20　大单元六　微专题20　圆锥曲线的方程与性质

微专题20圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4(2)(2024·山东泰安一模)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为(A．366 B．246C．186 D．126(3)(2025·福建福州三模)设椭圆C：x249＋y224＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，A为∠F1PF2的平分线与x轴的交点．若PF1·PF2＝0，则A．247 B．C．327 D．[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】(1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件．如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等．(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|±|PF2|与|PF1|·|PF2|的关系．(3)求圆锥曲线的标准方程：先定型，后计算．“定型”，即确定曲线焦点所在坐标轴的位置，从而确定标准方程的形式；“计算”则是根据题目条件，利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．【跟踪训练1】(1)(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为23，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，A．x23＋y2＝1 B．y23＋C．x29＋y25＝1 D．y(2)已知F1，F2分别是双曲线E：x24－y212＝1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|(3)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝m与y轴的交点为A，与抛物线C的交点为B，且|BF|＝32|AB|，则m的值是________椭圆、双曲线的几何性质考向1椭圆、双曲线的几何性质【例2】(1)(2025·吉林白山二模)已知双曲线C的右焦点为F(2，0)，点P在双曲线上且满足PF⊥x轴，若|PF|＝3，则双曲线C的实轴长为()A．1 B．2C．4 D．8(2)(多选)(2024·长沙适应性考试)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则()A．轨道的焦距为d2＋d1B．轨道的离心率为dC．轨道的短轴长为2dD．当d1d2[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】椭圆、双曲线性质应用的常见类型(1)由性质可求椭圆、双曲线的标准方程．反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、范围等)．(2)对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．(3)范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积(周长)等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围(极端点的位置问题)，可将问题转化为函数最值处理．考向2离心率【例3】(1)(2024·南京六校调研)已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝π3，则双曲线A．1，52 C．(1，3] D．[3，＋∞)(2)(2024·湖南岳阳二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AF1·A[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法定义法根据条件求出a，c，直接利用公式e＝ca方程法根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)【跟踪训练2】(1)(2025·河北沧州一模)已知a>b>0，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1与双曲线E：x2a2－y2b2＝1的离心率分别为e1，e2，若3eA．x±5y＝0 B．2x±y＝0C．2x±5y＝0 D．5x±2y＝0(2)(多选)(2024·浙江台州模拟)已知椭圆C：x29＋y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)B．椭圆的短轴长为10C．|PF1|的最小值为1D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值(3)(2025·山东菏泽二模)已知M为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若|NF1|＝|MF2|＝|OM抛物线的几何性质【例4】(1)(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，若1k1－1k2＋1k3＝1，则点A．(1，－2) B．(1，2)C．(2，－1) D．(2，1)(2)(多选)(2025·海南万宁调研)已知斜率为3的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是()A．1|AF|＋1|BF|＝1 BC．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】抛物线的焦点弦性质已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ(3)1|AF|＋1(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(6)过焦点且垂直于对称轴