26.1 二次函数的概念（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#(\boldsymbol{2})6.1二次函数的概念（人教版）##一、二次函数定义一般地，形如$\boldsymbol{y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})+bx+c}$（$((\boldsymbol{a}),b,c)$是常数，$\boldsymbol{(\boldsymbol{a})≠0}$）的函数，叫做**二次函数**。-$x$是自变量，$y$是函数；-$(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})$：二次项，$\boldsymbol{(\boldsymbol{a})}$是**二次项系数**；-$bx$：一次项，$b$是一次项系数；-$c$：常数项。>>✅关键点1.**$(\boldsymbol{a})≠0$**，如果$(\boldsymbol{a})=0$，式子变成$(y=bx+c)$，就是一次函数，不再是二次函数；(\boldsymbol{2}).自变量$x$最高次数必须是$\boldsymbol{(\boldsymbol{2})}$；2.整式函数：$x$不能在分母、根号里（不能是分式、根式）。###二次函数常见特殊形式1.$y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})$（$((b=0),(c=0))$）最简形式(\boldsymbol{2}).$y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})+c$（$(b=0)$）无一次项2.$y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})+bx$（$(c=0)$）无常数项##二、辨析：是不是二次函数？判断步骤：整理成整式→看自变量最高次为(\boldsymbol{2})→**二次项系数≠0**例：-$y=3x^(\boldsymbol{2})$✔二次函数-$y=(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-5x+1$✔二次函数-$y=(\boldsymbol{2})x-1$❌一次函数-$y=x^(\boldsymbol{2})+\dfr(\boldsymbol{a})c1x$❌分母含$x$，不是整式-$y=(x-1)^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{2})$，展开$y=x^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})x+3$✔二次函数##三、列二次函数关系式（应用题）找等量关系，写出$y$关于$x$的函数，**注明自变量取值范围**。例：正方形边长$x$，面积$y$$y=x^(\boldsymbol{2})\qu(\boldsymbol{a})d(x>0)$##四、基础过关1.函数$y=(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})-3x+1$中，二次项系数$(\boldsymbol{a})=\underline{\qu(\boldsymbol{a})d}$，一次项系数$b=\underline{\qu(\boldsymbol{a})d}$，常数项$c=\underline{\qu(\boldsymbol{a})d}$。(\boldsymbol{2}).若函数$y=(m-(\boldsymbol{2}))x^{m^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})}$是二次函数，则$(m=)$____。2.判断：$y=x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{2})x^3$是二次函数（）<det(\boldsymbol{a})ils><summ(\boldsymbol{a})ry>答案</summ(\boldsymbol{a})ry>1.$(\boldsymbol{2})，-3，1$(\boldsymbol{2}).$(m=)-(\boldsymbol{2})$（$m-(\boldsymbol{2})≠0，m^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{2})=(\boldsymbol{2})$）3.×，最高次数是3，不是二次函数</det(\boldsymbol{a})ils>##五、易错题判断（√/×）1.$y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})+bx+c$是二次函数（×，缺少$(\boldsymbol{a})≠0$）(\boldsymbol{2}).$y=3x^(\boldsymbol{2})-5$没有一次项，是二次函数（√）2.$y=(x+1)(x-(\boldsymbol{2}))$展开后是二次函数（√）##六、题型总结1.判断一个函数是否是二次函数；(\boldsymbol{2}).根据二次函数定义求参数（重点：**$(\boldsymbol{a})≠0$且$x$次数=(\boldsymbol{2})**）；2.根据实际问题列二次函数解析式。要不要继续下一节**(\boldsymbol{2})6.1.(\boldsymbol{2})二次函数$y=(\boldsymbol{a})x^(\boldsymbol{2})$的图像与性质**？人教版（新教材）数学九年级上册26.1二次函数的概念授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

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间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十六章二次函数123

能准确识别二次函数，区分二次项系数、一次项系数和常数项.经历从实际问题中抽象出二次函数模型的过程，培养学生的抽象概括能力和数学建模思想.

探究

想一想它们之间的关系是怎样的呢？

这是一个不同于一次函数的新函数.

情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习

某果园有100棵杨桃树，每一棵树平均结600个杨桃．现准备多种一些杨桃树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个杨桃．假设果园增种x棵杨桃树，那么果园共有多少棵杨桃树?这时平均每棵树结多少个杨桃?果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600−5x)个杨桃．情境引入

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典例精析

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当堂练习如果果园杨桃的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．因此果园杨桃的总产量：

y=(100+x)(600−5x)=−5x²+100x+60000.情境引入

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典例精析

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当堂练习设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．分析：本息和=本金+本金×利率×期数

y=100(x+1)²解：两年后本息和为：一年后本息和=100+100x=100(x+1)．=100x²+200x+100情境引入

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典例精析

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当堂练习正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为

x，表面积为

y，则

y

关于

x的关系式为

.

