26.4 第2课时 利润最值问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#26.4第2课时实际问题与二次函数——销售利润最值（人教版）##✅核心公式（一定要背）1.**单件利润=售价−进价**2.**总利润=单件利润×销售量**>>涨价/降价题型通用思路：>涨价：每涨1元，销量减少；降价：每降1元，销量增加。>设涨价（或降价）$\boldsymbol{(\boldsymbol{x})}$元，分别表示出新单价、新单件利润、新销售量，再写总利润$y$的函数。##✅解题步骤1.设变量：设涨价（降价）$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元2.表示：新售价、单件利润、销售量3.列函数：$\boldsymbol{(\boldsymbol{(y=)})}$单件利润×销售量4.确定自变量取值范围（价格、销量不能负数！）5.根据$a$正负判断最值：-$(a<0)$，开口向下，顶点处取得最大值；**一定要检验顶点(\boldsymbol{x})是否在取值范围**6.写答案##📖经典例题某商品进价40元，售价每件60元，每周可卖300件。市场调查：每涨价1元，每周少卖10件。(1)涨价$(\boldsymbol{x})$元，写出总利润$y$与$(\boldsymbol{x})$关系式；(2)定价多少时，利润最大？最大利润多少？解：单件利润：$(60+(\boldsymbol{x})-40)$元销售量：$(300-10(\boldsymbol{x}))$件$$\begin{align*}y&=(20+(\boldsymbol{x}))(300-10(\boldsymbol{x}))\&=-10(\boldsymbol{x})^2+100(\boldsymbol{x})+6000\end{align*}$$$a=-10<0$，开口向下，有最大值。对称轴：$(\boldsymbol{x})=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{100}{2\times(-10)}=5$自变量范围：$\begin{cases}(\boldsymbol{x})\ge0\300-10(\boldsymbol{x})\ge0\end{cases}\Rightarrow0\le(\boldsymbol{x})\le30$$(\boldsymbol{x})=5$在范围内。$(\boldsymbol{x})=5$，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=-10\times25+100\times5+6000=6250$售价：$(60+5=65)$元答：定价65元，最大利润6250元。##⚠高频易错点1.不要忘记：**涨价，销量减少；降价，销量增加**2.自变量$(\boldsymbol{x})$的范围：销量不能小于0；价格要大于进价3.顶点横坐标如果不在取值区间，**不能用顶点求最值**，要看区间端点4.分清：问**涨价多少**，还是问**定价多少**（审题大坑）##📝基础过关某商品进价30元，售价50元，一天卖40件。每涨价1元，少卖2件，设涨价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。单件利润=********；销售量=********；$(\boldsymbol{(y=)})$________________。答案$20+\(\boldsymbol{x}\)$；$40-2\(\boldsymbol{x}\)$；$\(\boldsymbol{\(y=\)}\)(20+\(\boldsymbol{x}\))(40-2\(\boldsymbol{x}\))=-2\(\boldsymbol{x}\)^2+0\(\boldsymbol{x}\)+800$#📚练习题##一、填空题1.进价20元，售价35元，每天卖80件。每降价1元，多卖10件，降价$(\boldsymbol{x})$元，则单件利润=********，销售量=********。##二、解答题2.某商品进价每件50元，售价每件80元，每月卖出200件；每涨价1元，少卖5件。设涨价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。(1)写出$y$与$(\boldsymbol{x})$的函数关系式；(2)当售价定为多少元时，总利润最大？最大利润是多少？3.某文具进价每件10元，售价16元，一天卖60件。调查：每降价1元，多卖15件。设降价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。(1)求$y$关于$(\boldsymbol{x})$的解析式；(2)降价多少元，利润最大，最大利润多少？参考答案1.$15-\(\boldsymbol{x}\)$；$80+10\(\boldsymbol{x}\)$2.解：单件利润：$80+(\boldsymbol{x})-50=30+(\boldsymbol{x})$，销量：$200-5(\boldsymbol{x})$(1)$(\boldsymbol{(y=)})(30+(\boldsymbol{x}))(200-5(\boldsymbol{x}))=-5(\boldsymbol{x})^2+50(\boldsymbol{x})+6000$$a=-5<0$，对称轴$(\boldsymbol{x})=5$，范围：$0\le(\boldsymbol{x})\le40$(2)$(\boldsymbol{x})=5$在范围内，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=6125$售价$(=80+5=85)$元答：售价85元，最大利润6125元。3.解：单件利润：$16-(\boldsymbol{x})-10=6-(\boldsymbol{x})$；销量：$60+15(\boldsymbol{x})$(1)$(\boldsymbol{(y=)})(6-(\boldsymbol{x}))(60+15(\boldsymbol{x}))=-15(\boldsymbol{x})^2+30(\boldsymbol{x})+360$$a=-15<0$，对称轴$(\boldsymbol{x})=1$，范围$0\le(\boldsymbol{x})\le6$(2)$(\boldsymbol{x})=1$时，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=375$答：降价1元，最大利润375元。要不要我把**26章二次函数整章**整理一份精简背诵提纲，或者出一套本章综合检测卷？人教版（新教材）数学九年级上册26.4第2课时利润最值问题授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十六章二次函数123掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型.能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润；经历“分析利润关系→建立二次函数模型→分类讨论求解→得出最优方案”的过程，进一步提升数学建模能力。回顾上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？1.建立二次函数模型2.确定自变量取值范围3.求解函数最值：

