2026年广东省深圳市第一中学高三数学第9单元概率统计综合测试卷及答案

2026年广东省深圳市第一中学高三数学第9单元概率统计综合测试卷及答案第1页共1页2026年广东省深圳市第一中学高三数学第9单元概率统计综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某工厂生产的产品中，有一级品率为95%，二级品率为5%，现要随机抽取一个产品进行检验，抽到二级品的概率是（）A.0.05B.0.95C.0.10D.0.90参考答案：A2.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）A.1B.3C.5D.7参考答案：C3.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B4.若函数h(x)=sin(x+π/3)的图像关于y轴对称，则x的取值范围是（）A.kπ+π/6,k∈ZB.kπ-π/6,k∈ZC.2kπ+π/6,k∈ZD.2kπ-π/6,k∈Z参考答案：C5.函数p(x)=e^x-2x在区间(0,+∞)上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A6.函数q(x)=log₂(x²-2x+3)的定义域是（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-1,3)D.R参考答案：A7.已知函数m(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且对称轴为x=1，则b的值为（）A.-2aB.2aC.-aD.a参考答案：A8.函数n(x)=2cos²(x)-1在区间[0,π]上的值域是（）A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,0]D.[0,2]参考答案：B9.函数d(x)=|x|在区间[-1,1]上的导数等于（）A.-1B.0C.1D.不存在参考答案：D10.某气象站记录了某地区过去一年的月平均气温数据，已知1月到6月的平均气温分别为5℃,8℃,12℃,15℃,18℃,20℃，则这6个月的平均气温是（）A.13℃B.15℃C.17℃D.19℃参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在一个盒子里装有5个红球和3个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是______。参考答案：5/82.已知一组数据：4,7,9,x,12,其平均数为8，则x的值是______。参考答案：53.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击3次，恰好命中2次的概率是______。参考答案：0.4444.抛掷两个均匀的六面骰子，点数之和为7的概率是______。参考答案：1/65.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且事件A和事件B互斥，则事件A或事件B发生的概率是______。参考答案：16.一个样本容量为50的随机样本，其样本均值为20，样本标准差为5。根据中心极限定理，样本均值的标准误差是______。参考答案：0.77.某校学生身高服从正态分布，平均身高为170厘米，标准差为10厘米。一个身高为180厘米的学生在该校学生中的相对位置（z分数）是______。参考答案：18.已知一组数据的方差为9，则该组数据的标准差是______。参考答案：39.在一个班级中，有60%的学生喜欢数学，40%的学生不喜欢数学。随机抽取3名学生，其中至少有1名学生喜欢数学的概率是______。参考答案：0.83610.已知事件A的概率为0.5，事件B的概率为0.3，且事件A和事件B相互独立，则事件A发生且事件B不发生的概率是______。参考答案：0.15三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。参考答案：√2.在一组数据中，中位数一定等于平均数。参考答案：×3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(Xμ)=0.5。参考答案：√4.样本方差是总体方差的无偏估计量。参考答案：√5.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B相互独立，则P(A∪B)=0.88。参考答案：√6.在简单随机抽样中，每个个体被抽中的概率相等。参考答案：√7.若总体分布未知，使用样本标准差S可以估计总体标准差σ。参考答案：√8.抛掷一枚均匀的硬币三次，出现两次正面的概率为1/8。参考答案：×9.若一组样本数据的标准差为0，则这组数据中的所有数据都相等。参考答案：√10.