河北省唐山市2026届高三下学期第二次模拟演练数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市2026届高三下学期第二次模拟演练数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位，则复数的虚部为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】,所以复数的虚部为.2.已知向量，若，则（）A.-2 B.0 C.2 D.8【答案】D【解析】解：，，，解得．3.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，解得，即，，，解得，即，．4.已知，则（）A. B.-1 C. D.-2【答案】C【解析】由题意得，由于，所以，因此且，则，故C正确.5.若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解：，，则椭圆焦点在轴，，．6.设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，所以在点处的切线斜率为，又因为切线与直线垂直，即可得，因此．故选：A.7.已知随机变量，随机变量，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，则，因为，，则，对于A，，A错误；对于B，，故，B错误，对于CD，，，则，D正确；所以，C错误.8.在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】设等差数列的公差为，所以，因此，所以，所以，，因此，当时，；时，，因为，所以当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以；因为，所以，当时，取得最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.的最小正周期是 D.的一条对称轴为【答案】BD【解析】令，得，故的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，故在上单调递增，故B正确；因为，，所以，故C错误；，所以的一条对称轴为，故D正确.10.在四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（）A.当时，直线平面PABB.当时，直线CE与PB所成角为C.当时，直线CE与平面PAD所成角为D.当时，三棱锥的外接球表面积为【答案】ACD【解析】因为，所以，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由得，.对于A：当时，，，平面的法向量为，因为，且不在平面内，故平面，A正确；对于B：时，，，设直线与所成角为，则

，故夹角不是，B错误；对于C：当时，，，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则

，得，C正确；对于D：当时，四点坐标：，则，所以是直角三角形，其外接圆圆心为，半径，因为平面平面，球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，所以可设外接球球心为，则由球心到各顶点的距离相等，可得，解得，所以球心为，半径，故外接球表面积，D正确.11.设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】对于A，若，由概率的基本公式有，代入，则，由条件概率有，且，则有，故A正确.对于B，已知，，若，则，这说明事件相互独立，由于，要使，必须有，而事件相互独立并不意味着，故B错误；对于C，由德摩根定律，因此，故C正确；对于D，令，其中，令，由概率的基本性质得，要证，也就是证，即证，即，①先证：不妨设，则，则，而函数，最大值为，在处取得，因此，，在时取等号；②再证，即证，由于，所以，因此，当时，此时，因此，在时取等号；当时，此时，因此；综上所述，有，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为______．【答案】-20【解析】展开式的通项公式，令，解得：，则，所以的系数为-20.故答案为：-20.13.已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________．【答案】10【解析】因为直线与圆相切，所以，解得或，由知，代入直线方程，可得，当，显然不满足，当时，由，所以抛物线方程为，焦点，准线方程，代入直线方程，可得，即，所以.14.已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________．【答案】【解析】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，则，即，所以集合当时，集合为，则；当时，集合为，则；当时，，则，综上所述，，则，设数列前项和为，当时，；当时，，则，两式相减得，，则,显然满足上式，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且.（1）若，求的面积；（2）当时，求.解：（1）在中，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，又因为点是边AC中点，所以的面积.（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，又因为，解得.16.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）．已知甲先赢了前两局．（1）若，求：（i）乙获胜的概率；（ii）比赛打满七局的概率；（2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围.解：（1）（i）乙获胜有两种情况：①乙连胜四局，概率为，②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜，概率为，所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为.（ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件，则，，所以比赛打满七局的概率为.（2），，由已知整理得：，解得：或，因为，所以或，综上：或时，．17.在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为侧面是边长为2的菱形，，所以，取中点，连接，则，又因为，所以，又因为底面侧面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面ABC，所以，因为，满足，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以，因为侧面是菱形，所以，又因为，、平面，所以平面；（2）解：以为坐标原点，AC，AD，AB所在直线的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，故，，设平面与的法向量分别为、，则，，即，，令，则，，，，所以，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点．（1）若焦距为12，求的方程；（2）当时，若，证明：轴；（3）若，求的最大值.（1）解：因为，则，所以，解得，所以的方程为.（2）证明：当时，直线的方程为，设，联立，得，则，且，而，故，将代入，整理得，同理，所以，解得（负根舍去），则双曲线，则的坐标为，而方程，即为，解得或，则，所以轴．（3）解：当时，双曲线，直线的方程为，设，联立，得，则，所以，将直线与渐近线分别联立得：，因为，令，即，则，则，即时，的最大值为，经检验符合题意．19.设函数，若有两个极值点，且.（1）求的取值范围；（2）当时，记为最大零点.（i）①证明：有两个零点；②证明：；（ii）比较与的大小，并给出证明.（1）解：，令，则，当时，，此时在上单调递增，则至多有一个零点，即至多有一个极值点，不符合题意；当时，由得；得；则在上单调递减，在上单调递增，先证明：、、，令，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则，故成立；因为，所以，则成立；令，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，则单调递增，故，故成立；由以上不等式可得，，，，故，因为，由零点存在性定理可知，若有两个极值点，只需记，当时，单调递增；当时，单调递减；又，则，所以的取值范围为.（2）（i）证明：①易知，由（1）可知，当时，，此时，不符合题意