32　大单元五　微专题17　随机变量及其分布

微专题17随机变量及其分布分布列性质及应用【例1】(1)已知X的分布列如表所示，且Y＝aX＋b，E(Y)＝56，则D(Y)的值为(X－101Pa11A．1 B．518C．59 D．(2)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝23，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝3C．D(X)＝29 D．D(3X＋2)＝(1)D(2)ABC[(1)由a＋13＋16＝1可得a＝所以E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16D(X)＝-1+132×12＋0+132×1所以D(Y)＝a2D(X)＝14×59＝(2)随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝23，所以P(X＝1)＝1所以E(X)＝13，D(X)＝2对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；对于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3，故B正确；对于C，D(X)＝29，故C正确对于D，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×29＝2，故D不正确．【规律方法】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．【跟踪训练1】(多选)(2025·辽宁重点高中期末)已知随机变量X的分布列为X1234Pp23p21－2p＋p21－3p＋p2随机变量Y满足Y＝2X＋1，则()A．p＝12 B．p＝C．P(Y＝5)＝34 D．P(X>2)＝BD[由题意可知，p2＋3p2＋1－2p＋p2＋1－3p＋p2＝6p2－5p＋2＝1，解得p＝12或p＝13．当p＝12时，P(X＝4)＝1－32＋14＝－14<0，故p＝13P(Y＝5)＝P(X＝2)＝3p2＝13，C不正确；P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝59，D正确．故选BD随机变量的分布列考向1相互独立事件【例2】(2025·河北沧州模拟)某书店年终为回馈广大书友拟举办“赢书卡”答题活动．该活动设立两个关卡，分别为A号关卡和B号关卡．小明在A号关卡通关率为13，通关奖励是500元购书卡；在B号关卡通关率为12，通关奖励是600元购书卡(1)若书店只允许随机选择一个关卡闯关，求小明通关的概率；(2)若书店规定在第一关通关后必须连续闯关，通关即可获得对应通关奖励，第一关闯关失败后终止游戏，两关奖励互不影响．小明通过掷骰子选择闯关的序号，若他掷出的点数小于3，则先选择A号关卡，否则选择B号关卡，记小明赢得购书卡的金额为X元，求X的分布列和数学期望．[解](1)设事件M表示小明选择A号关卡并通关，事件N表示小明选择B号关卡并通关，则小明通关的概率为P＝P(M)＋P(N)＝12×13＋12×1(2)小明先选择A号关卡的概率为13，小明先选择B号关卡的概率为2由题意，X的可能取值为0，500，600，1100，所以P(X＝0)＝13×1-13＋23×P(X＝500)＝13×13×1-1P(X＝600)＝23×12×1-1P(X＝1100)＝13×13×12＋23×12所以X的分布列为X05006001100P5121E(X)＝0×59＋500×118＋600×29＋1100×1考向2超几何分布【例3】在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户中有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系．(1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户，求ξ的分布列与期望；(2)小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率．[解](1)由题知，ξ服从超几何分布，可能取值有0，1，2，3，4，所以P(ξ＝0)＝C65C40C105＝142，P(ξ＝1)＝C64C41C105＝521，P(ξ＝2)＝C63C42所以ξ的分布列为ξ01234P151051所以E(ξ)＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×(2)记确定所有潜在用户所需要的联系次数为X，则P(X＝4)＝C44CP(X＝5)＝C43C61P(X＝6)＝C43C62C10所以6次内即可确定所有潜在用户的概率为1210＋2105＋11210【规律方法】求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．第三步，用表格的形式列出分布列．考向3二项分布【例4】(2024·江苏宿迁一模)某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛．经分析，甲队每名队员投篮命中率均为23，乙队三名队员投篮命中的概率分别为12，34，p(0<p<1)．现要求所有队员各投篮一次((1)若p＝34，求甲、乙两队共投中5次的概率(2)以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求p的取值范围．[解](1)记“甲、乙两队共投中5次”为事件A，则甲队投中3次，乙队投中2次或甲队投中2次，乙队投中3次．则P(A)＝23312×C21×34×14+故甲、乙两队共投中5次的概率为1972(2)记甲、乙两队投中次数分别为X，Y，则X~B3，23，所以E(X)＝3×2Y的取值为0，1，2，3，则P(Y＝0)＝12×14(1－p)＝P(Y＝1)＝12×14(1－p)＋12×34(1－p)＋12×P(Y＝2)＝12×34(1－p)＋12×14p＋12×P(Y＝3)＝12×34p＝3所以Y的分布列为Y0123P1-4-33+38所以E(Y)＝54＋p若甲队获胜，则54＋p<2，故0<p<3【规律方法】破解有关二项分布的“四关”【跟踪训练2】(1)已知随机变量X~B(2，p)，其中0<p<1，随机变量Y的分布列为Y012P23－1q表中0<q<23，则D(Y)的最大值为________．我们可以用M＝∑k=02P(X＝k)lnP(X=k)P(Y=k)来刻画X与Y的相似程度，则当D(X(2)(2025·河北石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．①估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；②依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)内的志愿者人数，求X的分布列及期望．(1)23－32[由题表，可得E(Y)＝13＋2q，则D(Y)＝13+2q223-q＋23-2q2×13＋53-2q2×q＝－4q2＋83q＋29＝－4q又由X~B(2，p)，可得D(X)＝2p(1－p)＝12，解得p＝1所以P(X＝0)＝14，P(X＝1)＝12，P(X＝2)＝又因为M＝∑k=02P(X＝k)ln所以M＝14ln34＋12ln32＋14ln34＝12ln34＋12ln32＝12ln98＝ln3(2)[解]①由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为(0.01＋0.015)×10＝0.25，前三组的频率之和为(0.01＋0.015＋0.035)×10＝0.6，所以中位数位于区间[35，45)内，中位数的估计值为35＋10×0.5-0.250.35＝35＋507≈42.由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为20×0.01×10＋30×0.015×10＋40×0.035×10＋50×0.03×10＋60×0.01×10＝41.5．故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5．②由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25，45)内的有20×(0.015＋0.035)×10＝10人，其中年龄在[25，35)内的有20×0.015×10＝3人．由题知年龄在[25，35)内的志愿者人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C30C73C103＝724，PP(X＝2)＝C32C71C103＝740，P所以X的分布列为X0123P72171E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1正态分布【例5】(1)(多选)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性(2)(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)．①已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；②在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望．参考数据：0.997440≈0.9011．参考公式：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9974．(1)AC[X，Y均服从正态分布，X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ结合正态曲线可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．](2)[解]①已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布N(μ，σ2)，由题意可得μ＝65．因为22810000＝0.0228又1-P(μ-2σ≤X即P(X>μ＋2σ)≈0.0228，所以μ＋2σ＝87，解得σ＝11．因为甲市学生A在该次考试中成绩为76分，且76＝μ＋σ，又1-P(μ-σ≤X即P(X>μ＋σ)≈0.1587．所以学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名．②在本次考试中，抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974．所以抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026．所以随机变量X服从二项分布，即X~B(40，0.0026)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997440≈0.0989，则E(X)＝np＝40×0.0026＝0.104．【规律方法】解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ．(2)样本标准差为σ．(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【跟踪训练3】某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩(单位：分)排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362．已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛．附：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973；362≈19．[解](1)由题图知，预赛成绩在[60，80)范围内的样本量为0.0125×20×100＝25，预赛成绩在[80，100]范围内的样本量为0.0075×20×100＝15．由题意知X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝P(X＝2)＝C15