由方程确定的隐函数,求方程两边对x求导方法三：将方程两边求全微分，得解出dz，得所以2.

计算其中D是直线y＝x,y＝5x,

及x＝1

所围的闭区域.解法1.

将D看作X-型区域,则解法2.

将D看作Y-型区域,

则太难算了

3.解:其中D为圆在极坐标系下原式所围在第一象限中的区域4.

求函数在点沿着从该点到点的方向导数.

解:其单位向量为解:5.时级数发散故收敛半径为发散;发散.时级数收敛三、计算题（每小题8分，共40分）解:对上式两边求导，得5.1.

求解：

所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程过点(–3,2,5)，且与两平面

x–4

z=3和2x–y–5z=1的交线平行的直线方程.四．解答题(每小题11分，共33分)原级数收敛.2.

判别级数的收敛性,解:

若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?发散.故原级数条件收敛.试求曲线所围成的立体的体积.3.绕z轴

旋转所得曲面与平面解:曲线绕z轴

旋转所得曲面所围的立体在xoy面上的投影：与其极坐标表示四．解答题(每小题11分，共33分)试求曲线所围成的立体的体积.3.绕z轴

旋转所得曲面与平面解:用定积分计算旋转体(绕z轴)的体积五、证明题（7分）在点偏