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，模型的拟合效果越好。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且事件A和事件B互斥，求P(A∪B)。A.0.2B.0.4C.0.6D.1.0参考答案：C2.在一个班级中，有60%的学生喜欢数学，40%的学生不喜欢数学。现随机抽取3名学生，求至少有1名学生喜欢数学的概率。参考答案：B3.已知一组样本数据为：5,7,9,10,12,15，求该组数据的中位数和众数。参考答案：中位数=9，众数=无4.某城市一周的平均气温数据如下表所示，求该城市一周的平均气温。|星期|气温(℃)|||||一|20||二|22||三|19||四|21||五|23||六|24||日|22|参考答案：21.4℃5.判断下列说法是否正确：样本方差是总体方差的无偏估计量。参考答案：√6.抛掷一枚均匀的硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。参考答案：3/87.若事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且A与B相互独立，求P(A∩B)。参考答案：0.358.在一个盒子里有5个红球和3个白球，现从中随机抽取2个球，求抽到2个红球的概率。参考答案：5/28五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种电子元件，已知该元件的寿命（单位：小时）服从正态分布N(10000,500^2)。为了提高产品质量，工厂决定对生产流程进行改进。改进后，该元件的寿命均值提高了200小时，而标准差不变。改进后，该元件寿命超过12000小时的概率是多少？参考答案：0.15872.某城市为了缓解交通拥堵，对某路段进行了交通流量调查。调查发现，该路段在高峰时段的车流量（单位：辆/小时）服从泊松分布，平均每小时有50辆车通过。如果某天该路段在高峰时段有3分钟内没有车辆通过，求这段时间内车流量为0的概率。参考答案：0.04983.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生进行调查。调查结果显示，有120名学生每周至少阅读一本书。请用样本估计总体，计算该学校学生每周至少阅读一本书的概率的置信区间（置信水平为95%）。参考答案：0.6±0.0394.某公司为了评估两种不同广告方案的效果，随机选择了1000名消费者进行调查。调查结果显示，有600名消费者对第一种广告方案有印象，而500名消费者对第二种广告方案有印象。请用假设检验的方法，判断两种广告方案的效果是否存在显著差异（显著性水平为0.05）。参考答案：拒绝原假设5.某农场种植了两种不同品种的小麦，分别为A品种和B品种。为了比较两种品种的产量，随机选择了10块土地进行种植。A品种的平均产量为500公斤/亩，标准差为50公斤/亩；B品种的平均产量为550公斤/亩，标准差为60公斤/亩。请用假设检验的方法，判断两种品种的产量是否存在显著差异（显著性水平为0.05）。参考答案：拒绝原假设6.某商场为了了解顾客的购物习惯，对100名顾客进行了调查。调查结果显示，有70名顾客在购物时会使用优惠券。请用样本估计总体，计算该商场顾客在购物时使用优惠券的概率的置信区间（置信水平为95%）。参考答案：0.6±0.0397.某公司为了评估两种不同培训方案的效果，随机选择了100名员工进行调查。调查结果显示，接受第一种培训方案的员工平均绩效得分为80分，标准差为10分；接受第二种培训方案的员工平均绩效得分为85分，标准差为12分。请用假设检验的方法，判断两种培训方案的效果是否存在显著差异（显著性水平为0.05）。参考答案：拒绝原假设8.某城市为了了解居民的出行方式，对1000名居民进行了调查。调查结果显示，有600名居民每天使用公共交通工具出行，400名居民每天自驾出行。请用样本估计总体，计算该城市居民每天使用公共交通工具出行和自驾出行的概率的置信区间（置信水平为95%）。参考答案：0.6±0.039,0.4±0.039标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查概率统计中的基本概念。一级品率为95%，二级品率为5%，故抽到二级品的概率为5%，即0.05。选项A正确，选项B为一级品率，选项C和D为错误计算。2.参考答案：C解析：本题考查函数在闭区间上的最值问题。首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5。故最大值为5，选项C正确。3.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点之间的距离，即3-(-2)=3。选项B正确。4.参考答案：C解析：本题考查三角函数的对称性。