(2)若横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性求出.4.解释实际意义今天我们继续学习二次函数在商业中的应用——最大利润问题.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300–10x)件，销售额为(60+x)(300–10x)元.买进商品需付40(300–10x)元.因此，所得利润y=(60+x)(300–10x)–40(300–10x)即y=–10x²+100x+6000.其中，0≤x≤30，x为整数.根据上面的函数，填空：当x=

时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价

元，即定价

元时，利润最大，最大利润是

元.55656250

情境引入

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典例精析

本课总结

当堂练习(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解.

利润问题中的常见公式利润收入=成本−总收入销售单价销量=×总成本进货单价×销量=总利润销售单价销量=×−进货单价×销量单件利润销量×=销售单价进货单价−()销量×=利用二次函数解决实际问题的步骤审找出问题中的变量和常量，并分析它们之间的关系1设设适当的未知数2列建立二次函数模型，写出函数解析式以及自变量的取值范围3解根据题目条件，借助函数解析式、图象和性质求解4验检验结果的合理性，必要时进行合理取舍5答确定实际问题的答案6情境引入

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典例精析

本课总结

当堂练习某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本．(1)请求出该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间的函数关系式；(1)解：由题意得：

，即：

．情境引入

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典例精析

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当堂练习(2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？(2)解：

，

，开口向下，∴当

时，W随x的增大而增大，

，∴当

时，W最大，此时

(元)，答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元．1.返回某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(

)A．15元

B．400元C．800元

D．1250元D返回2.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(

)A．24元

B．25元

C．28元

D．30元B返回3.[石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%.(1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400)＝－10x2＋400x＋300x－12000＝－10x2＋700x－12000.∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于成本价的50%，即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45.返回返回(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？解：在w＝－10x2＋700x－12000中，a＝－10，b＝700，c＝－12000，

∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．情境引入

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当堂练习2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件．(1)解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为

，由题意

，解得

．∴y与x的函数关系式为

．(1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；情境引入

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当堂练习(2)解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则∵

，∴抛物线开口向下，W有最大值，∴当

时，W最大，W最大=900(元)．答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元．(2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？情境引入

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当堂练习2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．(1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．(1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意得：

，解得

，

(不符合题意，舍去)．答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；情境引入

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当堂练习(2)设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，则

，∴当

时，w有最大值，最大值为3310，∴当售价为34元/件，即降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．(2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．情境引入

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当堂练习重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2件A款冰箱贴和3件B款冰箱贴共花费116元，小巴买1件A款冰箱贴和4件B款冰箱贴共花费113元．(1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？(1)解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为x元，y元，根据题意得：

，解得

．答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是25元、22元．情境引入

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当堂练习(2)解：销售单价下降a元，∴销售量为

件，根据题意得：

，

，

，∴开口向下，∴当

时，W有最大值为4050，答：当B款冰箱贴销售单价定为22–3=19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050元．(2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按(1)中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴300件．销售单价每下降1元，每天可多售出50件．已知B款冰箱贴成本为10元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润W(元)与销售单价下降a(元)(a>0)之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？情境引入

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当堂练习某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为

件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．(1)分别求出当

和

时，y1与x之间的函数表达式；(1)解：当

时，设y1与x之间的函数表达式是

，点(10，160),(70，130)在线段上，代入可得

，解得

，∴当

时，y1与x之间的函数表达式是

；情境引入

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当堂练习某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为

件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．(1)分别求出当

和

时，y1与x之间的函数表达式；(1)解：当

时，设y1与x之间的函数表达式是

，点(90，110),(70，130)在线段上，代入可得

，解得

，∴当

时，y1与x之间的函数表达式是

；综上所述，

；情境引入

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当堂练习(2)解：设总的利润为w元，当

时，

，当

时，w取得最大值，此时

；当

时，

，当

时，w取得最大值，此时

；

，∴当线下的销售量为65件时总利润最大，最大利润是

元．(2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？返回4.某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(

)A．y＝(200－5x)(40－20＋x)B．y＝(200＋5x)(40－20－x)C．y＝200(40－20－x)

D．y＝200－5xA[烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；5.返回(2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20.∵y＝

x2＋20x＋12000＝

(x－25)2＋12250，∴当x＝20时，y取得最大值，为

×(20－25)2＋12250＝12240.答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元．返回某商店购进一批单价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是(

)A．(30＋x－20)表示涨价后每件商品的单价B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量D．(30＋x)表示涨价后每件商品的单价返回6.A返回7.[内江中考]改编我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．(1)A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为______元和________元；4020返回(2)根据网上的预约情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款