控制工程基础笔记

第一章绪论................................................................2

第一节工程控制论的研究对象与任务...............................................2

第二节系统及其模型..............................................................3

第三节反馈.......................................................................3

第四节系统的分类与组成..........................................................4

第五节机械制造技术的发展........................................................5

第六节控制理论的发展............................................................5

第七节课程特点与学习方法........................................................5

第二章系统的数学模型....................................................6

第一节系统的微分方程............................................................6

第二节系统的传递函数............................................................6

第三节传递函数的方框图及其简化..................................................8

第四节反馈控制系统的传递函数....................................................9

第五节相似原理...................................................................9

第三章时间响应分析..........................................................9

第一节时间响应及其组成..........................................................9

第二节典型输入信号..............................................................10

第三节一阶系统的时间响应.......................................................11

第四节二阶系统的时间响应.......................................................11

第五节高阶系统..................................................................14

第六节系统误差分析与计凫.......................................................14

第四章频率特性分析........................................................16

第一节频率特性概述..............................................................16

第二节频率特性的图示方法.......................................................17

第三节闭环频率特性.............................................................19

第四节频率特性的特征量.........................................................19

第五节最小相位系统与非最小相位系统............................................19

第五章系统的稳定性........................................................20

第一节系统稳定性的基本概念.....................................................20

第二节劳斯(Roulh)稳定判据......................................................21

第三节Nyquist稳定判据..........................................................21

第四节Bode稳定判据............................................................22

第五节系统的相对稳定性.........................................................22

第六章系统的性能指标与校正...............................................23

