《工程流体力学基础第2版》-第7章

第1节不可压缩黏性流体的运动方程当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力。在流场中任取一个边长分别为Δx、Δy、Δz的平行六面体微团，如图7−1所示。作用在六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用p表示法向力，用τ表示切向力。由于既要表示所在的平面，又要表示应力的方向，所以需要两个角标来表示，第一个角标表示应力所在平面的法方向，第二个角标表示应力本身的方向。比如τxy，第一个角标x表示在与x轴垂直的平面上，第二个角标y表示应力方向与y轴平行。下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程为方便起见，设所有法向应力都沿所在平面的外法向方向，切应力在过A（x,y,z）点的三个平面上与坐标轴方向相反，其他三个平面上与坐标轴方向相同。1.切向应力之间的关系过六面体中心，在xy平面选取一边长为Δx、Δy，厚为Δz的微小单元，如图7−2所示，M点位于四边形的中心处。由达朗伯原理，质量力和表面力对M点的力矩之和为0；由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶小量，略去不计，得到上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程再略去四阶小量，得到τxy=

τyx。同理可得则9个应力中只有6个是独立变量。2.广义牛顿内摩擦定律对于黏性切应力与速度梯度（变形速率）的关系，我们有牛顿内摩擦定律，即上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程对于多元流动来说，由式（6−7）所表示的exy,exz,eyz也是角变形速率，可将牛顿内摩擦定律推而广之，即黏性切应力与流体微团的角变形速率之间满足这就是广义牛顿内摩擦定律，其意义就是切应力等于动力黏度和角变形速率的乘积。上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程3.法向应力现在来研究一下法向应力之间的关系。对于理想流体（无黏性），在同一点上各方向的法向应力是相同的，即有而对于黏性流体，由于黏性的作用，流体微团除角变形外，还有线变形，使法向应力的大小有变化，产生附加的法向应力。应用广义牛顿内摩擦定律式（7−3）的形式，附加法向应力应等于动力黏度与两倍的线变形速率的乘积，则有上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程此即为法向应力的表达式。将上述三个式子相加，得到三个法向应力之和为对于不可压缩流体，得到说明三个法向应力的算术平均值恰好就是理想流体的压强。4.N−−S方程将上面的结果式（7−3）、式（7−4）代入运动方程（7−1），考虑到式（7−2），对于沿x轴的运动方程，有上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程上一页下一页返回第1节不可压缩黏性流体的运动方程这就是著名的Navier−Stokes方程，与连续性方程一起，构成不可压缩流体运动基本方程组，共有4个方程，可求解uvwp4个未知量。上一页返回第2节N-S方程的精确解1.两平板之间的层流流动在如图7−3所示的两个平板之间充有黏性液体，设平板无限大，下板固定，上板以均速V运动，沿流动方向有压力梯度，试求两板之间的流体流动速度分布。下一页返回第2节N-S方程的精确解2.等径圆管中充分发展层流的速度分布对于圆管中的流动，采用柱坐标比较方便。在柱坐标系下，所有变量都是柱坐标r、z、θ的函数，相应的速度分量为Vr、Vθ

和Vz。上一页下一页返回第2节N-S方程的精确解上一页返回第3节紊流基本方程——雷诺方程紊流流场中的物理量可分为瞬时值、时均值和脉动值，由于瞬时值和脉动值具有不确定性，很难处理，故采用时均值。时均值所满足的方程，就是对N−S方程进行时均化，所得到的方程就是紊流基本方程，也称为雷诺方程。返回第4节边界层概论边界层（BoundaryLayer）又叫附面层，是指贴近固壁附近的一部分流动区域，在这部分区域中，流动速度由固壁处的0，迅速发展到接近来流的速度。在这部分区域中，由于厚度很小，故速度急剧变化，沿壁面法线方向的速度梯度很大，流体的黏性效应也主要体现在这一区域中。在离壁面较远的地方，速度梯度很小，黏性力比惯性力小得多，黏性力可以略去不计，可看作是理想流体的无旋流动。而在边界层和尾涡区内，必须考虑流体的黏性力，这一区域应看作是黏性流体的有旋流动。值得说明的是，边界层的内、外区域并没有明显的分界面，一般在实际应用中，把边界层的厚度规定为在边界层的外边界上流速达到层外势流速度的99%。下一页返回第4节边界层概论边界层理论最先是由普朗特在1904年提出的，借助于理论研究和几个简单的实验，他证明了绕固体的流动可以分成两个区域：一是物体附近很薄的一层（边界层），其中黏性力起着主要的作用；二是该层以外的其余区域，其中黏性力可以忽略不计。解决大雷诺数绕流物体流动的近似方法就是以边界层理论为基础的。边界层有如下基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大；（3）边界层的厚度沿流体流动方向逐渐增大；上一页下一页返回第4节边界层概论（4）由于边界层很薄，故可近似认为层中各截面处的压强与相同截面上边界层边界处的压强相等；（5）边界层内黏性力与惯性力具有相同的数量级。上一页返回第5节边界层的分离现象当黏性流体绕流曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的速度V是随物体厚度的变化而变化的，故曲面边界层内的压强也将发生相应的变化，这种速度和压强的改变对边界层内的流动也会产生影响，本节着重说明曲面边界层的分离现象。流体流经圆柱体的流动如图7−9所示。以V0和p0表示来流所具有的速度和压强。由于流体绕过圆柱面前驻点A后，沿上表面的流速增加，直到柱面上B点后，流速逐渐降低，沿曲面各点法向的速度分布如图7−9所示。由伯努利方程可知，相应的压强先降低，然后再升高

