江苏省南京市栖霞区名校联盟2026届高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市栖霞区名校联盟2026届高三下学期一模考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，又，所以.故选：C.2.若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A.3.“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切，得，解得a＝0或a＝－4，则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件．故选：B.4.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误．当时，，所以B错误.故选：A．5.已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（）A.841 B.2026 C.2027 D.4111【答案】C【解析】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为，过点作的准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立.故选：C.6.在中，，，则的最短边与最长边之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，又，所以，则，又，，所以，所以，则，又，解得，所以，即的最短边与最长边之比为.故选：C.7.等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，则：，，，外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为，故外接圆方程为：．又因为，其中，，则．将代入圆的方程得，即，，∴，解得，当且仅当时取得的最大值2．故选：B.8.已知正实数a，b满足和，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，两边取对数，，即，又由，两边取对数，，即，令，，则，由，可得在上单调递增，则，故；又由可得，则，故.故选：A.二、多选题（每小题6分，共18分）9.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.【答案】AB【解析】对于A，根据余弦定理，得，因此，故A正确；对于B，根据三角形面积公式，可得，故B正确；对于C，根据正弦定理，，可得，故C不正确；对于D，因为，所以，故D不正确．故选：AB.10.定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（）A.B.函数为偶函数C.在上单调递减，在上单调递增D.不等式的解集为【答案】AB【解析】令，得，即，故A正确；令，则，即是偶函数，故B正确；当时，因为，所以，因为，所以，则在上单调递增，故C错误；由题意知，且，因此不等式可化为，因为在上单调递增，所以，解不等式得，故D错误．故选：AB.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（）A.2 B. C. D.【答案】AD【解析】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直，点到渐近线的距离，因为，可知垂足为A，且，．联立方程，解得；联立方程，解得；当时，点B在射线上，则，可得，整理得，所以双曲线C的离心率为；当时，点B在射线上，则，可得，整理得，所以双曲线C的离心率为；综上所述：C的离心率可能是或2.故选：AD.三、填空题（每小题5分，共15分）12.某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______．【答案】【解析】由题意可得，这120个零件的合格率是．故答案为：.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】由函数，可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，又由函数，可得，设曲线的切点为，则，解得.故答案为：.14.已知数列满足，且，则_____.【答案】【解析】设，则.由，解得..又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.，.故答案为：四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.（1）证明：；（2）若，求内角A的大小.（1）证明：在中，，因为，即，且，则，则，即，又因为，则，即.（2）解：若，则，且，由余弦定理可得，且，所以.16.设函数．（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附：.（1）解：，当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间；若，则当时，，当时，，故的增区间为，减区间为，综上：时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为.（2）证明：因为是的极值点，故，故，所以，因为存在，使得，所以，即，因为，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以，即，因为，所以，即.17.如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面.（1）证明：；（2）设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值.（1）证明：如图，设点是的中点，连接.由于，故.又平面平面平面，平面平面，故平面.而平面，故，即，在中，，所以.又，故，所以，即，结合平面，可得平面，又平面，因此.又，故.（2）解：由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.于是，点是棱上一点，设，所以，，设向量是平面的一个法向量，则，令，则，所以，设直线与平面所成的角为，，所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大，故.18.已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；（3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．解：（1）．当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；所以，在上单调递增，在上单调递减．（2）由题可知存在，使得成立，∵时，，故存在，使得．令，其中，，且不恒为零，故函数在上单调递减，则，故．（3）．证明：由可得，令，则．因为，则，所以，所以函数在上单调递减，因为，，所以，存在唯一的，使得，所以，，，同理可得，且，因为，所以，因为，所以，所以，因为函数在上单调递减，故，即,取，则.19.为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为+，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）（ⅰ）求关于p的函数表达式；（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）（1）解：由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60，，，，，．分布列为：X1009080