江苏省南通市2026届高三上学期学业质量检测（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2026届高三上学期学业质量检测（一模）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，且集合，所以.故选：C.3.在中，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选：C.4.“”是“成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立，当成等比数列，可以推出，故必要性成立，所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选：B.5.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为，椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即，长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得，所以，所以该椭圆的离心率，故选：D.6.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，可得，解得，即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D.7.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A：令，则定义域为，因为，所以不是奇函数，A错误；对于B：令，则定义域为，因为，所以不是奇函数，B错误；对于C：令，则定义域为，因为，即所以是奇函数，C正确；对于D：令，则定义域为，因为，所以不是奇函数，D错误；故选：C.8.已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在梯形中，因为，所以，则，即，因为平面平面所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，由点到直线的距离为2，可得，再过点作，垂足为，则，又因为平面，所以平面，由，，可得，则以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心的圆弧，其半径为：，又由，可得则在直角中，由点到的距离等于，所以直线与这个以为圆心的圆弧相离，即与侧面的交线是以为圆心的圆弧长为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知正数满足，则的大小关系可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设，则，当时，指数函数单调递增，因为，所以，即；当时，指数函数单调递减，因为，所以，即；故选：BD.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（）A.的渐近线方程为 B.的实轴长是2C.的面积是12 D.的外接圆半径是【答案】BCD【解析】设，直线，由，得，则，由直线的斜率是，得，由双曲线定义得，由的周长是16，得，即，则，而，因此，解得，双曲线，对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误；对于B，双曲线的实轴长是2，B正确；对于C，，的面积是，C正确；对于D，，，因此的外接圆半径，D正确.故选：BCD.11.设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（）A.若，则数列是“均增数列”B.若等差数列是“均增数列”，则公差C.若是“均增数列”，则D.若，则存在负数，使得数列是“均增数列”【答案】ABD【解析】由，可得，则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确；由等差数列是“均增数列”，且，则由可得：，故B正确；当，取时，，要证明，只需要证明，即证，则只需要证明，当为奇数，不等式显然成立，当为偶数，要证明，因为，对任意都成立，所以，即对任意为偶数也成立，即原不等式对任意都成立，所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确；由于是“均增数列”，由于，，不满足，故C错误；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______．【答案】60【解析】因为各项的二项式系数之和为64，，即；通项公式=令，解得.展开式中常数项为.13.已知曲线在处的切线方程为，则_____．【答案】【解析】由已知切点坐标为，因为，切线方程为，则由导数的几何意义可得，解得，又切点在曲线上，所以，解得.故答案为：.14.在中，，，则的最小值为_____．【答案】【解析】由可得，两边平方得：，又，所以，即，所以，所以，由，根据正弦定理角化边得，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：喜欢用有缝球喜欢用无缝球直拍打法选手1830横拍打法选手2012（1）能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？（2）若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率．附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响．所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响．（2）根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢有缝球的选手中选取人，从喜欢无缝球的选手中选取人，记“两个赛区都有人被选中”为事件，则．答：两个赛区都有人被选中的概率为．16.如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求．（1）证明：因为平面平面，所以．因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接．因为平面平面，平面平面，所以．因为是的中点，所以是的中点，所以．过点作，交于点，因为是的中点，所以，因为是的中点，所以，所以．因为，所以，因为是的中点，，所以所以，则在直角中，可得，所以．（方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．因为，是的中点，是的中点，所以．设，所以．因为平面的法向量平面，所以，所以，即，所以，所以．17.已知函数，且．（1）若，，求的值；（2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围．①函数在区间上只有最大值，没有最小值；②函数在区间上恰有4个零点：③函数在区间上单调递增．解：（1）因为，所以，因为，所以．当时，，因为，所以．令，则，所以，所以．（2）对于①：因为，所以，则，解得；对于②：因为，所以，则，解得；对于③：因为，所以，则，解得；因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．由，得，即的取值范围是．18.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知上存在三点，且关于直线对称．①求的取值范围；②若为等边三角形，求．解：（1）设点．因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，，化简得：．（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．设直线的方程为，联立消去可得．所以所以中点坐标．因为点在直线上，所以．因为，所以，因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，即直线不能经过点，若直线过点，则，若直线过点，则．综上所述：的取值范围是．②因为为等边三角形，所以点在直线上．设，则，．所以，即，化简得，①．因为点在直线上，所以②．由①②消得，．因为，所以，所以．19.已知函数．（1）当时，求的零点；（2）给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应．①证明：是函数，并讨论该函数的单调性；②若数列满足，证明：．（1）解：当时，，由，得在上单调递增．因为，所以的零点为．（2）证明：①当时，，所以在上单调递增．设，，所以当单调递增；当单调递减；所以，所以，即，当时取等号，因为，，所以，使得，所以存在唯一零点，所以对于任意一个的值，