第一节系统的性能指标...........................................................24

第二节系统的校正...............................................................24

第三节串联校正..................................................................25

第四节PID校正...............................................................26

第五节反馈校正..................................................................27

第六节顺馈校正..................................................................27

第一章绪论

一、控制理论与机械制造之间的关系

1.机械工业是国民经济中的基础工业；

2.机械工业是指机械制造工业，与机械制造技术息息相关：

3.机械制造技术的一人重要发展方向是引入控制理论：

4.控制理论是一个重要的学科，也是科学方法论之一。

二、控制理论与机械工程控制论之间的关系

1.控制理论在工程技术领域体现为工程控制论，在机械工程领域体现为机械工程控

制论：

2.机械工程控制论中提出的大量控制问题，是理论的具体应用，是经验的总结，是

一门新兴的学科；

3.本课程涉及古典控制理论的主要内容与应用。

第一节工程控制论的研究对象与任务

1.研究对象：研究工程技术中广义系统的动力学问题。

2.广义系统定义；系统有输入与输出，输入与输山之间存在均态关系，输入描述系统所受

到的外界干扰作用输出描述的是广义系统对外界的作用。

3.具体研究广义系统在一定的外界条件作用下，从系统一定的初始状态出发，所经历的整

个动态历程，乂是由广义系统内部的固有特性所决定的。

4.外界条件作用是指输入、激励，包括外加控制、外加干扰作用。

5.初始状态也可作为一种特殊的输入激励，称为初始输入激励。因为要达到平衡状态，系

统也要经历一个动态过程，例如力学中的自由振荡运动，有别于强迫振动。

6.研究对象一一广义系统，可大可小，可繁可简，可实可虚。

7.控制工程论的研究内容可分为五个方面：

1、系统分析(SystemAnalysis)输入x⑴和系统特性h⑴已知，求输出y(t),通

过输出y⑴米研究系统本身的特性。还可选择不同的输入x⑴作业试验信号(脉冲信号、阶

跃信号、正弦信号)，分析系统的脉冲响应阶跃响应和频率响应特性。

2、系统综合(SystemSynthesis)系统特性h⑴未知，已知输入x(t),要求优化

设计系统，使得系统的输出义。符合给定的最佳性参要求；或者已知被控对象，要求设计控

制器，构成控制系统，实现最优控制的设计目标，也称为最优设计问题。

3、最优控制问题(OplimizationControl)------系统特性h⑴已知，为了使输出满足

最佳要求，确定输入控制作用x⑴。

4,滤波与预测问题(FilteringandForetell)-----输出y(l)已知，确定h⑴和输入x(t),

或者确定输入中的有关信息。

5、系统辨识问题(SystemIdentification)------己知输入与输出，求系统的模型结构

与参数，即建立数学模型的问题。

8.《控制工程基础》课程内容：

1、系统分析一一运用百典控制理论；

2、系统辨识一一因为系统的模型是系统分析的基础，对工程技术中的控制问题，对

于试验获得的x(t)和y⑴建立数学模型：

3、非线性系统一一了解非线性学科的基础知识，全面认识真实的世界图景；

4、离散控制系统一一计算机控制系统、数字控制系统。

第二节系统及其模型

一、系统

要学会以“系统”的观点去分析与处理客观对象，这是科学技术发展的需要，也是人类

在认识论和方法论上的一大进步。

因为当今我依次为面临的机械设备愈来愈复杂，这种复杂性表现在系统内部各组织之

间，也表现在它们与外界环境之间的联系愈来愈复杂，系统中某一局部的变化全波及全局，

即“牵•发而动全身”，因此独立地研究系统的某个局部已不能满足要求，因此必须考虑各

部分的联系，作为一个有机的整体加以研究与分析，这个有机的整体称为“系统”。

以整体作为对象进行研究，称为以“系统”的观点分析和处理客观对象。

1、任何•个系统都是处于同外界，或其他系统相互联系之中的，也是处于不断运

动之中的。

2、系统由于内容存在相互作用的机制，又由于同外界的相互作用就会相应的行

为，称为输出，或响应。外界对系统的作用用输入来描述，系统对外界的作用

用输出来描述。

3、系统的特性不是组成它的元件或子系统的特性的简单总和，而是要复杂得多和

丰富得多。

二、机械系统

1、定义：以实现一定的机械运动，输出一定的机械能，以及承受一定的机械载荷

这目的系统，称为机械系统。

2、机械系统的输入又称为激励，输出又称为响应。例如输入是作用力，输出响应

是位移或变形。

3、系统受到的外界环境的作用乂可分为：控制作用一一人为地、有意识地加给系

统的激励：扰动一一因偶然因素产生的，无法加以人这控制的激励。两者都可

称为输入激励，甚至于系统的初始状态也可称为初始输入激励。

三、模型

1、模型是认识、分析和描述系统的工具。一般指用数学方法描述的抽象的理论模

型，用来表达系统内部各部分之间，或系统与外部环境之间的关系，又称为数

学模型。

2、静态模型一一反映系统在恒定载荷或缓变载荷作用下，或在系统平衡状态下的

特性。

3、动态模型一一研究系统在迅变载荷作用下，或在系统不平衡状态下的特性。

