2027届昆明市云南师范大实验中学数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

2027届昆明市云南师范大实验中学数学九年级第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，将(其中∠B=33°，∠C=90°)绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于()A． B． C． D．2．sin30°等于()A． B． C． D．3．在反比例函数的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（）A．－1 B．1 C．2 D．34．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A． B．C． D．5．下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（）A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.67．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（）．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（）.A．（0，﹣2） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（0，﹣）9．如图，在矩形中，于F，则线段的长是（）A． B． C． D．10．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（）A．铜陵市明天将有75％的时间降水 B．铜陵市明天将有75％的地区降水C．铜陵市明天降水的可能性比较大 D．铜陵市明天肯定下雨11．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（）A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞312．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.14．两个相似多边形的一组对应边分别为2cm和3cm，那么对应的这两个多边形的面积比是__________15．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．16．如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则________．17．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为________18．在中，，，则______________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，点在上，，交于点，点为射线上一动点，平分，连接．（1）求证：；（2）连接，若，则当_______时，四边形是矩形．20．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，作于点，当点的横坐标为时，求的面积；（3）若点为抛物线上的一个动点，以点为圆心，为半径作，当在运动过程中与直线相切时，求点的坐标（请直接写出答案）．21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半径．22．（10分）如图在完全相同的四张卡片中，分别画出边长相等的正方形和等边三角形，然后放在盒子里搅匀，闭上眼睛任取两张，看纸片上的图形能拼成长方形或拼成菱形或拼成小房子，预测一下能拼成“小房子”的概率有多大．23．（10分）求下列各式的值：（1）2sin30°﹣3cos60°（2）16cos245°﹣．24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．25．（12分）求值：+2sin30°－tan60°-tan45°26．时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角．【详解】解：，，，点、、在同一条直线上，，旋转角等于．故选：D．本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．2、B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题．详解：sin30°=．故选B．点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．3、A【解析】因为的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，所以k−1<0，即k<1.故选A.4、D【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误；B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误；C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误；D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确．故选D．解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．5、A【分析】根据圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，依次分析可得出正确的命题，即可得出答案．【详解】①不共线的三点确定一个圆，错误，假命题；②任何三角形有且只有一个内切圆，正确，真命题；③在同一个圆中,圆心角相等所对的弧也相等,错误，假命题；④正五边形、正三角形都不是中心对称图形，错误，假命题；故答案为A.本题考查了圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，解题时记牢性质和判定方法是关键．6、D【解析】如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥AB，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，∵AB∥C'B'∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，∴四边形EFDC'是矩形，∴C'E＝DF，∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，∴△BDF∽△BAC∴，∴∴DF＝2.4＝C'E，∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，故选：D．此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.7、A【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为经计算只有甲点合适，

故选：A．

本题考查了相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似．

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

（3）三边对应成比例的两个三角形相似．8、B【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．【详解】如图，作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，解得，y=x2+4x+2=（x+2）2-2，M（-2，-2），N点关于y轴的对称点N′（1，-1），设MN′的解析式为y=kx+b，将M、N′代入函数解析式，得，解得，MN′的解析式为y=x-，当x=0时，y=-，即P（0，-），故选：B．本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键．9、C【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可．【详解】解：四边形是矩形，，，，的面积，；故选：．本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键．10、C【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

A、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；

B、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；

C、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；

D、明天肯定下雨，故此选项错误；

故选：C．此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．11、C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞1，解得m＜1．故选：C．本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．12、B【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．【详解】解：阴影部分的面积为：1×1÷1---=1-．故答案为1-．本题主要考查了扇形的面积计算，关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．14、4：9【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可．【详解】解：因为两个三角形相似，

∴较小三角形与较大三角形的面积比为（）2=，故答案为：.此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．15、．【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．故答案为．本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．16、【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC.【详解】解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，∴BC=2CH,

∴AB=2BH=2=，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，，∵，∴PA=，PC=,∴PA+PC=，故答案为：.本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．17、(4+)【分析】根据题意先作B3E⊥x轴于E，观察图象可知为三次一个循环，求点M的运动路径，进而分析求得翻滚10次后AB中点M经过的路径长．【详解】解：如图作B3E⊥x轴于E，可知OE=5，B3E=，观察图象可知为三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为：.故答案为：(4+).本题考查规律题，解题的关键是灵活运用弧长公式、等边三角形的性质等知识解决问题.18、【分析】根据sinA=，可得出的度数，并得出的度数，继而可得的值．【详解】在Rt△ABC中，，∵，∴∴∴=.故答案为：.本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）见详解；（2）1【分析】(1)先证，再证，可得，即可得出结论；

(2)根据矩形的性质可得∠BCA=90°，再证△ABC≌△ADC，即可解决问题.【详解】(1)证明：∵平分∴∵∴∵∴∴∴(2)当1时，四边形是矩形．当四边形是矩形,∴∠BCA=90°,

又∵平分，

∴∠BAC=∠DAC∴△ABC≌△ADC，

∴BC=DC又∵

∴DC=1

故答案为1．本题考查矩形判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20、（1）；（2）；（3）点为或【分析】⑴根据，求出B、C的坐标，再代入求出解析式；⑵根据题意可证△PED∽△BOC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△PED的面积；⑶根据二次函数图象的性质及切线性质构造相似三角形来求出点M的坐标.点M在直线BC的上方或在直线BC的下方两种情况来讨论．【详解】解：（1），，，点为，点为代入得：，（2）当时，，点坐标为，点坐标为，点坐标为直线解析式为，平行于轴，点坐标为平行于轴，，，，与的面积之比是对应边与的平方，的面积为，的面积是（3）过点作于点，过点作于点，，与直线相切，，设点的坐标为如图1，点的坐标为代入直线得解得，点的坐标为或图1如图2，点的坐标为代入直线得方程无解综上，点为或图2本题考查了了二次函数图象的性质及二次函数的图形问题，（1）用图象上的点求系数；（2）用相似三角形的性质求三角形的面积；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质来解决问题即可．21、（1）见解析；（2）⊙O的半径为1【分析】（1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B+∠EAC=90°，∠PAC+∠EAC=90°即可解决问题；

（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM2=OC2-OM2=CF2-FM2构建方程即可解决问题；【详解】（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．∵AE是直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠E＝90°，∵∠B＝∠E，∴∠B+∠EAC＝90°，∵PA是切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PAC+∠EAC＝90°，∴∠PAC＝∠ABC．（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OM⊥BC，∴BM＝MC，，∵OB＝OD，∴OM＝CD＝1，∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB，，∴∠BDF＝∠CDF，∴∠ACB＝∠CDF，∴，∴AB＝CF＝2，∵CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2，∴x2﹣12＝（2）2﹣（x﹣1）2，∴x＝1或﹣2（舍），∴⊙O的半径为1．本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理推论，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．22、．【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】画树状图如图：∵所有机会均等的结果有12种，能组成小房子的结果有8种，∴P（所抽出的两张卡片能拼成“小房子”）＝．本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到能组成小房子的情况数是解题关键．23、（1）；（2）．【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】（1）2sin30﹣3cos60＝2×﹣3×＝1﹣＝﹣；（2）16cos245﹣tan260