济南大学高数课件

空间曲线Γ有切线和法平面切向量空间曲线Γ空间曲面Σ有切平面和法线法向量空间曲面Σ3、微分法的应用(1)几何应用；1.设空间曲线的方程三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面切线方程:法平面方程:解切线方程法平面方程2.空间曲线方程为法平面方程为：切平面方程:法线方程:1、曲面方程为：二、曲面的切平面与法线2.空间曲面方程为:切平面方程：法线方程：曲面法向量的方向余弦解切平面方程为法线方程为【分析】为显式情形.解：总习题14P99例7、(2)极值应用A.驻点;B.最值点;C.拐点;D.以上都不对.3、微分法的应用二元函数极值的判定定理(此时A、C一定同号)2.若在处取得极大值,则函数在处有()A.最小值;B.极小值;C.最大值;D.极大值.3.若及在都取得极值,则在处()A.不一定取得极值;B.取得极值;C.取得最值.(A)可能是极值点，也可能不是极值点；是极大极值点；是极小极值点；必是是极值点，可能是极大值点，也可能是极小值点(B)(C)(D)【P111例3】求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;解：条件极值拉格朗日乘数法【总结—拉格朗日乘数法】解则第十章重积分的计算典型例题讲解一、主要内容1、定义和式的极限！2、性质3、几何意义4、计算法(将重积分化为单次积分)．具体如下（１）直角坐标系下

P139(1)、(2)将区域D表成［X－型］与［Y－型］P138-139

三线法X-型：Y-型：例1如图所示，将下列区域分别表成X-型例2

表成Y-型区域【例3】【解Ⅰ】看作X－型域12oxyy=xy=1Dx【解Ⅱ】看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy12解:

由被积函数可知,因此取D

为X

–型域:先对x

积分不行,（5）极坐标系

注意：被积函数与积分区域D与变量(x2+y2)有关时,选用极坐标系计算二重积分较易.

=

=(1)利用二重积分的几何意义求立体体积6、应用（几何应用）(2)利用二重积分的性质4求平面图形的面积(4)利用二重积分求曲面的面积(3)利用三重积分求空间立体的体积交线往xoy面上投影,得积分区域:由

可得交线:

解:投影区域为：大作业解D选择题D选择题P182T3.变换下列二次积分的次序：

解:积分区域如图，练习【解】【分析】交换积分次序7、三重积分的计算一先一后二法先二后一法(截面法)适用先二后一的三重积分的特点：1、被积函数为z的函数；2、用垂直于z轴的平面截

所得的平面的面积可求。8、三重积分的计算二例2

计算其中

是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1D(z):x2+y2≤zz[0,1]解1(截面法)：9、利用柱面坐标计算三重积分规定：则柱面坐标与直角坐标的关系为：1、柱面坐标与直角坐标（x，y，z）之关系：用柱面坐标系计算三重积分的一般步骤：1、将区域

往xoy面上投影，确定平面区域D2、由公式将

的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；3、过D内任一点（x，y）做平行于z轴的直线，穿区域

确定z的上、下限（表示成r、

的函数）；4、在

D上分别确定r、

上下限（类同于平面极坐标）则：次序为：z

r

实质上：先一后二法交线往xoy面上投影,得积分区域:例2

计算其中

是由z=