4、静态与动态模型的差别与统一一静态模型的系统输出只与现时的输入有关：而

动态模型的系统输出还与以前的输入历史有关；一个用代数方程描述，一个用

微分方程或差分方程描述;描述动态特性的微分方程或差分方程也能描述静态

特性，使静态模型与动态模型得到统一。

第三节反馈

一、反馈定义：一个系统的输出，部分或全部反过来用于控制系统的输入，称为系统的

反馈。由于系统中存在的信息反馈，使得系统的输入、输出及其系统之间存在动态关系，而

系统的行为表现为动态历程。因此，系统的反馈是动态行为的艰本原因。

二、机械工程中的反馈控制一一开环系统总是存在控制误差，而要消除或减少这种误差

的常用控制方法是反馈，从而形成闭环反馈控制系统。因为反馈过程是一个动态过程，所以

采用动态模型才能加以有效描述。

三、机械系统中的内在反馈一一以上讲的反馈控制是人［二为了达到一定的控制目的而

有意设计的。在机械系统中本身还存在“内在反馈”，它反映的是内部各参数之间互为因果

的内在联系关系，对动态特性有非常重要的影响，而往往难以加以控制。

四、系统存在动态历程的原因一一有内因和外因的作用。外因通过内因起作用系统的动

态历程表明系统处于不断运动之中，外因是系统外部的激励作用，内因是各部分之间的相互

联系，联系的实质是信息的传递与交换。各部分之间存在的信息的传递与交换使得系统的状

态变量发生变化，从而形成系统的动态历程，形成系统的输入、输出和系统本身之间的动态

关系。这正是“外因是变化的条件，内因是变化的根据，外因通过内因起作用的唯物辩证观

点的具体体现。因此，系统的“内在反馈”是系统处于运动状杰的根本原因。

五、反馈与动态历程及微分方程的密切联系一一微分方程描述动力学特性揭示了系统

状态变量之间的联系，反映了系统内部存在的反馈；系统内在的反馈和系统与外界的相互作

用，共同决定着系统的动态历程。

第四节系统的分类与组成

一、对于广义系统，可按反馈情况分类

1、开环系统

2、闭环系统一一用方框图表示时存在反馈回路，有反馈/检测装置和控制装置。

二、对于自动控制系统，可按输出变化情况分类

1、自动调节系统一一在外界干扰作用下，输出能够保持为常数，具有抵抗干扰作用

的能力：

2、随动系统一一在外界条件作用卜，输出能相应于输入在厂闹范围内按任意规律变

化；

3、程序控制系统一一在外界条件作用下，输出按预定的程序变化，可以是开环也可

以是闭环。

三、闭环控制系统的组成与功用

1、控制部分一一接受指令、接受反馈信号。并发出控制信号：

2、被控对象一一接受控制信号、发出反馈信号，并在控制信号的作用卜.实现被控运

动。

四、典型的闭环反馈控制系统的组成与功用

1、输入给定环节

2、比较环节

3、运算放大环节

4、执行环节

5、测量环节

6、控制器

7、被控对象

五、闭环自动控制系统的特点

1、利用输入信号与反馈信号之间的偏差，对系统的输出进行控制，从而减小偏差，

使被控对象按一定的规律运动。

2、控制目标是减小偏差，而无偏差就无控制作用；存在偏差时，系统的输出就要受

到偏差的校正：偏差越大，控制作用越强；偏差越小，校正作用越弱，直到偏差趋向最小，

这就是闭环控制系统的反馈控制作用。

3、Cybernetics控制论的创始人Wiener发现在机器系统、生命系统、社会与经济系统

中都存在一个共同的本质特点是：通过信息的传递、处理和反馈来进行控制，这就是控制论

的中心思想。

六、对控制系统的基本要求一一评价一个系统的优劣与好坏，有各种各样的性能指标，

但对控制系统的基本要求，即需要的基本性能有三个：

1、系统的稳定性一一稳定性是指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能

力。即要求输出量偏离平衡状态后，应该随着时间收敛到初始的平衡状态。

2、响应的快速性一一快速性是指当系统输出量存在偏差时，系统消除这种偏差的快

速程度。

3、响应的准确性一一是指调整过程结束后，系统的输出量与给定的输入量之间的偏

差，也称为静态精度。

第五节机械制造技术的发展

一、手工制造的信息框图

二、人操纵机器或机构加工一一机械、机构和机器代替人体/手。

三、电子技术应用于控制的系统一一检测装置代替人的感觉器官。

四、计算机取代人进行加工过程的控制一一计匏机代替人脑进行控制。

五、从微观控制向宏观控制的发展一一从加工过程的控制一一生产的组织与管理控制

——计算机网络控制的制造系统，形成虚拟企业，实现现代集成制造系统。

第六节控制理论的发展

一、古典控制理论的发展

1884-1877Routh有关线性系统的稳定性判据：

1932Nyquist稳定性判据和Bode总结出负反馈放大器：

1945MIT出版《伺服机构》：

1948Wiener《控制论》形成完事的古典控制理论体系：

1950Evans的根轨迹法；

1954钱学森《工程控制论》，使应用控制理论向前推进了一大步

古典控制理论是以调节器与伺服控制机构为基础，完善了自动调节原理，主要在复战（或频

率哉）内利用传递函数（或频率特性）来研究SIS0线性系统的稳定性、响应快速性和准

确性的问题。

二、现代控制理论的发展

I960's为了适应空间技术和军事工业的需要发展了现代控制理论，是在时或内研究MIM

。系统的分析、最优控制问题。

1956李亚谱诺夫的极大值原理

1957美国Bellman的动态规划

1960美国Kalman的Kalman滤波。

第七节课程特点与学习方法

一、课程特点

1,《控制工程基础是一门抽象的技术基础课。它既概括了工程实践，又与专业实际

密切相关。

2.本课程以数学、物理为基础，以机械系统为对象，运动控制论的思维方法与观点,

