江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】关于平面对称的点，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数，已知点的坐标为，按照规律可得关于平面的对称点坐标为.2.若曲线在点处的切线方程是，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点在曲线上，所以当时，，代入可得，即函数，求导可得，因为曲线在点处的切线方程是，即切线的斜率为，所以，所以，.3.已知展开后共有30项，则为（）A.5 B.6 C.10 D.12【答案】A【解析】根据多项式展开的规律和分步乘法计数原理知：展开式的每一项都是从每个括号中各取一个项相乘得到，总项数等于每个括号内项数的乘积.第一个括号中有2个项，第二个括号中有3个项，第三个括号中有n

个项，因此总项数为，解得.4.在四面体中，点在上，且，点是中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，由得，，代入得．5.已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】由随机变量的分布列可知，因为，则，故D正确.6.若函数在区间上存在单调递减区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，要使函数在区间上存在单调递减区间，则在上有解，即在上有解，即在上有解，令，，令，即，解得，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以在上的最小值为，所以，所以的取值范围是.7.在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，为的中点，所以，因为，所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为，因为向量与方向相反，所以与的夹角为，因为，，所以8.已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，得，当时，，函数在区间单调递增，当时，，函数在区间单调递减，且时，，当时，的最大值为，如图，画出函数的图象，如图，当与相切时，与有3个交点，设切点，则切线方程为，因为切线过原点，所以，则，，所以，所以直线与相切时，直线的斜率，如图，若直线与有4个交点，即函数有4个不同的零点，则，解得：，所以的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.下列求导运算正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】选项A错误，，选项B正确，选项C正确，选项D正确.10.3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（）A.男生必须排在一起，共有120种排法B.男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法C.男生互不相邻，共有144种排法D.男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法【答案】CD【解析】对于A选项，男生必须排在一起，则男生捆绑在一起，则男生内部有种排法，再将男生看成一个整体，与女生排列，则有种，则共有种排法，故A错误；对于B选项，男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，则男生有种排法，女生有种排法，则共有种，故B错误；对于C选项，则先排男生种排法，再利用插空法可得，女生有种，则共有种排法，故C正确；对于D选项，男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列转化为从6个位置中选出3个位置给女生，剩下的给男生的组合数，则有种.11.已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（）A.若点在平面内，则B.当，，时，点到直线的距离为C.当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是D.当，时，二面角的正弦值的最小值为【答案】BC【解析】如图因为六面体为正方体，所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，对于A选项，当与重合时，，，，故A错误；对于B选项，，，故B正确；对于C选项，如上图所示，因为，，所以，设与交于点，由截面的性质可得，，且，所以，所以该正方体被平面所截得的截面为等腰梯形，设，所以CK=1-m，由截面为等腰梯形，则QK=21-m，且设梯形高为，且，所以h=A则S=2+21-m2⋅1+对于D选项，，则面的法向量为，面的法向量，，，所以PA1=所以n2⋅P令，则x1=1+13x所以cosα=11+13x2+1，sinα=1+13x1+当时，可以取得最小值为，若时，则P0,13,2此时点在面内，则平面与平面的夹角为，则二面角的正弦值为1，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则可能取值为______.【答案】或5【解析】因为，则或，解得或5，经检验，均满足题意.故答案为：或513.从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______.【答案】【解析】记事件“女生甲被选中”，事件“两名男生被选中”，从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动共有种选法.女生甲被选中的概率，女生甲被选中且两名男生被选中的概率.女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率.14.把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法.【答案】180【解析】若A盒只有一个球（黑球），共有种方法；若A盒有2个球，共有种方法；若A盒有3个球，共有种方法；若A盒有4个球，共有种方法故总计种方法四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知.（1）求展开式中的带有的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）求展开式中二项式系数最大的项.解：（1）由题意知，展开式的通项公式为，，令，解得所以，展开式中的带有的项为；（2）根据题意，令，此时展开式的值即为各项系数和：.（3）因为，所以展开式共有7项，由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，所以.16.多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的）如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分．（1）在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率；（2）现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列．解：（1）设“甲同学得4分”为事件，该同学所有可能的选择答案的样本空间，包含6个样本点，而事件A包含3个，所以所以他本题得4分的概率为．（2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12，则，，，，，所以随机变量的概率分布如下：17.如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）若点为的中点，求证：.（2）求直线与平面所成的角的正弦值．（3）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则，，，所以.（2）解：设平面的法向量为，，则，设，则，所以，设与平面的夹角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：由得，，在平面中，，，设平面的法向量为，则有，令，解得，，故平面的一个法向量为，同理，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，故，设平面与平面的夹角为，则，综上，平面与平面的夹角的余弦值为18.已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若对任意恒成立，求整数的最小值．解：（1）当时，，定义域为，则，令解得所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有极大值，无极小值.（2），若时，在上恒成立，此时在上单调递增；若时，令，即，解得或（舍去）.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则，设，，则在上单调递减，因为，，所以，使得，即，则.当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的最大值，因为，所以.故整数的最小值为1.19.有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球．（1）取出五个盒子，分别编号为，第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子；第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中；第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．①求第三步摸到的球是红球的概率；②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？（2）取出个盒子，重新编号，依次为，从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小．解：（1）第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球．①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则.此时2