江苏省南通市2026届高三下学期第一次调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2026届高三下学期第一次调研测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设，则，值域，所以，，集合之间关系不能用表示，所以A、C、D错，B对.故选：B.2.已知，，与的夹角为，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由题意得.故选：A．3.现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】A【解析】对于A：原数据平均数为，添加数据3后平均数为，故A正确；对于B：原数据中位数为，添加数据3后中位数为3，故B错误；对于C：原数据众数为1，添加数据3后众数为1和3，故C错误；对于D：原数据方差为，添加数据3后方差为，故D错误.4.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，函数，可得，所以.故选：A.5.已知均为正数，且，则的最小值为（）A.11 B.13 C.10 D.12【答案】A【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：A.6.函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根，令，则，令得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以；为使关于x的方程有实根，只需，所以，故选:C．法二：由于，故令，即有解，等价于有解，令，，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，故.故选：C．7.已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为C的准线和轴交于点，且．根据题意可得图形，由已知，可知满足，又因为M在抛物线C上，所以，所以，所以，因此，M点的横坐标是，由抛物线的定义知，且，所以，所以．故选：B.8.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】由，两边同时除以得，所以，因为，均为锐角，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最大值时，.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，A对；对于B选项，若，不妨取，则，但，B错；对于C选项，若，则，故，C对；对于D选项，若，则，解得，D错.故选：AC.10.事件与互斥，若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为与互斥，所以是必然事件，故，所以A正确，因为与互斥，所以，因此，所以B错误，因为，所以C正确，因为，所以，于是，所以D错误，故选：AC.11.已知菱形的边长为2，．将沿着对角线折起至，连结．设二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A.若四面体为正四面体，则B.四面体的体积最大值为1C.四面体的表面积最大值为D.当时，四面体的外接球的半径为【答案】BCD【解析】如图，取中点，连接，则，，为二面角的平面角，即．若是正四面体，则，不是正三角形，，A错；四面体的体积最大时，平面，此时到平面的距离最大为，而，所以，B正确；，易得，，未折叠时，折叠到重合时，，中间存在一个位置，使得，则，，此时取得最大值2，所以四面体的表面积最大值为，C正确；当时，如图，设分别是和的外心，在平面内作，作，，则是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面与平面、平面垂直，即四点共面，，则，，，为球半径，D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若四面体中，，，，则四面体的体积是________.【答案】2【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，设，则，解得，．故答案为：2．13.梯形中，，线段交以，为焦点且过，的双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】由题设，如下图示，令双曲线为，由，则，令，可得，故，又，则，，所以，由E在双曲线上，可得，整理得，且，则.故答案为：.14.设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为___________.【答案】2024【解析】由题知：，两边取倒数得，所以，又因为，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以，则，所以，即，故，令，因为数列不易求和，而，考虑等比放缩：时，，，则，所以故，则正整数的值为2024.故答案为：2024.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.（1）求的值；（2）若的外接圆半径为，求的面积.解：（1）因为成等差数列，所以.因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.由余弦定理可得；（2）因为，且，所以.设的外接圆半径为，则.由正弦定理可得，则.所以的面积.16.某游泳馆运营商发现，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）之间有如下的对应数据，由散点图知，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）呈线性相关.x（单位：摄氏度）2830323436y（单位：百元）2234506074（1）从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率；（2）由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元？（3）气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？参考数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：（1）由题可知，当日收入高于48的有50，60，74，共3个，从当日收入的5个数值中任取1个，其高于当日收入平均值的概率为.（2）由题可知，,，百元元，即当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加650元.（3），所以经验回归方程为，当时，百元元.17.已知且，函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）当时，，则，故，时，，故切点为，所以在处的切线方程为，即.（2）函数有两个零点，方程在上有两个根，方程在上有两个根，函数与的图象在上有两个交点，设，则，时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，由，，当时，，当时，，作图如下：由图得，即，设，则，时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增，因为时，且，所以当时，；当时，，又因为，所以的解集为.综上所述.18.已知七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形，如图所示，（1）求证：平面；（2）若，，平面平面，（i）求直线与平面所成角的余弦值；（ii）将以为折痕进行翻折得到，且平面.在翻折的过程中，棱与棱所形成的曲面与平面所围成的图形记为，记的内切球体积为，七面体的体积为，求的值.（1）证明：因为四边形与四边形均为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）解：连接，由（1）可知且，所以四边形是平行四边形，则，又因为，所以是正三角形，则是菱形且，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，，因此以为原点，，，平面的法向量分别为轴，轴，轴的正方向，如图建系，（i）设，则，则，，，，则，，，设平面的法向量，则，即，取，得，，则，设直线与平面所成角为，则，则，即直线与平面所成角的余弦值为.（ii）设，，，所以，所以，又，，所以，的周长为，因为以为折痕进行翻折得到，且平面所以为两个等底面圆半径的圆锥拼成的复合体的一半，设含有，且与平面相垂直的平面为平面，在平面的截面如图所示，点为内切球球心，设内切球半径为，则，，易得，所以.19.已知椭圆右顶点为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）不过点的直线与椭圆交于、两点．（i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积；（ii）证明：的外接圆经过两个定点．（1）解：由题中椭圆右顶点为，短轴长为，可得，，即，则椭圆的标准方程为.（2）（i）解：设不过点的直线，直线与椭圆交于，联立，得，且有，因为直线与椭圆有2个交点，则，解得，又因为直线不过点，则，即，则，由题意得直线，整理直线，直线，则直线与直线平行，则两直线间的距离，因为为正方形，则有，即，两边同时平方整理得