研究动力学系统中的信息传递、处理与反馈控制问题。

3.它比理论力学、机械原理和电工学更加抽象，更概括，涉及的范围更广，实际上

是概括了它们的有关内容。

4.要运用以前全部的数学知识，特别是复变函数（包括积分变换）、力学、电学和

数学。

二、学习方法

将控制论同机械工程结合起来运动控制论的理论与方法结合机械工程的实际，来提出、分析

和解决机械系统的控制问题。

要求学习控制理论中的方法论，它“提出、思考、分析与解决问题”的思想方法是符合唯物

辩证法的。

1.所研究的对象是一个“系统即各部分或环节相互联系的和相互作用的系统

----普遍联系的观点；

2.系统是处于不断“运动”之中的，即处于“动态历程”之中的一一运动是绝对

的，静止是相对的观点：

3.产生“动态历程”的内因是系统的内部信息反馈和固有特性，产生“运动”的外因是

环境的作用一一“外因是条件，内因是根本，外因通过内因起作用”的观点。

第二章系统的数学模型

第一节系统的微分方程

列写微分方程的一般方法与步骤

1.确定各元件或系统的输入量、输出量：

2.各环节的微分方程的非线性项进行线性化处理；

3.消除中间变量，得到的是描述输入/输出变量之间关系的微分方程。

微分方程的增量化表示

1.当线性系统处于■平衡状态时，各阶导数为零，则可得到睁态数学模型一一代数方程；

2.静态数学模型可以用静态特性曲线来表示：例如直流包机传动系统，当干扰力矩为

常数时，转速与电枢控制电压之间的关系一一称为控制特性：当电枢控制电压一定

时，转速与干扰力矩之间的关系一一称为机械特性，也称为外特性：

3.自动控制理论中的微分方程，一般都用增量方程来表示，为了书写方便，习惯上将

增量符号A省略。

非线性微分方程的线性化处理

1-在某一平衡工作点进行线性化，不同的工作点的线性方程的系数是不同的；

2.非线性方程进行线性化处理是有条件的一一变量偏离预定工作点要求很小：

3.如果非线性特性是不连续的，不能得到（在不连续点上）收敛的Taylor级数，就

不能进行线性化，称此系统为本质非线性条统；

4.线性化处理后的微分方程是以增量为基础的增量方程.

第二节系统的传递函数

一、传递函数的定义

I.线性定常系统一一描述其动态历程的微分方程是线性的，系统是不随时间变化的。

2.在零初值条件下进行Laplace变换，定义输入与输出的拉氏变换之比为传递函数。

3.用方框图可表示输入与输出和系统之间的关系。

4.数学模型一一传递函数的主要特点：（1）分子与分母的系数反映了系统的因有特

性，以及系统与外界的关系：（2）输入一定时，系统的输出取决于传递函数：（3）

实际系统的分子阶数大于分母阶次：（4）传递函数可以有量纲，也可以没有量纲：

<5）物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数.

二、零点、极点和放大系统

1.极点pi定义为：limG（$）=8：

ST/

2.零点zi定义为：limG(s)=°；

3.广大倍数K定义为：K=G(0)：因为输入为单位阶跃信号时，输出的稳态值与单

位输入之比定义为放大倍数，所以有：

y(oo)=lims-Y(s)=lims•G(s)•X(s)=G(0)

S->0STI)

4.极点的含义是：微分方程的特征根，p为实数时，特征根为一"：极点为虚数时即

〃=b+时，特征根为e6sin«w+6)：只有当极点小于冬，或极点的实部小

于零时，微分方程的解才是收敛的，因此极点决定了系统的稳定性。

5.零点决定了瞬态响应曲线的形状。

三、典型环节的传递函数

高阶系统可以由低阶的典型系统的串联、并联或反馈环节来等效表示。

1.比例环节；

2.一阶惯性环节：

3.微分环节；

4.积分环节；

5.振荡环节；

6.延时环节。

四、Laplace变换与反变换

1.拉氏变换定义：对于函数x⑴，如果满足下列条件：(1)当1<0时，x⑴=0；当

1>0时，x⑴在每个有限敬意上是分段连续的。(2)力<8,其中。是正

实数，即x⑴是指数级的，则可定义x⑴的拉氏变换为：

X(s)=L[x(t)]=^x(t)e-x,dl

2.拉氏反变换为：x(/)=r'lX(5-)J=-r，，X(s)e',ds

2万

3.单位阶跃函数的拉氏变换：£[1(/)]=

s

4.指数函数的拉氏变换：L[ea,\(t)]=—

s-a

5.正弦函数的拉氏变换：L[sin^rl(r)]=—(一!-------!—)=、①、

2js-jcos+jcos~+a)~

1I1y

6.余弦函数的拉氏变换：L[cos^r•1(/)]=-(--------+-----------)=、,、

25-j(DS+j(OS'+(O~

7.需函数的拉氏变换：L[rw.l(r)]=-

s

五、Laplace变换的性质

1.满足叠加原理：L[aK(t)+by(t)]=aL[x(t)]+bL[y(t)]

2.微分定理：L[—x{/}]=5X(5)-x(0+)

dt

3.积分定理：〃卜⑺力]二角十一(0)

Jss

4.衰减定理：L[e-a,x(t)]=X(s+a)

5.延时定理：L[x(t-a)\(t-a)]=e~wX(s)

6.初值定理：limx(/)=limsX(s)

r->0*s-x»

7.终值定理：liinx(/)=limsX(s)

sx-^0

8.时间比例尺改变的象函数：L[x(-)]=aX(as)

a

9.lx⑴的象函数：卬W)”

as

10.X⑴八的拉氏变换：〃平]=[X(s)ds

T

II.周期函数的象函数：X(t+T)=x⑴时，£[x(r)]=———fx(t)e-s,dt

i—eJ。

12.卷积分的象函数：L[.r(0*y(r)]+X(s)y(s)

