4.1 二次函数课件湘教版数学九年级上册

第4章二次函数4．1二次函数九年级数学XJ上旧知回顾1．什么是一次函数？

如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0).2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？(1)正方形边长为a(cm)，它的面积S(cm2)与a的函数关系式为________；(2)已知正方体棱长为x(cm)，其表面积y(cm2)与x的函数关系式为________；S＝a2y＝6x2(3)矩形长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加xcm，那么面积增加ycm2，那么y与x的函数关系式为____________．y＝x2＋7x答：它们都不是一次函数．自学互研知识模块一二次函数的相关概念及一般形式思考已知一矩形的长为

200cm，宽为

150cm.

从中挖去一个圆(如图所示)，设挖去的圆的半径为

x

cm，剩余部分的面积为

Scm²，如何写出

S

与

x

之间的关系式?200cm150cmxcm由于圆的半径为

x

，于是挖去的圆面积为πx²，

200cm150cmxcm①式表示剩余部分的面积

S

与圆的半径

x

之间的关系，而且对于

x

的每一个取值，

S

都有唯一确定的值与它对应，即

S

是

x

的函数.

某型号笔记本电脑之前的售价为

6

000

元，经过两次降价，现在的售价为y元.若每次的降价率为

x，写出y与

x

之间的关系式.做一做

②式表示现在的售价y与降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y

都有唯一确定的值与它对应，即

y

是x的函数.

①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？S=

－πx²＋30000，0＜x≤75①y=

6000x2－12000x＋6000，0<x<1.②共同点：①②两式都是函数表达式；自变量都是x；等式右边都是关于自变量x的整式。①②式中自变量x最高次数是2，含有x2项，属于二次函数。与一次函数表达式的不同：一次函数自变量x最高次数是1；

函数①②的表达式是自变量x的二次多项式，我们把形如

y=

ax²

+

bx

+

c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数.归纳总结其中

x是自变量，a为二次项系数，ax2叫作二次项；b为一次项系数，bx叫作一次项；c为常数项.1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？做一做把形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数．它的一般形式是y＝ax2+bx+c(a≠0).2．如何求二次函数的自变量的取值范围？二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制．

C【变例1】已知y＝(m－1)xm2+2m－1是关于x的二次函数，则m＝____．【变例2】已知函数y＝(a+2)x2+x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是_______．【例2】将二次函数y＝－(x－1)2+2整理为一般式，得__________________．－3a≠－2y＝－x2＋2x＋1【变例】把二次函数y＝－(x+3)(x+4)+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为()A．－1，－1

B．－1，1

C．－1，7

D．－1，－7D知识模块二建立简单的二次函数模型当常数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax²+bx+c为一次函数?为正比例函数?当a=0，b≠0时，为一次函数;当a=c=0，b≠0时，为正比例函数，例

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示.

已知篱笆的总长度为100m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为

x

cm，矩形植物园的面积为

Sm²，求

S

与

x

之间的函数表达式.解：由于与围墙垂直的一边篱笆的长度为

xm，S

=

x(100-2x)，0<x<50，即

S=

-2x2＋100x，0<x<50.因此，与围墙平行的一边篱笆的长度为(100－2x)m.于是面积S

与

x之间有如下函数关系：

【例3】如图，小明的父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园ABCD.已知房屋外墙长40m，设AB＝xm，矩形菜园ABCD的面积为Sm2，则S与x之间的函数表达式为________________．(不必写出x的取值范围)S＝－2x2＋80x【变例】设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3.(1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；(2)这三个函数中，哪些是二次函数？解：(1)∵圆柱的底面半径为rcm，底面周长为Ccm，∴C＝2πr.又∵圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，圆柱的体积为Vcm3，∴V＝πr2×6＝6πr2.∵圆柱的高为6cm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3，

随堂检测1.把

y

=

(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为____，

一次项系数为______，常数项为____.-3x2-1612

C3.

函数y

=

(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(

)A.

m，n

是常数,且m≠0

B.

m，n

是常数,且n≠0C.

m，n

是常数,且m≠n

D.

m，n

为任何实数C4.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数。(1)正方形的面积S关于它的边长x的函数;(2)圆的周长C关于它的半径r的函数;(3)圆的面积S关于它的半径r的函数.解:(1)S=x²,x>0;(2)C=2πr,r>0;(3)S=πr²,r>0.(1)(3)是二次函数，(2)是一次函数5.已知一个等腰直角三角形的斜边为x，设它的面积为y，求面积y与斜边x之间的函数表达式.解:设等腰直角三角形直角边长为a。

由勾股定理:a

²+a²=x

²,2a²=x²,

课堂小结二次函数定义y=a