。在B点边界层外边界上的速度最大，而压强最低。上一页下一页返回第6节绕圆柱体流动——卡门涡街为进一步说明边界层分离这一重要的现象，我们考虑黏性流体绕圆柱体的流动。（1）把一个圆柱体放在静止的流体中，然后使流体以很低的速度V（雷诺数不大于10）绕流此圆柱体。在开始时，流动与理想流体绕流一样，流体在前驻点速度为0，而后沿圆柱体左右两侧流动。流动在圆柱体的前半部分是降压增速，速度逐渐增大到最大值，在后半部分是升压降速，到后驻点重新等于0，如图7−10（a）所示。（2）逐渐增大来流速度，使圆柱体后部分的压力梯度增大，以致引起边界层的分离，如图7−10（b）所示。下一页返回第6节绕圆柱体流动——卡门涡街（3）随着来流雷诺数的不断增加，由于圆柱体后半部分边界层中的流体质点受到更大的阻滞，分离点S不断向前移动。当雷诺数增大到约40时，在圆柱体的后面便产生一对旋转方向相反的对称漩涡，如图7−10（c）所示。（4）雷诺数超过40后，对称漩涡不断增长并出现摆动，直到60Re≈时，这对不稳定的对称漩涡分裂，最后形成有规则的、旋转方向相反的交替漩涡，称为卡门涡街，如图7−10（d）所示。对有规则的卡门涡街，只能在Re=60~5000的范围内观察到，而且在大多数情况下涡街是不稳定的，受到外界扰动就破坏了。卡门的研究发现，对于圆柱体绕流，当150Re≈时，只有当两侧漩涡之间距离h与同列中相邻两个漩涡间距离l之比：h/l=0.281时，卡门涡街才是稳定的，涡街图谱如图7−11所示。上一页下一页返回第6节绕圆柱体流动——卡门涡街如果来流的流速为V，涡街的运动速度为u，根据动量定理对稳定时的卡门涡街进行理论计算，得到作用在单位长度圆柱体上的阻力为式中，速度比u/V可通过实验测得。圆柱体后部的尾涡，其流动状态在小雷诺数下是层流，在较大雷诺数时形成卡门涡街。上一页下一页返回第6节绕圆柱体流动——卡门涡街随着雷诺数的增加（150<Re<300），在尾涡中出现流体微团的横向运动，流动状态由层流过渡为紊流；到Re≈300时，整个尾涡区成为紊流，漩涡不断地消失在紊流中。在圆柱体后尾涡的卡门涡街中，两列旋转方向相反的漩涡周期性的均匀交替脱落，使圆柱体发生振动。在自然界中常常可以见到卡门涡街现象，例如，水流过桥墩。由于在物体两侧不断产生新的漩涡，必然消耗流动的机械能，使物体受到阻力。当漩涡脱落频率接近于物体的固有频率时，共振还会引起结构的破坏。风吹过电线时发出的声音就是由于电线受涡街作用产生振动而引起的。上一页返回第7节物体阻力与阻力系数黏性流体绕流物体时，物体会受到压力和切向应力的作用，其合力可分解为两个力，一个是与来流方向一致的作用力FD，由于FD与物体的运动方向相反，起着阻碍物体运动的作用，故称为阻力；另一个是与来流方向垂直的力FL

，称为升力。阻力是由于绕流物体所引起的切向应力和压力差造成的，故阻力可分为摩擦阻力和差压阻力两种。摩擦阻力是黏性直接作用的结果，是由流体绕流物体的切向应力所产生的，所以摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来流方向上的投影的总和。压差阻力是黏性间接作用的结果。当流体绕物体流动时，如果边界层在逆压梯度区发生分离，形成漩涡，破坏了作用在物体上前后压力的对称性，从而产生物体前后的压力差，形成压差阻力。下一页返回第7节物体阻力与阻力系数故压差阻力是指作用在物体表面的压力在来流方向上的投影总和。压差阻力的大小与物体的形状有很大的关系，故又称为形状阻力；摩擦阻力与压差阻力之和称为物体阻力。关于摩擦阻力，由于层流边界层所产生的物体表面上的切向应力比紊流小得多，为减少摩擦阻力，应该使物体上的层流边界层尽可能长，使层流到紊流的转捩点尽量后移。在航空上采用一种“层流型”的翼型，就是这个原因。要减小压差阻力，必须采用使物体后部尾涡区尽可能小的外形，也就是使分离点尽量后移，比如圆头尖尾的