六、拉氏反变换

通过复变函数积分求拉氏反变换的方法是很繁琐的，对于有理分式这样的象函数，可将

之化这典型函数的象函数叠加的形式，根据拉氏变换反查表，即可求出相应的原函数。

1.含有单一极点的情况下；

2.含有共期复极点的情况下：

3.含有多重极点的情况下。

第三节传递函数的方框图及其简化

一、传递函数方框图

一个系统可由若干个环节按一定的关系组成的，这些环节可用方框图来表示，其间用相

应的变量及信号流向联系起来，就构成了系统的方框图。它具体而形象地描述了系统内部各

环节的数学模型、各变量之间的相互关系和信号流向。

1.方框图的结构要素

(1)函数方框

(2)相加点

(3)分支点

2.系统方框图的建立步骤

(1)建立原始微分方程

(2)对微分方程进行Laplace变换和传递函数，建立方框图：

(3)按照信号在系统中传递变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来，一般

系统的输入量置7左边，输出量置于右边，从而组成系统的方框图。

二、方框图的等效变换

对于实际的自动控制系统，通常用多回路的方框图来表示，如大环回路套着小环回路，

其方框图十分复杂。为了分析与计算方便，需要利用等效变换的原则，对方框图进行简化。

所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变。

1.串联环节的等效变换规则一一各串联环节的传递函数之积；

2.并联环节的等效变换规则一一各并联环行的传递函数之和；

3.方框图的反馈联接及其等效变换规则；

4.分支点移动规则——向前移动串入G（s）,向后移动率入1/G（s）；

5.相加点移动规则一一相加点后移串入G（s）,向前移串入1/G（s）：

6.分支点之间、相加点之间相互移动规则

7.含有多个局部反馈回路的闭环传递函数采用一一梅逊公式.

第四节反馈控制系统的传递函数

控制系统在工作过程中一般受到两种输入作用：

（1）一类是有用输入，或称给定输入、参考输入、理想输入、希望输入；输入

作用施加于系统的输入端，或控制装置的输入端；

（2）二类是扰动，或称干扰作用。扰动施加压力于被控对象上。

控制系统的功能是:为了尽可能消除干扰对系统输出的影响，•般采用反馈控制的方式,

将系统设计成闭环系统。

1.例1一一数控机床进给系统

2.例2恒压变量泵自动调节系统

第五节相似原理

在进行系统的传递函数的研究中，对于不同的物理系统（环节）可用形式相同的微分方

程与传递函数来描述，即不同的物理系统采用了相同的或相似的数学模型来描述，称为相似

系统。

一般称能用相同的数学模型来描述的物理系统（环节）为相似系统（环节），称在微分

方程或传递函数中占有相同位置的物理量为相似量。

这里的“相似”是指数学形式的相似，而不是物理实质相似。

1.液压中考虑流体的惯性、阻力、弹性，定义了液感、液阻、液容，相应的有质量、粘尼

系数、弹性刚度：与电感、电容、电阻相对应。

2.阻尼、电阻、液阻都是耗能元件：质量、电感、液感称为喷性或感性储能元件：弹簧、

电容、液容称为弹性或容性储能元件。

每当系统中增加一个储能元件时，其内部就增加一层能量的交费，即增加一层信息的交换，

一般来讲，系统的微分方程将增高一阶。

第三章时间响应分析

第一节时间响应及其组成

一、时间响应的概念：

时间响应是指系统在外部作用（输入）激励下，其输出量随着时间变化的函数关系。

二、时间响应的组成

5.系统的动态特性可用微分方程来描述；

6.微分方程的解就是系统的动态响应，即系统随时间变化的历程，有通解与特解之分;

