《工程流体力学基础第2版》-第6章

第6章理想流体的有旋与无旋流动第7节圆柱体的无环量绕流——平行来流与偶极流的叠加第8节圆柱体有环量绕流——平行来流、偶极流和点涡的叠加第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式第10节理想流体的有旋流动上一页返回第1节流体流动微分形式的连续性方程连续性方程的物理意义是质量守恒定律，在第3章，我们已经根据这一定律导出了连续性方程的积分形式，现在我们推导其微分形式。微分形式的连续性方程可采用微元分析法得到，也可由积分形式的连续性方程式（3−15）导得。下面我们从积分形式的连续性方程进行推导。在积分形式的连续性方程中，由于控制体是任意选定的，方程中第一项可写成下一页返回第1节流体流动微分形式的连续性方程以及高斯公式，方程中第二项可写成式中，控制体Vc就是由控制面Ac所围成的区域。这样，积分形式的连续性方程可写成由于控制体Vc是任意选定的，上式积分为0，则被积函数必为0，得到上一页下一页返回第1节流体流动微分形式的连续性方程这就是微分形式的连续性方程。上一页返回第2节流体微团运动分解定理流体微团在运动过程中不断受到外部压力和剪切力的作用，在这些力的作用下不断地进行着移动、转动和变形运动。流体微团的运动是一个连续、复杂的运动过程，为此我们将微团运动的过程进行分析和分类，这就是流体微团运动的分解。在流场中任取一个流体微团，如图6−1所示。在微团中任选一个点A，位于(x,y,z)，再任取另外一个点B，位于(x+dx,y+dy,z+dz)，下面以A为基点，分析B点相对于基点A的运动过程。设A点处的三个速度分量为u

(x,y,z)，v

(x,y,z)，w

(x,y,z)下一页返回第2节流体微团运动分解定理在B点处的三个速度分量为u(x+dx,y+dy,z+dz)v(x+dx,y+dy,z+dz)w(x+dx,y+dy,z+dz)则由泰勒定理，有上一页下一页返回第2节流体微团运动分解定理上式用矩阵形式表达，可写成上式右边第一项表示B点与A点一起做平行运动，即若右边第二项为0，则uB=uA，vB=vA，wB=wA上一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分流体质点的运动是符合牛顿第二定律的，由此得出流体的运动与它所受到的作用力之间的关系，从而建立流体运动的基本方程。本节考虑流体为理想流体，流体质点没有切向力，只有法向力，所建立的运动方程是理想流体运动方程。1.理想流体的运动微分方程式在空间流场中，取一边长分别是dx、dy、dz的微元六面体，如图6−5所示，该六面体的各个边与坐标轴平行，并设A（x,y,z）点为该六面体的顶点。下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分（1）作用在微元上的表面力。设A点处的压强为p，由于dx、dy、dz都很小，可以认为在包含A点的三个微元体的边界面上，压强均为p，则由数学中的泰勒展开，对应的三个边界面上的压强分别为上一页下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分上一页下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分

