福建省漳州市2026届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题（含答案）

福建省漳州市2026届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.样本数据1,3,4,5,8,10,12,15的下四分位数为（）A.B.C.D.4.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.5.已知点，抛物线的焦点为，是上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.6.已知是等比数列，，，则（）A.B.C.D.7.定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.8.一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（）A.B.C.D.10.在正方体中，分别为和的中点，下列说法正确的是（）A.平面平面B.C.与平面所成角的正切值为D.11.若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（）....三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，则曲线在点处的切线方程为.13.已知双曲线的两条渐近线夹角为60°，则的离心率为.14.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个步，从整点到整点的一条路是指由若干个步组成的起点为、终点为的有向折线.则整点到整点的路的条数为.（结果用数字表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个.（1）为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入（单位：万元）和最终得分（单位：分），数据如下表：请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；（2）从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数，求的分布列和数学期望.（参考公式与数据：，，，）16.（15分）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.（1）求的单调递增区间；（2）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.17.（15分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若存在两个零点，求的取值范围.18.（17分）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.（1）求证：平面；（2）若平面平面，，.（ⅰ）当时，求证：平面；（ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值.19.（17分）已知椭圆的焦距为2，且过点.（1）求的标准方程；（2）过点作两条斜率存在且不为零的直线分别交于和，满足.（ⅰ）证明：的斜率之和为定值；（ⅱ）求四边形面积的最大值.参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.A5.B6.C7.D8.C二、多项选择题9.AC10.BCD11.ACD三、填空题12.13.或14.四、解答题15.解：（1），，∵，，∴，，∴回归直线方程为.（2）的可能取值为0,1,2,3.；；；.∴的分布列为：∴.16.解：（1）∵，∵的图象相邻两条对称轴的距离为，∴的最小正周期为，∴，又，∴.∴，令，解得，∴的单调递增区间为.（2）∵，令，得，∴或，.即或，.∴所有的正零点为或，，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴.17.解：（1）依题意得，要证，只需，令，∴.设，∵，∴在区间上单调递增，故，即，∴在区间上单调递增，故，故当时，.（2），若，则，∴在定义域内单调递增，故至多1个零点，舍去；若，令，解得，当时，；当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵存在两个零点，∴有，即，解得，设，则，当时，；当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，从而，即，此时，由（1）知，，且，∴在区间和区间内分别存在唯一零点，符合题意.综上所述，若的定义域内存在两个零点，则的取值范围是.18.解：（1）连接交于点，连接，∵四边形是正方形，∴为中点，又∵为中点，∴在中，有，∵平面，平面，∴平面.（2）在正方形中，有.∵平面平面,平面平面,平面，∴平面，∵平面，∴，又,以为原点，分别以的方向分别为轴的正方形建立空间直角坐标系，则，,，，,（ⅰ）当时，，，∴,，∴，，即，，又∵平面，平面，，，∴平面.（ⅱ）设为平面的法向量，则有，取，得，，则是平面的一个法向量，，设为平面的法向量，则有，不妨取，得，，则是平面的一个法向量，∵二面角的正弦值为，∴，∴，即，化简得，解得或（舍），∴的值为.19.解：（1）由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，则，即，，∴的标准方程为.（2）（ⅰ）设的坐标分别为，设的方程为，联立，整理得，∴，，，设的方程为，同理有，