系统的响应有自由响应与强迫响应之分：

7.消除中间变量，得到的是描述输入/输出变量之间关系的微分方程：

8.时间响应是由稳态响应和瞬态响应组成；

9.瞬态响应是指系统输出从初始状态到稳定状态的响应过程：

10.稳态响应是指系统在输入作用下，时间趋于无穷大时的响应。

三、单自由度m-k系统的时间响应

受力为尸cos@f),微分方程为〃?.y"+ky=/coslof),其解为：

y(/)=Asincont+8cos。/+Ycoscot,若初值条件为：y(0),y'(0)，则系数为：

A=)/(0)/%

=>'(0)-C则称y⑴=Asin(3,j)+BcosQj)为自由响应，而

cF1

C=------------7

kl-(69/<yJ2

y2(t)=Ccos(6tX)称为强迫响应。

而称y'(0)sin(叫r)+y(0)cos(/f)为零输入响应(F=0)：称一Ccos(a)nt)+Ccoscat为

零状态响应(y(0)=0,/(0)=0)o

本书讲的时间响应是指零状态响应，它是由瞬态响应与稳态响应组成，瞬态响应指零状态下

的自由响应一Ceos。/,稳态响应指强迫响应CcQSSf0

四、系统的稳定性与系统极点的关系

1.极点在右半平面时，自由响应逐渐衰减，当时间趋近于无穷时，自由响应趋于0,系统

是稳定的。自由响应就是瞬态响应；否则，系统不稳定，口由响应就不是瞬态响应。

2.系统的稳定性、快速性和准确性与自由响应密切相关，极点的实部小于零，或大于零，

决定了系统是稳定的，还是不稳定的；

3.当系统稳定时，极点实部的绝对值大小决定了自由响应的快速衰减，或慢速衰减，也就

决定了系统的响应是快速，还是慢速趋向于稳态响应；

4.当系统稳定时，极点的虚部在很大程度上决定了自由响应的振荡情况，决定了系统的响

应在规定时间内接近稳态响应的情况从而影响了快速性和准确性。

第二节典型输入信号

一、定义典型输入信号

由于系统的输入具有多样性，在分析与设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然

后比较各系统的输入信号的时间响应。

二、输入信号类型

7.系统正常工作情况下的输入信号；

8.外加测试信号

三、典型输入信号

9.单位脉冲信号；

10.单位阶跃信号：

11.单位斜坡信号：

12.单位抛物线信号：

13.正弦信号；

14.随机函数信号。

第三节一阶系统的时间响应

i.定义

1.用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统；

2.微分方程形式为7字2+%«)=x.(t)

at

3.传递函数形式为G(s)=3*=—

X,(5)7S+1

4.T称为一阶系统的时间常数，它是系统的因有特性，弥为一阶系统的特征参数。

ii.一阶系统的单位脉冲响应

I.定义：当系统的输入是脉冲函数3(t),系统的输出称为单位脉冲函数，或称为单位脉冲

响应；

2.K</)=xo(t)=^(G(s)Xi(s))=7T)=!"",只有瞬

+1Ts+\/TT

态项，没有稳态项，或祢桎态项趋十0：

3.可以证明系统的脉冲响应就是传递函数的反变换：wV)=L[G(s)]

4.理想的脉冲信号是不可能得到的，故常以具有一定的脉冲宽度和有限幅度的脉冲来代替

它。为了得到近似程度较高的脉冲响应函数，就要求脉冲信号的脉冲宽度h与系统的时间常

数T相比足够小，一般要求h<0.1T。

iii.一阶系统的单位阶跃响应

1.定义：当系统的输入是单位阶跃函数u⑴时的系统响应，称为单位阶跃响应，记为

Xou

111T

2.一阶系统的单位阶跃响应为〃““(/)=L[二一」]=L[2---]=\-e-,/T

7\+1ssTs+\

3.有瞬态项一eHT,也有稳态项为1：

4.一阶单位阶跃响应与一阶单位脉冲响应的关系是：vt(r)=L(r),因为输入信号

也存在这样的关系，即3(/)=；"),证明：因为sX,")=G(s)-sXj(s),所以有

输入信号微分时，输出信号也微分。

第四节二阶系统的时间响应

一、二阶系统定义：用二阶微分方程描述的系统：

1.微分方程形式："士2+2切“4等+Q%“(/)=0：巧。)

dt~at

2.传递函数形式：G（s）=-------------

丁+2勒》+吗

3.系统的特征参数有两个：一个是无阻尼固有频率，一个是阻尼比。

二.二阶系统的特征根一一传理函数分母等于的方程称为特征方程一一其解称为特征根：

1+2物“S+3；=。的解为：S|2=_物，土业27g（当4>1）;否则只有共舸复根

邑,2=-刎土27?叫（当。阻尼比等于°时，有两个纯虚根，称为无阻尼

系统；阻尼比等于1时，有两个相等的负实根，称为临界阻尼系统：小于1时，有两个共匏

复根，称为欠阻尼系统；大于1时，有两个不等的负实根，称为过阻尼系统，过阻尼系统就

是两个一阶惯性环节的串联。

1.无阻尼系统（阻尼比=0）

2.欠阻尼系统（阻尼比<1）

3.临界阻尼系统（阻尼比=1）

4.过阻尼系统（阻尼比>1）

三、二阶系统的时间响应

1.单位脉冲响应：MO=r'[--巴----71]；分4种情况:

$2+2窕“+-

（1）无阻尼系统，M）=LT[-^T]=%sin@j）,（t>0）：

父+幼；

22

（2）欠阻尼系统，v^）=r'i--色------]=r'[------四、——d，其中

/+2匏“+就（s+g,）2+0;