y

=

6x2

此式表示了正方体的表面积

y

与棱长

x

之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一一个对应值，即

y

是

x

的函数.情境引入

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当堂练习以上几个问题中函数关系式有什么共同点?y=−5x²+100x+600001y=100x²+200x+1002

y

=

6x2

3函数都是用自变量的二次整式表示的二次函数的概念

一般地，形如

y

=

ax²

+

bx

+

c

(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中

x

是自变量，a，b，c

分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)a，b，c

为常数，且

a≠0；(2)等号左边是变量

y，右边是关于自变量

x

的整式；(3)等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.注意情境引入

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当堂练习(1)y=

x²+x³+25；下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数？(4)y=3(x−1)²+1．(3)s=1+t+5t²；不一定是，缺少a≠0

的条件.不是，等式右边是分式.不是，x

的最高次数是

3.(5)(a,b,c为常数)

判断二次函数的方法y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的几种特殊情况：(1)y=ax²(a≠0，b=0，c=0)；(2)y=ax²+c(a≠0，b=0，c≠0)；(3)y=ax²+bx(a≠0，b≠0，c=0)．

判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式

y

=

ax2

+

bx

+c

(a≠0)

之外，还有一些特殊形式，如

y

=

ax2，y

=

ax2

+

bx，y

=

ax2

+

c

等.情境引入

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当堂练习(2)m取什么值时,此函数是二次函数?(1)m取什么值时,此函数是一次函数?∴

m=3∴

解：(1)∵y是x的一次函数(2)∵y是x的二次函数

∴

∴情境引入

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当堂练习

(1)解：(1)由题意，得

，且

，解得

，当

时，y是x的一次函数；情境引入

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当堂练习

(2)由题意，得

，且

，解得

，当

时，y是x的二次函数，当

时，

，解得

，纵坐标为64的点的横坐标

．1.返回下列函数中，属于二次函数的是(

)A．y＝2x－1 B．y＝C．y＝x2(x＋3) D．y＝x(x＋1)D返回2.关于x的函数y＝(a－b)x2＋1是二次函数的条件是(

)A．a≠0B．a≠b

C．b＝0D．a＝0B返回3.二次函数y＝3x2－6x＋1的一次项系数为(

)A．3B．6C．－6D．1C情境引入

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当堂练习(1)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元,销售利润为y元，请写出y关于x的函数关系式.(1)解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝

千克，

，整理得.情境引入

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当堂练习(2)某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y(元)？(2)解：笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1−x)倍，于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系：即情境引入

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当堂练习(3)一块矩形木板，长120cm、宽为80cm，在木板四个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式.

x(3)解：木板余下面积S与剪去正方形边长x有如下函数关系：情境引入

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当堂练习(4)如图，一块直角三角形铁皮ABC，

,现要从这块铁皮上剪出一个矩形CDEF，且满足点D，E，F分别在

上．设

，请用含x的代数式表示矩形CDEF的面积S．(4)解：∵四边形CDEF是矩形，∴

，

，则

，∵

，

，

∴

，

，∵

，

∴

，

，∴

．∴矩形CDEF的面积.情境引入

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当堂练习矩形的周长为

16cm，它的一边长为

xcm，面积为ycm2.(1)写出

y与

x之间的函数解析式及自变量

x

的取值范围；(2)当

x

=

3

时，求矩形的面积.解：(1)y＝(8

−x)x＝−x2＋8x(0＜x＜8).(2)当

x＝3

时，y＝−32＋8×3＝15(cm2)

.返回4.若关于x的函数y＝xm－2＋2x－7是二次函数，则m的值是________．4判断下列函数是不是二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．返回5.函数解析式是不是二次函数二次项系数一次项系数常数项y＝－4x2＋2x－3

y＝－2x2－7

y＝x(x－1)

y＝(x＋1)(x－1)－x2

是－42－3是－20－7是1－10不是///[教材P32习题T1变式]进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的关系式为(

)A．y＝a(1－2x) B．y＝2a(1－x) C．y＝a(1－x)2

D．y＝a(1－x2)返回6.C返回7.[教材P31练习T2变式]一个正方形的边长为6，若它的边长增加x，面积就增加y，则y关于x的函数关系式为(

)A．y＝(x＋6)2

B．y＝x2＋62C．y＝x2＋6x

D．y＝x2＋12xD返回8.已知一个菱形两条对角线的长的和为24cm，设其中一条对角线的长为xcm，菱形的面积为Scm2，则S与x之间的函数关系式为______________________，自变量x的取值范围是__________．0＜x＜24返回9.已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式为y＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元．(1)写出w与x之间的函数解析式；解：w与x之间的函数解析式为w＝(x－30)(－2x＋80)＝－2x2＋140x－2400.返回(2)指出该函数的二次项系数、一次项系数和常数项．解：该函数的二次项系数是－2，一次项系数是140，常数项是－2400.返回10.下列变量间具有二次函数关系的是(

)A．速度一定时，路程s与时间tB．正方形的面积y与边长xC．总价一定时，数量y与单价xD．三角形的高一定时，面积y与其底边长xB11.【新考法概念辨析法】如图，正方形ABCD和圆的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(

)A．一次函数关系、一次函数关系B．一次函数关系、二次函数关系C．二次函数关系、二次函数关系D．二次函数关系、一次函数关系B返回返回12.【易错题】[唐山校级期中]函数y＝(1＋m)·xm2－2m－1是关于x的二次函数，则m的值为__________．313.如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．已知BC＝30cm，设DG的长为xcm，矩形DEFG的面积为ycm2，则y关于x的函数解析式为_______________．返回14.