39　大单元六　微专题20　圆锥曲线的方程与性质

微专题20圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4(2)(2024·山东泰安一模)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为(A．366 B．246C．186 D．126(3)(2025·福建福州三模)设椭圆C：x249＋y224＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，A为∠F1PF2的平分线与x轴的交点．若PF1·PF2＝0，A．247 B．24C．327 D．(1)D(2)D(3)B[(1)抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，因为点M在C上，由定义知M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4．(2)设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知，|PF|＝2a＋|PF1|，所以△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a，由于2a＋|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线，因为A(0，66)，F1(－3，0)，所以直线AF1的方程为－x3＋y66即x＝y26－3，代入x2－y28＝1，整理得y2＋66y－解得y＝26或y＝－86(舍)，所以P点的纵坐标为26，所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝12×6×66－1(3)依题意，a＝7，c＝49-24＝5，不妨设点P位于第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝14①，且m>n>0．因为PF1·PF2＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2由①②解得，m＝8，n＝6．法一：因为PA平分∠F1PF2，由角平分线定理可得AF1|AF2|＝PF1|所以S△PAF2＝37S△PF1F2，即12|PA|·|PF2|sin45°＝故24×6·|PA|＝37×12×8×6，所以|PA|法二：由S△PAF1＋S△PAF2＝S△PF1F2，得12m·|PA|sin45°＋12n·|PA|sin45°【规律方法】(1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件．如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等．(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|±|PF2|与|PF1|·|PF2|的关系．(3)求圆锥曲线的标准方程：先定型，后计算．“定型”，即确定曲线焦点所在坐标轴的位置，从而确定标准方程的形式；“计算”则是根据题目条件，利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．【跟踪训练1】(1)(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为23，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12A．x23＋y2＝1 B．y23＋C．x29＋y25＝1 D．y(2)已知F1，F2分别是双曲线E：x24－y212＝1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|(3)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝m与y轴的交点为A，与抛物线C的交点为B，且|BF|＝32|AB|，则m的值是________(1)D(2)2(3)±22[(1)如图，依题意，△MNF2的周长为|MF2|＋|MN|＋|NF2|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a＝12，解得a＝3．设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为23，所以e＝ca＝23，解得c所以b＝a2-c2＝故椭圆C的标准方程为y29＋x2(2)双曲线x24－y212＝1的实半轴长为延长F2N交直线MF1于点H，由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，又O是F1F2的中点，所以|ON|＝12|F1H|＝12(|MH|－|MF1|)＝12(|MF2|－|MF1|)＝a(3)因为C：y2＝4x，所以p＝2，抛物线的准线方程为x＝－1，设BM垂直于准线，垂足为M，则|BM|＝|BF|，|AM|＝1，又因为|BF|＝32|AB|所以|BM|＝32|AB|又|BM|＝|AM|＋|AB|，所以|AM|＝12|AB|＝1，所以|AB|＝2，所以B点横坐标为x＝2将x＝2代入C：y2＝4x，则y2＝8，y＝±22，所以B(2，±22)，所以m的值是±22．]椭圆、双曲线的几何性质考向1椭圆、双曲线的几何性质【例2】(1)(2025·吉林白山二模)已知双曲线C的右焦点为F(2，0)，点P在双曲线上且满足PF⊥x轴，若|PF|＝3，则双曲线C的实轴长为()A．1 B．2C．4 D．8(2)(多选)(2024·长沙适应性考试)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则()A．轨道的焦距为d2＋d1B．轨道的离心率为dC．轨道的短轴长为2dD．当d1d2(1)B(2)BC[(1)因为PF⊥x轴，且|PF|＝3，双曲线C的右焦点为F(2，0)，所以P(2，3)，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，且a2将P(2，3)代入双曲线方程，得到4a2－9b2＝1，联立解得a＝则双曲线C的实轴长为2，故B正确．(2)设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝d1+d22，c＝d2-d12，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝d1d2，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝ca＝d2-d1d2+d1，短轴长为2b＝2d1d2，所以A错误，B，C正确；因为e＝ca＝d【规律方法】椭圆、双曲线性质应用的常见类型(1)由性质可求椭圆、双曲线的标准方程．反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、范围等)．(2)对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．