江苏徐州市睢宁县2025-2026学年度第二学期期中学情调研高二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏徐州市睢宁县2025-2026学年度第二学期期中学情调研高二数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，解得.故选：D.2.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式中，，化为，整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.故选：A.3.的展开式中的常数项为（）A.112 B.56 C. D.【答案】A【解析】由二项式，得，令，得，于是展开式中的常数项为.4.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶，由题意可得，，所以.5.在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为为的中点，，，所以.所以.因为，，，四点共面，所以，得到，解得.故选：A.6.给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（）A.320 B.630 C.720 D.1560【答案】B【解析】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同，则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类：若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法；若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种；若种4种花，有种，则不同的种法总数为．7.在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.则平面的一个法向量为，设正三棱柱中，，则，，所以，所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.8.已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（）A.6或7 B.6 C.8或9 D.9【答案】C【解析】因为展开式的通项为（且），展开式的通项为（且），若，且，时，则展开式中含的项为，依题意可得，若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为；若，此时，，则无解，故舍去；若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去），此时，则展开式中含的项的系数为；若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数，由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去；综上可得的展开式中含的项的系数是或.故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若随机变量，满足，，则B.若，，，则C.若，则D.若分布，，则【答案】BC【解析】对于A：，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：若，则，故C正确；对于D：若分布，，则，故D错误．故选：BC.10.甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由条件可知，，，故AC正确；，，故B正确；，故D错误.11.如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（）A.B.点到直线的距离的最小值为C.过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为D.当时，三棱锥外接球的体积为【答案】ABD【解析】以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由，得，由为对角线上的动点，设对于A，，，所以则，故A正确；对于B，由于，，所以，，，则点到直线的距离，即所以当​时，，B正确;对于C，取，连接，因为，，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，则，所以，且故过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，由于，，，所以过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为，故C不正确；对于D，由，，得，则，由​是直角三角形，其外接圆半径​​，外心为​中点，设外接球球心，由：则，解得：，则外接球半径：，所以三棱锥外接球的体积：，故D正确；三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.【答案】【解析】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.由古典概型概率公式，可得概率为：.13.随机变量的分布列如表所示，若，则__________．01【答案】【解析】由题设及，解得，.故答案为：14.在棱长为10的正方体中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______.【答案】【解析】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为，则，，，，设，，由，得，即，化简得.正方体内切球球心为正方体中心，半径，点满足.设球心在平面的投影为，则在平面上到直线的距离.即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径.轨迹长度为.四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序.（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？（2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？解：（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种，若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种，则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案；（2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案.16.如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.（1）求平面与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.解：（1）因为，所以，又因为为的中点，所以与均为等腰直角三角形，所以又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，又，平面，所以平面，在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的一个法向量为则，即，令，则，平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量为，所以.设平面与平面所成角为，则.（2）假设线段上存在点，使得平面设，所以.因为平面，所以，所以，即点是线段的中点，所以存在点，点为线段的中点.17.某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示．（1）求该样本中学生分数为优秀的人数；（2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；解：（1）该样本中学生分数为优秀的频率，故优秀的人数为人；（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为．若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为．则的分布列为：012所以．18.已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为．（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）设，则当时，求除以15所得余数．解：（1）根据题意，，即，又，故；（2）由题意得，其展开式的通项公式，要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故，当时，，当时，，当时，；当为其他值时，均为无理项，故有理项为，，；（3）而，当时，，而能够被15整除，故除以15所得余数为0．19.如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知.（1）证明：平面；（2）若，.①求点到平面的距离；②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明