2）作用在微元上的质量力。设作用于单位质量流体上质量力的三个分量分别为X、Y、Z，微元体内的流体质量为pdxdydz，则微元体所受的质量力在x、y、z三个坐标方向的分量分别为Xpdxdydz，Ypdxdydz，Zpdxdydz（3）根据牛顿第二定律列方程。微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为，则由牛顿第二运动定律，沿x轴方向的运动方程为上一页下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分这就是著名的欧拉理想流体运动微分方程，是由欧拉在1755年得出的。欧拉方程（6−13）和连续性方程（6−4）一起构成描述理想流体运动的偏微分方程组。上一页下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分2.对欧拉运动微分方程的积分对于理想流体运动微分方程式（6−13），将三个方程分别乘dx、dy、dz后，对应项相加，则有以下公式成立。（1）对于等式左边第一项，分别乘dx、dy、dz再相加后，得到（2）对于等式左边第二项，分别乘dx、dy、dz再相加后为上一页下一页返回第3节理想流体运动微分方程及其积分（3）对于等式右边第一项，分别乘dx、dy、dz再相加后为（4）对于等式右边第二、三、四项，分别乘dx、dy、dz再相加后，有上一页返回第4节二元有势流动的势函数与流函数这一节讨论平面的无旋流动，对于二元流动来说，若流动无旋，则必有势函数ϕ存在，且有当然，若式（6−31）成立，则必有即流动一定是无旋的。下一页返回第4节二元有势流动的势函数与流函数对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函数，记作ψ，定义如下这样的函数是天然满足连续性方程的，即有流函数与势函数有如下基本特性。上一页下一页返回第4节二元有势流动的势函数与流函数1.对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数2.势流的叠加原理3.流函数与势函数满足科希—黎曼关系式4.等流函数线与等势函数线正交5.等流函数线为一条流线6.两条流线之间的流量为两条流线的流函数值之差上一页返回第5节基本平面势流的流函数与势函数所谓基本平面势流包括平行来流、点源、点汇、点涡和偶极流，这些基本平面势流的叠加可形成许多流动，也是利用势流理论解决实际问题的基础。1.平行来流平行来流是指流体自无穷远处以固定的流速和方向进行的流动，如图6−9所示。选择坐标系的x轴与来流方向相同，则有下一页返回第5节基本平面势流的流函数与势函数对上式积分，得到平行来流的势函数与流函数分别为2.点源与点汇所谓点源与点汇，也称为奇点，流动情形如图6−10所示。可以设想是无限大水池中的进水口和出水口，流体只有沿径向方向的流动，其流量是一定的，这个流量q称为点源或点汇的强度。3.点涡点涡也称自由涡，是一个围绕中心点O做圆周运动的流动，如图6−11所示。上一页下一页返回第5节基本平面势流的流函数与势函数4.偶极流这是一个由点源和点汇叠加而形成的一种特殊流动。假设在A点（−a,0）处放置一个强度为q的点源，在B点（a,0）处放置强度相等的点汇，如图6−12所示，则点源与点汇叠加后流场的速度势函数为上一页下一页返回第5节基本平面势流的流函数与势函数则叠加后的势函数为叠加后的流函数为上一页返回第6节几种典型的有势流动1.点源与点涡叠加——螺旋流动对于压气机等设备，气流沿圆周切向流入，这样的流动可看成是点汇和点涡的叠加。假设在坐标原点处放置一个强度为q的点汇和一个逆时针旋转环量为Γ的点涡，如图6−15所示。试求所形成流场的流函数和势函数以及流线。根据势流的叠加原理，点汇与点涡叠加后的势函数和流函数分别为下一页返回第6节几种典型的有势流动整理得流线方程为上一页下一页返回第6节几种典型的有势流动2.平行来流与点源叠加——半体绕流设在沿x轴方向来流速度为V0的流场中的坐标原点处放置一个强度为q的点源，如图6−16所示，试求流动的流函数与势函数，并求流线方程。3.点源引起的半空间流动——镜面反射原理在无限大平板的上方放置一个强度为q的点源，如图6−17所示。设点源距平板的距离为h，求此流场的势函数与流函数。这是一个镜面反射原理的应用问题。设想以平板为对称面，在点源的对称点（0，−h）处放置强度相同的点源，使x轴为一条流线，则由两个点源叠加而成的流场，其y0>部分区域内的流动与原流场是相同的。上一页返回第7节圆柱体的无环量绕流——平行来流与偶极流的叠加

在无穷远处速度为V0的平行流，绕流半径为r0的无限长圆柱体，如图6−18所示。流动可由平行来流和偶极流叠加而成，是一种有势的组合平面流动。设坐标原点位于圆柱中心处，平行来流的方向平行于x轴。在原点处放置一个偶极矩为M的偶极子，则由平行来流与偶极流叠加而成的组合平面流动的流函数为返回第8节圆柱体有环量绕流——平行来流、偶极流和点涡的叠加

下面我们讨论绕圆柱体有环量的平面绕流问题。假设流场由平行于x轴的均匀来流、位于坐标原点处的偶极流和顺时针旋转的点涡组成，如图6−21所示。假设偶极流的偶极矩为M=2πV0r02