函数h(x)=sin(x+π/3)关于y轴对称，则sin(x+π/3)=sin(-x+π/3)，即x+π/3=kπ+(-x+π/3)，解得x=kπ，故x的取值范围是2kπ+π/6。选项C正确。5.参考答案：A解析：本题考查函数的单调性。求导p'(x)=e^x-2，令p'(x)=0得x=ln2。当x∈(0,ln2)时，p'(x)0，函数单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，p'(x)0，函数单调递增。故在(0,+∞)上先减后增，选项A正确。6.参考答案：A解析：本题考查对数函数的定义域。x²-2x+30恒成立，故定义域为R。选项A错误，选项B、C、D均错误。7.参考答案：A解析：本题考查二次函数的对称性。函数m(x)=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)=1，解得b=-2a。选项A正确。8.参考答案：B解析：本题考查三角函数的值域。n(x)=cos(2x)，值域为[-1,1]。选项B正确。9.参考答案：D解析：本题考查绝对值函数的导数。在x=0处导数不存在，其他处导数为±1。选项D正确。10.参考答案：C解析：本题考查平均数的计算。平均气温=(5+8+12+15+18+20)/6=17℃。选项C正确。二、填空题1.参考答案：5/8解析：本题考查〈古典概型〉。盒子里共有8个球，其中5个是红球。抽到红球的概率是红球个数与总球个数的比值，即5/8。2.参考答案：5解析：本题考查〈样本均值计算〉。样本均值为所有数据之和除以数据个数。根据题意，4+7+9+x+12=8×5，解得x=5。3.参考答案：0.444解析：本题考查〈二项分布概率计算〉。命中2次的概率P(X=2)=C(3,2)×0.7²×(1-0.7)¹=3×0.49×0.3=0.441，约等于0.444。4.参考答案：1/6解析：本题考查〈古典概型〉。两个骰子点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种情况。总共有6×6=36种可能的组合，所以概率是6/36=1/6。5.参考答案：1解析：本题考查〈互斥事件概率加法公式〉。事件A和事件B互斥，意味着它们不能同时发生。事件A或事件B发生的概率是P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。6.参考答案：0.7解析：本题考查〈样本均值标准误差计算〉。样本均值的标准误差SE=σ/√n=5/√50=5/7.071≈0.7。7.参考答案：1解析：本题考查〈正态分布z分数计算〉。z分数表示一个数据点与均值的距离，以标准差为单位。z=(x-μ)/σ=(180-170)/10=1。8.参考答案：3解析：本题考查〈标准差与方差关系〉。标准差是方差的平方根，即σ=√σ²=√9=3。9.参考答案：0.836解析：本题考查〈对立事件概率计算〉。至少有1名学生喜欢数学的概率等于1减去都不喜欢数学的概率。都不喜欢数学的概率是(1-0.6)³=0.4³=0.064。所以至少有1名学生喜欢数学的概率是1-0.064=0.936，约等于0.836。10.参考答案：0.15解析：本题考查〈独立事件概率计算〉。事件A发生且事件B不发生的概率是P(A)×P(B')=0.5×(1-0.3)=0.5×0.7=0.35。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查互斥事件的概率性质。若事件A和事件B互斥，则A与B不能同时发生，即A发生时B一定不发生，因此条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)=0/P(B)=0。2.参考答案：×解析：本题考查中位数与平均数的关系。中位数是将数据排序后位于中间位置的值，而平均数是所有数据的算术平均值，二者没有必然的相等关系。例如，数据1,2,100的中位数为2，平均数为34，不相等。3.参考答案：√解析：本题考查正态分布的性质。若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则其概率密度函数关于x=μ对称，因此P(Xμ)=0.5。4.参考答案：√解析：本题考查样本方差的统计性质。样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量，即E(S²)=σ²，这是样本方差的基本性质。5.参考答案：√解析：本题考查独立事件的概率计算。若事件A与B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.4-0.6×0.4=0.88。6.参考答案：√解析：本题考查简单随机抽样的定义。简单随机抽样要求总体中的每个个体被抽中的概率相等，这是其基本特征。7.参考答案：√解析：本题考查样本标准差的应用。若总体分布未知，样本标准差S是总体标准差σ的无偏或一致估计量，可用于估计总体标准差。8.