称为有阻尼固有频率:,）=6但为in（%f）：欠阻尼系统也称

为二阶振扬系统，阻尼比越小，振荡频率wd越大，衰减越慢，时间衰减常为。=—匚

肛

2

（3）临界阻尼系统，演。=r1[一%，]二口力"叫'）

（S+?）

2

（4）过阻尼系统，例/）=〃1——]=叫[*-*],其中

（1弧）2-（$一1）叱」2乒T

两个极点为h2=苫叱土在2_皿,是两个一阶系统的登加，时间常数应取两个极点较

小者，即7=-----jd=一

d铲-1）七

2.单位阶跃响应：Xf,u(t)=^[--%——d二厂[二,S+2gj也分

S~+243n+@;sss~+纥①“s+CD~

成四种情况：

(l)无阻尼系统，Xou(t)=-2见]=1-COSQ/)

ss+2肛s+。；

欠阻尼系统，儿”⑺二'卜52；晨号；41="卜：:瑟;缁

(2)单

位阶跃响应为X(>u(t)=1-6一"'叫COS@/)4sin(%，)]

1

（3）临界阻尼系统，xU）=]=1一(1+”“卬

OKS+叱(S+@”)2

⑷过阻尼系统…小*-曰匕]…舟?会其

中.*二一右—J｝一]]%,.=—[g+Jg2-]]%。在两个衰减项中S1起主导作用，因为

它衰减慢，过渡过程长：从S平面看，越靠近虚轴的根，过渡过程的时间越长，对过渡过程

的膨响越大，更起主导作用。

（5）对于欠阳尼系统，阻尼比取0.4~0.8时过渡过程时间短，而旦振荡特性适度。因此。

选择和设计过渡过程实际上就是要选择合适的两个特征参数：阻尼比和固有频率。

四、系统响应的性能指标

一般情况下，系统所需的性能指标是以时间域量值的形式给出，比较直观。而旦是以系统的

单位阶跃响应为基础给出的。原因是：产生阶跃输入信号比较容易，也容易获得系统的阶跃

响应；二是实际的许多输入与价跃输入相似，而且阶跃输入乂往往是实际中最不利的输入情

况。

因为完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以一般允许系统有适度的振荡，目的是

为了获得较短的过渡过程时间，这就是为什么设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（0.4〜0.8）

状态下工作的原因。

下面关于二阶系统响应的必能指标的定义与计算公式都是针对欠阻尼二阶系统而言的，更确

切地说是，针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。

1.上升时间：（1）对于欠阻尼系统，是第一次达到输出稳态值勤所需要的时间；（2）

对于过阻尼系统，是响应曲线从稳态值的10%到90%所需的时间，称为上升时间，

i己为"=-arctan(^)]

2.峰值时间：响应曲线达到第一个峰所需的时间，即1=0,得sin（。/p）=0,

3.最超调量：定义最大超调量为此,="。）一"3）%="=丁可，当阻尼比为

以8）

（0.4~0.8）时，超调量为=25%~1.5%

4.调整时间：定义为t=ts以后，系统的输出不会超出下述允许的范围：

七,（/）二七,（8）土Ar“（8）,△=0.02~0.05；对于二阶大阻尼系统，条件改变为：

e~^n，4~3

--<A,当阻尼比小于（）.7时，△=0.02~0.05分别对应于〃。一-；当误

w肛

差范围取0.02时，阻尼比取0.76时,调整时间最小;当误差范围取0.05时，阻尼比取

0。68时，调整时间最小；设计时，阻尼比取0。707为最佳阻尼比，因为此时不

仅调整时间小，而且超调量Mp也不大。具体设计时，是根据最大超调量Mp的要求来

确定阻尼比，再根据固有频率来确定过渡过程的调整时间。由此可见，二阶系统的两个

特征参数决定了系统的调整时间和超调量：反之，对系统提出来的超调量要求和调整时

间要求决定了系统的特征参数。

5.振荡次数：定义过渡过程时间（0~ts）内，响应曲线穿越稳态值线的次数的一半，为振荡

次数。因为二次系统的振荡周期为2乃/孙，所以振荡次数为

.(4〜3)7^

N=——=-、-

2%/%2痞

讨论：（1）要使支阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比和固有频率。

（2）提高固有频率，可以提高响应速度，减少上升时间、峰值时间和调整时间：（3）增

加阻尼比，可以减少系统的振荡性能，即降低超调量，减少振荡次数和调调整时间，但增加

上升时间、峰值时间：（4）系统在欠阻尼状态下工作时，阻尼比过小，则系统的振荡性能

不符合要求，瞬态特性差，因此，要求根据允许的超调量选择阻尼比：（5）系统的响应速

度与振荡性能之间存在矛盾，必须折衷考虑阻尼比和固有频率.