(3)范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积(周长)等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围(极端点的位置问题)，可将问题转化为函数最值处理．考向2离心率【例3】(1)(2024·南京六校调研)已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝π3，A．1，52C．(1，3] D．[3，＋∞)(2)(2024·湖南岳阳二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AF1·A(1)B(2)66，55[(1)如图，∠APB＝π3，又|PA|＝|PB|，所以|AB|＝|PA|而PA，PB是圆的切线，所以∠APO＝π6，且PA⊥OA，又|OA|＝|OB|＝b，所以|PO|＝2b因为P在双曲线x2a2－y2所以|OP|≥a，所以2b≥a，所以a2≤4b2＝4(c2－a2)，从而5a2≤4c2，c2a2≥54，即e＝ca≥(2)设点A(x1，y1)，而F1(－c，0)，F2(c，0)，则AF1＝(－c－x1，－y1)，AF2＝(c－x1，－由AF1·AF2＝4c2，得(－c－x1，－y1)·(c－x1，－y1)＝x12－c2＋y12＝4c2，即因此点A在以(0，0)为圆心，半径为5c的圆上，而A点在椭圆上，则圆x2＋y2＝5c2与椭圆x2a2＋y2由椭圆的几何性质知b≤5c≤a，即b2≤5c2≤a2，亦即a2－c2≤5c2≤a2，整理得5c2≤a2≤6c2，即16≤c2a2≤15，所以椭圆离心率【规律方法】求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法定义法根据条件求出a，c，直接利用公式e＝ca方程法根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)【跟踪训练2】(1)(2025·河北沧州一模)已知a>b>0，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1与双曲线E：x2a2－y2b2＝1的离心率分别为e1，e2，若3A．x±5y＝0 B．2x±y＝0C．2x±5y＝0 D．5x±2y＝0(2)(多选)(2024·浙江台州模拟)已知椭圆C：x29＋y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)B．椭圆的短轴长为10C．|PF1|的最小值为1D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值(3)(2025·山东菏泽二模)已知M为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若|NF1|＝|MF2|＝|OM|，(1)C(2)ACD(3)10[(1)依题意，e1＝a2-b2a，e2＝a2+b2所以9(a2－b2)＝a2＋b2，整理得4a2＝5b2，所以ba＝2所以双曲线E的渐近线方程为y＝±25x，即2x±5y＝0(2)椭圆x29＋y25＝1，其中a2＝9，b2＝5，所以c2＝a2－b对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，所以正确；对于B，椭圆的短轴长为25，所以错误；对于C，a－c≤|PF1|≤a＋c，所以|PF1|的最小值为1，所以正确；对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知cos∠F1PF2＝PF1|2+PF2|2-|F1F2|22PF1||PF2|＝4a2-4c2-2PF1||PF2|2PF1||PF2(3)如图，由于|MF2|＝|OM|，可作MH⊥x轴，垂足为H，可知H为OF2中点，由|OF1|＝|OF2|＝c，可知|OH|＝c2由ON∥MH，可知NF1||MN|＝OF令|NF1|＝|MF2|＝m，则|MN|＝m2，即|MF1|＝3根据双曲线定义，|MF1|－|MF2|＝3m2－m＝m2＝2a⇒m＝4a，即|MF1|＝6a，|MF2|＝再由勾股定理可得，|MF1|2－|F1H|2＝|MF2|2－|F2H|2，即36a2－94c2＝16a2－14c2⇒20a2＝2c2⇒e2＝10，即e＝10抛物线的几何性质【例4】(1)(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，若1k1－1k2＋1k3＝1，A．(1，－2) B．(1，2)C．(2，－1) D．(2，1)(2)(多选)(2025·海南万宁调研)已知斜率为3的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是()A．1|AF|＋1|BF|＝1 B．|AF|C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点(1)B(2)BCD[(1)设By124，y1，则k1＝y1-yk2＝y1-y2y124-y所以1k1－1k2＋1k3＝y1+y解得y3＝2，故y324故点A的坐标为(1，2)．(2)如图，过点B作准线的垂线，垂足为B'，又Fp2，0，直线l的斜率为3，则直线l的方程为y＝3得12x2－20px＋3p2＝0．解得xA＝3p2，xB＝p6．由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝8p3＝8，得p＝3．所以抛物线的方程为y2＝6x，则|AF|＝xA＋p2＝2p＝6，故B正确；|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝|BB'|cos60°＝|BF|cos60°＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确；|AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确；而1|AF|＋1|BF|＝【规律方法】抛物线的焦点弦性质已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ(3)1|AF|＋1|BF|为定值(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(6)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．【跟踪训练3】(1)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△MOF的面积与△NOF的面积之比为()A．15 B．C．5 D．4(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则()A．焦点F的坐标为(4，0)B．|AB|＝x1＋x2＋4C．y1y2＝－8D．1|FA|＋1|FB|(1)D(2)BD[(1)由解析式可知，焦点F(0，1)，准线为y＝－1，设M(x1，y1)，N(x