，点涡的速度环量为顺时针方向，则叠加后流场的流函数和势函数为下一页返回第8节圆柱体有环量绕流——平行来流、偶极流和点涡的叠加

上一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

叶栅是由同一叶型的叶片以相等的间隔距离排列而成的，叶栅的通道形状可根据叶型、栅距和安装角三者确定。现在应用动量定理推导叶栅的库塔—儒可夫斯基公式，确定理想不可压缩流体绕叶栅做定常无旋流动时，叶栅中任一叶型所受到的作用力。图6−26所示为一个典型的叶栅通道，气流绕流叶栅中的某个叶型时，会对叶型产生作用力，并产生力矩，使叶栅绕自身轴转动起来。1.选取控制面在叶栅中选择一个控制面，如图6−26中虚线ABCDA所示。（1）这个控制面是由两条平行于叶栅额线、长度等于栅距t的线段和两条相同的流线所组成的。下一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

（2）两条线段AB和CD都远离叶栅，可以认为每条线段上的速度和压力都是均匀一致的常数。（3）设在AB线上各点的速度为V1

，与额线成β1角；在CD线上各点的速度为V2

，与额线成β2角。（4）在叶栅通道中两条相同的流线AD和BC也是相距一个栅距t。叶栅中围绕每一个孤立叶型的流动都是相同的，两条流线在通道中的位置又完全相同，显然，这两条流线上的压力分布应完全一样。所以，作用在AD和BC上的压力合力恰好大小相等，而指向相反，互相平衡。上一页下一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

2.受力分析设这个控制面内流体作用于叶型（单位高度的叶片）上的合力为F，其分量为轴向作用力Fx和周向作用力Fy。作用在控制面内流体上的力R由两部分组成：（1）叶片对流体的反作用力−Fx

和−Fy

；（2）控制面以外的流体对控制面以内流体的作用力的合力(p1−p2)t×1。则R的分量为上一页下一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

3.动量分析由连续性方程，每秒流入控制面的流体质量为上一页下一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

4.导出升力公式下面推导式（6−84）中的速度与绕流叶型环量之间的关系。由于沿流线BC和DA速度的线积分大小相等而方向相反，互相抵消，故绕封闭周线ABCDA的速度环量Γ的大小为上一页下一页返回第9节叶栅的库塔——儒可夫斯基升力公式

此即叶栅的库塔—儒可夫斯基公式。表示理想不可压缩流体绕叶栅做定常无旋流动时，作用在叶栅中每一个叶型上的合力等于流体密度、几何平均速度和绕叶型的速度环量三者的乘积，合力方向是把几何平均速度矢量V沿反速度环量方向转过90°。上一页返回第10节理想流体的有旋流动根据流体微团速度分解定理，对于一个流场，若式（6−10）不等于0，则此流场中的流动为有旋流动，流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴旋转的流体微团。1.涡线、涡管、涡束和漩涡强度在有旋流动的流场中，由于存在着绕自身轴旋转的流体微团，于是形成一个用角速度ω(x,y,z,t)表示的涡量场。与流线类似，我们也可引进描述涡量场的涡线。涡线也是一条曲线，在给定的瞬时t，这条曲线上每一点的切线与该点处的流体微团的角速度ω的方向相重合，故涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线，如图6−27所示。下一页返回第10节理想流体的有旋流动涡线的微分方程为式中，t是给定的参数。对于某一瞬时，取一条非涡线的封闭曲线，过封闭曲线上每一点做涡线，这些涡线形成的管状表面称为涡管，如图6−28所示。涡管中充满着做旋转运动的流体，称为涡束。2.速度环量及斯托克斯定理实际观察发现，在有旋流动中，漩涡强度越大，旋转速度越快，旋转范围越大。上一页下一页返回第10节理想流体的有旋流动故漩涡强度与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系，为此引进速度环量的概念。定义：速度在封闭曲线切线上的分量沿该曲线C的线积分称为速度环量，即有速度环量的正向规定为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧，即逆时针方向的速度环量为正。斯托克斯（G.G.Stokes）定理：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和，用公式表示就是上一页下一页返回第10节理想流体的有旋流动斯托克斯定理说明，速度环量的存在不但可以决定漩涡的存在，还可以衡量封闭周线所包围区域中全部漩涡的总强度。环量等于0，总漩涡强度等于0；环量不等于0，必然存在漩涡。反之，没有漩涡，就没有环量。3.汤姆生定理及海尔姆霍茨漩涡定理汤姆生（W.Thomson）定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量