五、二阶系统计算举例。

第五节高阶系统

大量的系统都是用高阶微分方程进行描述的，研究和分析都十分复杂，一般要求进行简

化，进行定性分析。

1.极点在S平面的位置，与系统的稳定性、响应的快速性之间的关系：

2.零点对于响应的影响一一决定响应曲线的形状；

3.高阶系统的土导极点一一简化为二阶系统来处理的条件。

第六节系统误差分析与计算

系统的另一个重要性能指标是“准确性”：对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地

达到所希望的数值，产生所谓的“误差”，即是希望的数值与实际输出之间的差，这种误差

产生的原因是：

1.随机干扰产生的随机误差一一这不是本节的主题：

2.元件的性能不完善、变质、干摩擦、间隙和死区非线性产生的误差一一本节不讨论：

3.系统结构产生的误差一一这是本节的主题。本节讨论的是，在没有随机干扰和元件是理

想的线性元件情况下，系统结构产生的误差，分为瞬态误差和稳态误差。

1、系统的误差e⑴和偏差£⑴

(1)以系统输出端为基准定义误差6(f)=X”。)一儿4(s)=Xor(s)-Xlt(s)；

(2)以系统输入端为基准定义偏差£«)=看(“一小(/)，£。)=*,(5)-〃(5)乂。(5)

⑶两者的关系：鸟⑸二卷七⑸㈤s)=T77^X,⑸

2、误差c⑴的一般计算：在分析与计算系统误差时，要考虑输入作用与T扰作用同时作用

丁•系统的情况。

6(的《)伍仆)

(1)输出为X0(s)=X,(s)+N(s)=GjXi+GnN；

l+G,G2H(5)1+G,G2H(5)

(2)误差为用(s)=X“-X°=(1-G)Xj+(-G”)N(s)=RXj+(I)NN(s)

(3)Gi(s)为输入与输出之诃的传递函数；Gn(s)为干扰与输出之间的传递函数；

(4)中i(s)是无干扰时，输入阻抗对误差的传递函数：中n(s)是无输入时，干扰对误差的

传递函数：两者总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参数对误差的影响。

3、系统的稳态误差与稳态偏差

(1)稳态误差是指系统进入稳态后的误差，只有稳定的系统才有稳态误差：

(2)稳态误差为4=limJ-E)(5)

s-»0

(3)稳态偏差为£二=limsE(s)

5->0

4、与输入有关的稳态偏差一一稳态偏差与典型输入的关系

(1)%,=limsE(s)=lims-------------X;(5)

WST。z。1+G(s)”(s)'

m

Kn(7；s+1)

(2)若开环传递函数为GK(S)=G(S)”(S)=T---------根据v=0,1,2可将系统分类

5vn(7-5+1)

>1J

成o型、i型和n型系统，v越高，稳态精度越高，但稳定性越差。

(3)输入为单位阶跃信号时，4=limsE(s)=limS,其中，

»一°1°1+G(.、,)〃(.，)51+K/t

Kp为位置无偏系数，K〃=UmG(s)"(s)=lim。，对于0型系统，Kp=K是有差系统:

"<->0s-M)5

对1型系统和2型系统，K,,二oo为位置无差系统。

(4)输入为斜坡信号时,£.、=limsE(s)=lim5---------------r=—,其中Kv为

”.3io1+G(s)”(s)52K、

速度无偏系数，=lim5-G(s)H(s)=lim—,对于。型系统,不能跟随斜坡信号，误

A-*O3ro

差为无穷大；对于1型系统，Kv=K,误差为I/K；对于2型系统,Kv为无穷大，误差为

零。

11_1

(5)输入加速度信号(Xi(t>t)时,=limsE(s)=lims-

M$-»os-»01+G(s)”(s)

其中Ka加速度无偏系数，K〃=limS2.G(s)”(s)=lim丁，对于0型和1型系统，K

$->0£->0S'-

a=0,误差为无穷大，不能跟随加速度信号；对于2型系统，Ka=K,误差为1/K

第四章频率特性分析

第一节频率特性概述

一、频率响应与频率特性的概念

1.频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应，称为频率响应。

对于线性定常系统，如果系统是稳定的，其响应包含瞬态响应和稳态响应，若输入是一谐波

信号：毛(/)=X,sin(由)，则稳态响应可表示为：x“(f)=X*y)sin(由+夕(4))

2.频率特性：系统对于不同频率的谐波输入的稳态响应，其响应幅值与输入幅值之比

是频率的函数，称为幅频特性；其相位之差也是频率的函数，称为相频特性；幅频

特性与相频特性总称为系统的频率特性；也可定义频率特性为频率的复变函数，其