参考答案：×解析：本题考查二项分布的概率计算。抛掷一枚均匀的硬币三次，出现两次正面的概率为C(3,2)×(1/2)²×(1/2)¹=3×1/4×1/2=3/8，不是1/8。9.参考答案：√解析：本题考查标准差的意义。若一组样本数据的标准差为0，则所有数据都相等，因为标准差是衡量数据分散程度的指标，若标准差为0，说明数据没有分散，即所有数据相同。10.参考答案：√解析：本题考查线性回归分析的相关系数。相关系数r的绝对值越大，表示两个变量之间的线性关系越强，模型的拟合效果越好。四、简答题1.参考答案：C解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。由于事件A和事件B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1.0。选项A、B、C、D中，只有选项C的值等于1.0，故正确答案为C。2.参考答案：B解析：本题考查独立重复试验的概率计算。至少有1名学生喜欢数学的概率等于1减去3名学生都不喜欢数学的概率。3名学生都不喜欢数学的概率为0.4的立方，即0.4^3=0.064。因此，至少有1名学生喜欢数学的概率为1-0.064=0.936。选项A、B、C、D中，只有选项B的值接近0.936，故正确答案为B。3.参考答案：中位数=9，众数=无解析：本题考查中位数和众数的计算。将样本数据按从小到大的顺序排列为：5,7,9,10,12,15。中位数是中间两个数的平均值，即(9+10)/2=9.5。由于样本数据中没有重复出现的数，因此没有众数。选项A、B、C、D中，没有正确答案，故本题无正确选项。4.参考答案：21.4℃解析：本题考查平均气温的计算。该城市一周的平均气温等于一周气温总和除以天数。一周气温总和为20+22+19+21+23+24+22=151℃。因此，平均气温为151℃/7天≈21.4℃。选项A、B、C、D中，没有正确答案，故本题无正确选项。5.参考答案：√解析：本题考查样本方差与总体方差的关系。样本方差是总体方差的无偏估计量，即样本方差的期望值等于总体方差。因此，该说法正确。6.参考答案：3/8解析：本题考查二项分布的概率计算。抛掷一枚均匀的硬币三次，恰好出现两次正面的概率可以用二项分布公式计算，即P(X=2)=C(3,2)(1/2)^2(1/2)^1=31/41/2=3/8。选项A、B、C、D中，没有正确答案，故本题无正确选项。7.参考答案：0.35解析：本题考查独立事件的概率乘法公式。由于事件A与事件B相互独立，根据独立事件的概率乘法公式，P(A∩B)=P(A)P(B)=0.70.5=0.35。选项A、B、C、D中，没有正确答案，故本题无正确选项。8.参考答案：5/28解析：本题考查古典概型的概率计算。从8个球中随机抽取2个球，抽到2个红球的概率等于从5个红球中抽取2个球的组合数除以从8个球中抽取2个球的组合数，即C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14。选项A、B、C、D中，没有正确答案，故本题无正确选项。五、应用题1.参考答案：0.1587解析：本题考查正态分布。首先，改进后元件寿命的均值μ=10200，标准差σ=500。要求元件寿命超过12000小时的概率，即P(X12000)。标准化处理，得到Z=(12000-10200)/500=3.6。查标准正态分布表，得到P(Z3.6)=1-P(Z≤3.6)=1-0.9998=0.0002。因此，改进后元件寿命超过12000小时的概率为0.0002。2.参考答案：0.0498解析：本题考查泊松分布。高峰时段车流量服从泊松分布，平均每小时50辆。要求3分钟内没有车辆通过的概率，即P(X=0)。3分钟内车流量服从泊松分布，平均为50(3/60)=2.5。查泊松分布表，得到P(X=0)=e^(-2.5)2.5^0/0!=0.0821。因此，3分钟内没有车辆通过的概率为0.0821。3.参考答案：0.6±0.039解析：本题考查置信区间。样本比例p=120/200=0.6，样本量n=200。置信水平为95%，查正态分布表得到Z=1.96。置信区间为p±Z√(p(1-p)/n)=0.6±1.96√(0.60.4/200)=0.6±0.039。因此，该学校学生每周至少阅读一本书的概率的置信区间为0.6±0.039。4.参考答案：拒绝原假设解析：本题考查假设检验。原假设H0：两种广告方案的效果无显著差异，备择假设H1：两种广告方案的效果有显著差异。样本比例p1=600/1000=0.6，p2=500/1000=0.5。检验统计量Z=(p1-p2)/√(p(1-p)(1/n1+1/n2))=(0.6-0.5)/√(0.50.5(1/1000+1/1000))=2.83。查正态分布表，得到P(Z2.83)=0.0023。显著性水平为0.05，由于P值小于0.05，拒绝原假设。因此，两种广告方案的效果存在显著差异。5.参考答案：拒绝原假设解析：本题考查假设检验。原假设H0：两种品